D IAGRAMMES R. G UITART C. L AIR Critères de rigidification des morphismes souples entre structures internes Diagrammes, tome 5 (1981), exp. no 3, p. GL1-GL17 © Université Paris 7, UER math., 1981, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol* 5 $ 1981. CRITERES DE RIGIDIFICATION DES MORPHISMES SOUPLES ENTRE STRUCTURES INTERNES R. Guitart et C. Lair 1• Morphismes rigides entre structures internes. 1.1. Désignons par une catégorie P (resp. E ) un prototype, c1est-à-dire P (resp. E ) où l'on a distingué des limites pro- jectives et inductives (voir (E.T.S.A.)). Le prototype P décrit des structures internes à E : ce sont les réalisations (ou faisceaux) de re les foncteurs f: P > E P vers E , c'est-à-di- qui commutent avec les limites distinguées. De ce point de vue, une première description des morphismes entre ces structures vient naturellement: ce sont justement les transformations naturelles entre ces réalisations. On obtient ainsi une caP P tégorie E , sous-catégorie pleine de la catégorie E — de tous les foncteurs (préfaisceaux)• Exemple 1. Désignons par dans Ens Ens le prototype obtenu en distinguant toutes les limites projectives et inductives petites. Notons aussi P op = P ,op la sous-catégorie pleine de Cat GL 2 dont les objets sont les catégories enfin P dans P . —cat 2 , 2 ,2 et ^ . Notons . le prototype obtenu, par dualité, en distinguant les deux sommes fibrées: J> = 2 + 2 âl = 1 + 1 et ~2 1 C91 Evidemment, Ens et Cat sont équivalentes. Exemple 2. On peut également décrire explicitement un prototype pro.jectif (i. e. où seules des limites projectives sont distinguées) P- tel que la catégorie 2-Cat , ayant pour objets les 2-catégories petites et pour morphismes les 2-foncteurs, soit p équivalente à la catégorie Ens ^03, Exemple 3» tégorie Soit Alg( U ) gorie de la forme tl un triple sur Ens . On sait qu'alors la cades algèbres de % Ens , où |] est équivalente à une caté- P-*. est une théorie de Linton (voir (A.O.F.S.)). Autres exemples. Sont également de la forme totype P Ens (pour un pro- convenable, qui nfest plus nécessairement projectif) les catégories de faisceaux sur un site, les topos de Grothendieck, la catégorie des corps, celle des espaces topologiques ... 1.2. Donnons, maintenant, une description moins naïve des caP tégories E , qui explique leur canonicité et leur naturalité (en E et Notons P ). PROTO la catégorie dont les objets sont les prototy- pes et dont les morphismes sont les réalisations (nous omettons volontairement de prendre en considération les problèmes de taille tant que la nécessité ne s'en fera pas essentiellement sentir - ce qui sera, par contre, le cas au n°3 )• GL 5 La catégorie PROTO possède une co-catégorie interne: -> 5 41 Cette co-catégorie interne est canonique, en ce sens que, naturellement en tout objet P de PROTO , la catégorie (ensembliste) Hom((D,P) = (®,P) , décrite ci-dessous: (k^,P) (k',P) (®,P): ->(2,P) < (11 ,P) ^ (5,P)^ (b%î>) est isomorphe à la catégorie tégorie sous-jacente" (4,P) (k£,P) P . Autrement dit, le foncteur "ca- PROTO teur Hom(S,-) = ( CAT est équivalent au fonc- > CAT . f Nous savons d autre part (voir (E.G.C.E.)) Que PROTO est monoïdale, symétrique et fermée: elle est donc munie d'un bi-foncteur lf Hom interne": /-,-/ : PROTO ° P x PROTO > PROTO et dfun bi-foncteur "produit tensoriel": , GL 4 B : PROTO x PROTO pour lequel le prototype -> PROTO 11 est l'unité. Dans ces conditions, nous associons canoniquement à tout objet P de PROTO , et naturellement en P , la co-catégorie inter- ne à PROTO : a» B P k!BP k'BP « B P : 1i B P<- -> ÏBP b'BP :pP (où l'on peut identifier gorie sous-jacente 11 H P à P et où 2 B P a pour caté- 2 x P ). De même, nous associons canoniquement à tout objet E et naturellement en E , la catégorie interne à de PROTO , PROTO : /a' ,E/ /i',E/ //2,B/<- /k2,E/ A ' ,B/ (où /il ,E/ peut être identifié jacente à /2,E/ est /4I,E/ /5.E/ E— à E et où la catégorie sous- , qui s'identifie à l'une des struc- tures de catégorie possibles sur l'ensemble des carrés commutatifs de E -voir (C.A.S.T.)). GL 5 Nous disposons donc df isomorphismes de catégories (ensemblistes), naturels en les objets P et E de PROTO : Hom(® B P,E) s (C B P,E) ^ E P ^ (P,/®,E/) S Hom(P,/®,E/) « Les morphismes de l'une quelconque de ces catégories seront appelés morphismes rigides (ou canoniques) entre les structures internes à E décrites par P . 2. Morphismes souples entre structures internes, 2.1. Si E et P sont deux prototypes, il arrive, dans la P pratique, que les morphismes de E soient en quantité insuffiP santé ou, plus précisément, que E apparaisse comme sous-catép gorie d'une catégorie plus vaste E ayant les mêmes objets, Exemple 1. La catégorie Cat (identifiée à Ens P cat C ) est bien sous-catégorie de la catégorie Cat pour morphismes les transformations naturelles n: A y g , où n: f > B f,g : A Exemple 2. La catégorie ayant mêmes objets mais ayant > B 2-Cat sont deux foncteurs. P (identifiée à Ens ~ bien sous-catégorie de la catégorie 2-Cat ) est ayant mêmes objets mais ayant pour morphismes les lax-2-foncteurs. Exemple 3, Soit E une catégorie et (c'est-à-dire une monade sur T :E A > E A E Ens — IJ une pro-monade sur E op = ïï* ) • Si 1'endofoncteur commute aux limites inductives, il est entière- ment déterminé par sa restriction ("aux co-représentables") Ts E > E . Dans ce cas, on dispose donc d'un foncteur injec- GL 6 tif sur les objets Si l'unité L^ H :E €. : I(L,A -> E* Yoneda >T d'un foncteur (restriction de > Kl( |i ) . canonique est un mono , on dispose donc bien L!L à la sous-catégorie pleine kl(T ) de K l ( T ) ayant pour objets les images des objets de E par LL ) L- : E > k l ( T ) , identifiant E = E 1l à une sous-catégorie de k l ( T ) ayant les mêmes objets que kl( Il ). 2.2. Les diverses situations précédentes sont convenablement décrites, en toute généralité, par l'un des procédés qui suit: 1• On dispose d'une co-catégorie interne à IP : P = P. PROTO : s: kf K et Jt ' : IP > C B P 2 est un co-foncteur interne à PROTO , identique sur les objets des co-objets. > Hom( CP,E) = ( CP,E) = E P Hom(J» ,E) = (Ji ' ,E) p est bien un foncteur (ensembliste) identifiant E à une sous- Alors E P / v ( « B P,E) f p catégorie de E ayant mêmes objets. 2. On dispose d'une catégorie interne à PROTO : GL 7 !_^E, ŒS est un foncteur interne à PROTO , iden- tique sur les objets des objets. Alors E P / v (P,/®,E/) > Hom(P,lE) = (P f CE) = E Hom(P,J< ) = (P, J» ) p est bien un foncteur (ensembliste) identifiant P catégorie de E à une sous- ^ ayant les mêmes objets. E 3. Les hypothèses de 1. et 2. sont simultanément vérifiées et, de plus, le foncteur interne J> et le co-foncteur interne J» ' sont conjugués; autrement dit, il existe un isomorphisme de catégories (ensemblistes) rendant commutatif le diagramme ci-dessous: (® B P,E) ^ EP AJ (P,/®,E/) (P, Ji ) (J« ' ,E) ( (P,E) A/ Alors, on dispose aussi d'une catégorie double (ensembliste) Hom(lP,»E) = ( »P,\E) , dont les deux catégories sous-jacentes sont isomorphes, et d'un foncteur double (ensembliste) injectif ( et bijectif sur les "bords"): D E P nsj (® B P,/®,E/) •> Hom(Ji ',J» ) = (J» f, J» ) ( Œ>, ffi) GL 8 où OE est la catégorie double des carrés commutatifs (appe- lés quatuors dans (C.A.S.T.)) de E Dans les trois cas qui précèdent, les morphismes des catégories ( *P,E) ou (P, lE) seront appelés morphismes souples entre structures internes à E décrites par P • 3* Rigidification des morphismes souples. 3.1. Soit K une sous-catégorie de K Définition. Nous dirons que K ayant les mêmes objets, représentable (resp. co-représen- table) dans K si, et seulement si, le foncteur injection cano- nique ^ K U^ U: K admet un adjoint à droite (resp. à gauche) (resp. u" ) . Si K est représentable (resp. co-représentable) dans K , l'adjonction U — I U^. (resp. U un co-triple) sur que nous notons TT l'endofoncteur sous-jacent sera noté T: K T': K > K K — \ U ) induit un triple (resp* Hom I et K (resp. de K : (K' ,K) ^ Hom v (K' ,TK) " Hom _ (K' ,K) AJ Hom „ (T'K' ,K) K ). £ Il est tout aussi clair que K Kleisli Kl(T) ^ K ) . Dans ce cas, il est clair que l'on a, naturel- lement en tous objets K' (resp. (resp. TT1 ) et dont est isomorphe à la catégorie de 1 (resp. Kl( T ) ) du triple (resp. du co-triple) 1T (resp. "F1 ). 3.2. Soit fi un objet de PROTO et GL 9 * F (*) B« 0» K 7» D1 un carré commutatif dans Définition. PROTO . Nous dirons que (*) est une E-somme fibrée si, et seulement si, le carré Hom(A',E) = (A',E) (*,E) Hom(B',E) = (B',E) ( C ,E) = Hom(C ,B) Hom(D',E) = (D1,E) est un produit fibre ensembliste. Bien entendu, les sommes fibrées de mes fibrées pour tout objet PROTO sont des E-som- E. Signalons, également, qu'il n'est jamais très difficile, en pratique, de vérifier qu'un carré de PROTO est ou n'est pas une Ens-somme fibrée (par exemple). Si tion de P est un objet de PROTO , on définit dualement la no- P-produit fibre dans PROTO . 5.3. Nous supposons, maintenant, que est un co-foncteur interne à des co-objets. J» ' : 'P > ® B P PROTO , identique sur les objets GL 10 Proposition. Si u': 2 B P E est un prototype, si u' : P = P1 ;> P p sont deux morphismes de PROTO > P et tels que: - uj.b' = b' , - le carré (*) p = p est une E-somme fibrée dans PROTO , "~~P alors, E P = ( tP,E) est représentable dans Preuve. A la réalisation f: P > E E (qui est donc un objet de E ) nous associons U^f = f .u' : P > E (qui est donc P un objet de E ). Pour toute réalisation g: P ^ E , nous avons: - Hom — E - Hom p (f,g) = [h ! : ?2 (U#f ,g) = | h: 2 H P > E / h'.a' = f > E / h.a' = f .u^ et h'.b» = g } , et h.b' = g] E Nous obtenons une première applioation: (f ,g) I s Hom E > Hom p (U#f ,g) E h» t- Si, maintenant, hÇHom -> h' .u£ _ (U#f,g) , le diagramme ci-dessous E * GL 11 commute dans PROTO : Le carré (*) étant une E-somme fibrée, il existe donc un unique -> E tel que: ?(h): P, - ?(h).a*' - f et ^(h).uj = h . On en déduit une seconde application: V : Hom p (V,g) -> Hom — = (f ,g) u» E Bien entendu , les applications ^p et ^ r sont inverses l'une de l'autre, ce qui permet de conclure. // Exemple. Il est facile d'exhiber un co-foncteur J» ':»Pcat — > ® B P c a t interne à PROTO , identique sur les objets des co-objets, vérifiant les conditions de la proposition précédente et tel que ( lPcat,Ens) soit équivalente à la catégorie Cat du n° 2.1 , exemple 1 . En conséquence, C&t est représentable dans Cat , ce qui n'est évidemment pas fait pour surprendre ! -> ® B P est 3. 4. Nous supposons encore que Jl ' IP un co-foncteur interne à PROTO , identique sur les objets des coobjets. GL 12 Proposition. Si P = P est une catégorie petite, si P = P est une catégorie petite (dans ce cas, J> a la forme d'un "flot" de flèches de sources dans a'(P) et de buts dans b'(P) ) , p alors, la catégorie Ens = ( > Ens le —0 car P et !> sont ^ P (elle existe long du foncteur d: I* — petites et Ens est à limites inductives petites). Nous faisons ensuite correspondre au foncteur (i. e, au préfaisceau) ext (f.c) son faisceau associé, c'est-à-dire une réalisation U f: P (ce faisceau existe car P y Ens est petite et les seules limites pro- jectives qui y sont distinguées sont (X-petites ) . On vérifie facilement, en utilisant le carré co-comma (**), que U f : P est bien un objet de Ens , libre sur l'objet f: P > Ens • Ens GL 13 de Ens , pour le foncteur U : Ens P /v (® B P, Ens) — > (ff,Ens). (Ji »,Ens) D'où la conclusion. // Exemple. On sait exhiber un co-foncteur: Jl interne à ' ! ,P2-cat > € B P2-cat • PROTO , identique sur les objets des co-objets, véri- fiant les conditions de la proposition précédente et tel que la catégorie ( IP^^.Ens) soit équivalente à la catégorie 2-Cat du n° 2.1 , exemple 2 . En conséquence, la catégorie 1 3 g t est co-représentable dans 2-Cat . On retrouve ainsi, très facilement, un résultat connu. la construction explicite du 2-foncteur "co-représentant" un lax-2- foncteur, décrite antérieurement en (L.V.D.B.), correspond à celle que fournit, a posteriori, la démonstration de la proposition précédente . Remarque. Dans la proposition qui précède, on peut remplacer Ens par n'importe quel prototype E limites projectives obtenu en distinguant toutes les (X-petites dans une catégorie E possédant toutes ces limites, toutes les limites inductives petites et où les limites inductives CX-filtrantes commutent aux limites projectives CX-petites (ce qui assure l'existence du "faisceau associé"). 3.5. Supposons, dualement, que foncteur interne à Jt : /œ f E/ > U3 est un PROTO , identique sur les objets des objets. et Proposition. Si P est un prototype, si u., : E = E., - — > E > /2,E/ sont deux morphismes de PROTO tels que; u . E - b.u 2 = b , GL 14 - le carré (*) op est un P-produit fibre, alors, la catégorie EP = (P,Œ) est représentable dans E . Preuve. Elle est évidemment duale de celle de la proposition de 5.3 . // Exemple 1. Si Œ' est une 2-catégorie représentable, la catégorie double ffi de ses quintettes (i. e. de ses "2-carrés") est représentable (au sens de (M.U.F.U.)). Si, de plus, la catégorie des E 1-morphismes de E' a suffisamment de limites, la catégorie double >E est sous-jacente à une catégorie \E , interne à PROTO et vérifiant les conditions de la proposition précédente pour tout prototype projectif P . Dans ce cas, la catégorie p E oat = ( P ^ , Œ) (des lax-foncteurs internes entre catégories internes à E ) est représentable dans p la catégorie ternes à E cat (des foncteurs internes entre catégories in- E ). Exemple 2. Reprenons les hypothèses et les notations de l'exemple 3 du n« 2.1 et désignons par objets les morphismes de E2 la catégorie ayant pour kl(l_) et pour morphismes q: r les carrés commutatifs de k l ( I ) de la forme: > r« GL 15 ^/ vl/ -> (où s et s' sont identifiés à des morphismes de E ) . Il est facile de vérifier qu'il existe un 11 -produit fibre (*) comme dans la proposition précédente, si et seulement si le foncteur L= : E ce cas, on a > k l ( T ) admet un adjoint à droite T.L= = u. : E > E ) . Si X T (dans est tel que kl( ^f ) = Span E , la condition précédente signifie exactement que E est un topos. Plus généralement, si T est t e l )°g > E , entre les . Remarques. On pourra comparer la condition de P-produit fibre de la proposition précédente (qui impose qu'une catégorie double est représentable) et la proposition 2 , p. 55 de (T.A.E.P.). Signalons, également, qu'il existe des situations réelles où lE n'est pas une catégorie interne mais seulement un objet simplicial interne à /P,IE/ PROTO pour lequel, pour certains P seulement, est une catégorie (où même une bi-catégorie). Dans ce cas, localisé, une étude analogue est possible, de même que dans le cas dual localisé. Enfin, nous omettons volontairement d'énoncer la proposition duaie de celle du n° 5. 4 : pratiquement, elle n'a pas grand sens , GL 16 car on ne dispose que très exceptionnellement du "faisceau co-associé". 3.6. Supposons, pour conclure, que J* un co-foncteur interne à IP - > O P est PROTO , identique sur les objets des co- objets, vérifiant les conditions de la proposition du n° 3 4 » que Ji : /®,E/ > E est un foncteur interne à PROTO, identique sur les objets des objets, vérifiant les conditions de la proposition du n° 3*5 et, enfin, que J» et Ji f sont conjugués. Nous disposons donc: - d'un co-triple TT et d'un triple || sur E tels que: Kl(TT) «> OP>E) A> (P, »E) A> Kl(T) , - de la catégorie double (ensembliste) ( IP,IE) . Il est facile d'établir que: Proposition. La catégorie double (tP,ffi) est isomorphe à la ca- tégorie double des carrés commutatifs de l'une quelconque des catégories KldT*) , (IP,E) , (P,IE) et glflf ) . De plus, elle est aussi isomorphe à la catégorie double (que l'on décrit aisép ment) des carrés commutatifs de E de la forme T'f ' V > f1 ->Tf Bibliographie. (A.O.F.S.) F. E. J. Linton, An Outline of Functorial Semantics, GL 17 Lecture Notes i n lia t h . 80, Springer, 1969» (C.A.S.T.) C. Ehresmann, Catégories e t S t r u c t u r e s , Dunod, P a r i s , 1965. (E.G.C.E.) C. Lair, Etude Générale de la Catégorie des Esquisses, Esquisses Math. 23, Paris, 1975• (E.TJ3.A.) C. Ehresmann, Esquisses et Types de Structures Algébriques, Bul. Instit. Polit., Iasi, XIV, 1968 . (L.V.D.B.) 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