D IAGRAMMES F RANÇOIS F OLTZ Sur la commutation des limites Diagrammes, tome 5 (1981), exp. no 1, p. F1-F33 © Université Paris 7, UER math., 1981, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 5, 1981. SUR LA COMMUTATION DES LIMITES François Poltz Introduction. ET1 Certaines catégories de modèles de théories du 1 sont équivalentes à des catégories Mod(s) de foncteurs ordre S > Ens qui commutent aux limites projectives indexées par certaines -catégories petites P et aux limites inductives indexées par certaines catégories petites I : il en est ainsi, notamment, des ca- tégories d*algèbres d'une théorie de Lawvere, ou des catégories C*- présentables au sens de Gabriel-Ulmer, ou encore des catégories Ux~ localisables au sens de Diers. En général, les catégories telles que Mod(s) ne possèdent pas nécessairement toutes les limites projectives et inductives petites s par exemple, la catégorie - localisable - des corps ne possède pas tous les produits. De plus, même si Mod(S) possède certaines de ces limites, elles ne s'y calculent pas obligatoirement point par point (i.e. Mod(s) J> Ens— n'y commute pas forcément) : par exemple, les limites inductives petites ne se calculent pas toutes point par point dans une catégorie C^-présc-niable. Cependant, il est suffisant que les J - limites inductives commutent dans Ens avec les P - limites projectives pour que Mod(s) possède les J_ - limites inductives et pour qu'elles P 2 s'y calculent point par point : ainsi, les catégories C^- présentables ont des limites inductives (X- filtrantes qui se calculent point par point. De même, il est suffisant que les £ - limites projectives commutent dans Ens avec les I - limites inductives pour qu'elles existent dans Mod(s) et s'y calculent point par point : ainsi, les catégories (X- localisables sont à limites projectives connexes et celles-ci s'y calculent point par point. D'ailleurs ce sont justement ces classes de catégories £ catégories J et de qui classifient, en un sens certain, les théories du premier ordre considérées : c'est ce sens qu'il faut donner aux travaux de Gabriel-Ulmer et de Diers. Le but du présent travail, qu'il faut donc comprendre corner me une première étape dans la classification des théories du 1 ordre, consiste à caractériser, lorsqu'une catégorie petite est donnée, la classe ries I P COMM ( P ) de toutes les petites catégo- telles que les I - limites inductives commutent aux P - limites projectives dans Ens. Une telle caractérisation systématique une fois menée permet, a contrario, lorsque la petite catégorie I est donnée, de déterminer la classe des petites catécories ves commutent aux Le § 0 P COMM ( I ) telles que les P - limites projecti- I - limites inductives dans Ens. est destiné à fixer quelques notations et quelques définitions techniques qui permettent une lecture plus synthétique de la suite. Au § 1 nous établissons que, pour calculer en toute généralité COMM ( P ) , il suffit de savoir le faire d'une part lorsque est connexe et d'autre part lorsque P crète. Au P § 2 nous calculons donc connexe, et au discrète. Au § 3 § 4 nous calculons est dis- OOMM ( P ) lorsque P ebt C O M ( Z ) lorsque P est nous fournissons quelques compléments et quel- ques exemples de calculs explicites de CCTjM ( P ) . F 3 0. Notations et définitions préliminaires. 0.0. Si : *^ Z K î P et > Ens c I sont deux petites catégories et si est un foncteur, nous notons : : lim lim > lim P(P,l) i€iP€P lim P(P,l) pçpiei l'application canonique de comparaison. Lorsque P est donnée, on note : - Inj P la classe des petites catégories ^1 telles que pour tout foncteur raison c 5> Ens , l'application de compa- est injective, - Surj P la classe des petites catégories pour tout foncteur raison F: P;CI I telles que, > Ens , l'application de compa- est surjective. Alors, COffiJ ( P ) = Inj P H Sujy P . On utilise des notations analogues Inj I , Surj I c'est qui est donnée et c'est la classe des P I et CgMM ( I ) pour le cas dual (où que l'on veut déterminer) . 0.1. Soit P une catégorie petite. On désigne par le foncteur de P dans Ens défini par : (E / -)(P) = 2 / P = H HomJPSP). P'€obP 0.2. Soit P P / - • une petite catégorie. On dit que P est dégé- nérée si, et seulement si, il existe un cône projectif (P — ; > P ) P € P de base I(L: P > p dans P , i.e. £ O.J. Soit Um P / P ^ 0. P £ P' de P, et d'autre P 4 - ses flèches sont, d'une part les (d,p): P — — > p et d'autre f part les (c,p): P' — y > p , lorsque p: P — > P est une flèche de P. Si G: P. >>Zp e s t u*1 Joncteur, on en déduit évidemment un foncteur § G: § ^ > § £2 . 0.4« Soit P une catégorie(petite) . On note P A la catégorie telle que: - ses objets sont d'une part les objets P de P et d'autre part deux autres objets 1 et 2 , - ses flèches sont d'une part les (P>1): 1 —*i> P et d'autre part les (P,2): 2 £• P , lorsque P est objet de P . Evidemment, P = (obP) et c'est une catégorie subdivision d'une catégorie convenable. 0.5• On note V la catégorie représentée par : 1 2 r (i,o) \ /ko) 0 0.6. Pour tout entier naturel n (nul ou non), on note Z —*n la catégorie représentée par : 2 (2,1)/* 1 r 2n \(2,3) 3 ^n^n-l)^/ 2n-1 1 ^(2^2^1 ) 2n+1 0.7. Soit C une catégorie (petite) et n un entier naturel (nul ou non). On appelle zigzag (d'ordre n) de C tout foncteur D: Z ^ C . On dit alors que D(l) en est l'origine et D(2n+1) l'extrémité . 0.8. Soit C une catégorie(petite) , C un objet de C et ù s Z —n > C / C un zigzag de C / C . On en déduit un zigzag — "" F 5 D: Z 5> C / C : > C -n /\ — ' canonique — appelé base de A . Alors, on dira que A est un zigzag clos dans C de base D et de sommet C (il s'identifie aussi à un cône inductif de C , de base D et de sommet C). 0.9« Soit C une catégorie(petite) et soient D: Z —•>> C ^ i — à > £ deux zigzags de C. Si D(2n+1) = D'(l) , on en déduit un zigzag .juxtaposé : et D f : D'± D: Z f 5> C -n+n' — d'origine l'origine de D et d'extrémité l'extrémité de D'. 0.10. Soit C une catégorie (petite) et A : Z )> C / C un zigzag clos dans C de sommet C et c: C — > C une flèche de C. On en déduit un zigzag composé de c par /S : : Z -——> C / C 7T-. ?> C / V m TL " A "" composition par c — ' 0.11. Soit P et I deux catégories petites. Nous dirons que I est P-bornée si, et seulement si : - pour tout foncteur D:P A > I , il existe un diagramme de I : c.A x 1 D(1) D(2) tel que , pour tout objet P de P , il existe un diagramme commutatif de I , dans lequel les objets P , P , P ,..., P ? sont tels qu'il existe toujours au moins une flèche de chacun d'entre eux vers P : F 6 Diagramme 1_ P 7 0.12. Soient que I est P et I deux catégories petites. Nous dirons ZP - bornée si, et seulement si : - pour tout foncteur (ô ) çF1p D: § P > I , il existe une famille de zigzags (d'trdres n ) clos dans des bases est notée ( » p ) p € p l p ) et une famille P (dont la famille (Ap)p€Plp de zigzags clos dans I (dont la famille des bases est notée (D') ^ _ _ ) v — p'p t P1P' telles que : "" + pour tout objet P de P , le zigzag & .. est trivial J-Op + pour ttute flèche p: P + l'extrémité) de A est celle de p. & T , (resp. ÙT* ) û , = A i 1 à 9 dès que p'.p est défini dans P, + pour toute flèche p de B P!S" § P P' , l'origine (resp. on a : S TV1 §£ -T" > * + pour tout objet P de + > P' de P , le zigzag (\ ' est d'ordre 1, û ' f et A ' sont juxtaposables (i.e. & ' f J. & ' est défini) dès que p'.p est défini dans P. Evidemment, les diverses conditions précédentes signifient que 1' on dispose, pour toute flèche p: P — £ > p ' dans me 2, commutant dans P , du diagram- P, et du diagramme 5 i commutant dans ci-après, (voir page suivante) • If F 8 P A I d p (D " Mp. W0-^-^/^ *P = V 1 ) = S (où et ^ = Dp(k) , (D r k = A p (k+1) q 2k» = V 2 k ' + 1 ^ 2k'} ' pour tout 1 / k' < n ) . v* ^ P Diagramme 2 , pour tout 4 2k'-1 1 ^ k ^ 2np » D p (2k'-1 , >2k'), F 9 4 D(Qp) D(Q2) D(QJ 0 m C D(Q ) D(Q P ) P D ^ +1) P j = & f (¾.) » P o u r ^ o u t 1 ^ k ^ 2n , % ^k *"* et où l'on a identifié § —n Z et Z2n qui sont isomorphes) • 0 (où l'on a posé Diagramme ^ P 10 0.13. Si que I est D- c C et J[ sont deux catégories (petites), on dit C-filtrante si, et seulement si, à tout foncteur }>I on peut associer un cône inductif (i-: D(c) — ^ > i) Cé-C de base D dans I . Dans la suite, on se bornera aux cas où G est ou bien discrète ou bien égale à 0.14« est Soit P et I V • deux catégories petites. On dit que I ZP - filtrante si, et seulement si : - pour t*ut couple d'objets I et I' de famille (ly Z > i)p g Qbp I et pour toute de zigzags de I d'origine I et d'extrémité I', il existe un zigzag D: Z —n d'origine I et d'extrémité I' tel que, pour tout objet P de les images respectives de Id (Tftez^x z $> I P, et Id , par les coprojections dans H m ° I ( 3 £ P ( X ) ' D(Y)) s ° n t égales# 9 -Tip -n ~ Ceci signifie encore que l'on dispose d'un zigzag D': Z P "^P et d'un diagramme commutatif de I : Zop:x Z "^P —n F 11 >Z°P x Z où & -. Z Û 1 "»P D' "«P "» > Z° P proj ^ P => Z o p x Z et A „: Z >I°P Dp > Z >I 1. Résultats préliminaires. On vérifie facilement que : Proposition JU Si P' >> P est un foncteur initial entre caté- gories petites, alors COMM ( P') C —5? ~ COMM ( P ) . —3> Signalons qu'en général cette inclusion est stricte, mais qu'une condition suffisante pour que P' £>P COMM (P) est que soit le foncteur injection canonique dans sous-catégorie pleine P'x I vers COMM (P') = Ens P' de P d'une P, car alors tout foncteur de admet au moins un prolongement à P x I . Montrons maintenant la Proposition 2. Soit rie petite soit I P une catégorie petite. Pour qu'une cât|g£- appartienne à Surj P , il est nécessaire qu'elle P°P • filtrante. Preuve. Supposons que D: P o p >»1 dérons le foncteur >• Ens F: P x I soit un foncteur et consi- Pour tout objet P de P , l'ensemble élément dont un représentant est j.im lim PGP le? lk égal à Hom-j. ( D ( - ) , - ) . lm HomT(D(P),l) n'a qu'un i„r?i H 1 T)p* en résulte que HomT (DP , I ) n'a aussi qu'un élément, de mime que - UJL Hom 1¾ fit? ~ (DP , I ) puisque quence, il existe au moins un objet c est surjective. En consé- I de I et un élément de F 12 lim Hom_ (DP , I ) qui représente cet unique élément. C»est P% P - ° exactement un cône inductif (DP > I0)p ©os C. COMM ( P ) . (i) implique (ii). est un foncteur et si, pour tout objet C G , on désigne par FQ : P^ x I i ? P pour tout objet G de est une petite catégorie appartenant à . a) Montrons que COMM ( C ) C des composantes connexes de à une catégorie discrète ) et à de , alors liS^FCP.l) ~ "^ >Ens .lim sa restriction, on a: lim^ F„(Pfl) A-> pei> c€c iei ° (les ^ m commutant dans Ens ) , — Jjim limv TT F (p,l) pcPçi&i cec ° ( I appartenant à COMM ( Ç )) , /•o lim^lâi ( I appartenant à C de G ) , i€i Fe-p TT P P ( P , I ) COMM (P ) pour tout objet P 13 b) Montrons maintenant que (ii) implique (i). Pour ce faire, notons Q: P • !>>C le foncteur composante connexe, i.e. tel que QQ^) = £ c } . - Si P ' : Ç x I ' • •> Ens est un foncteur, on lui associe le foncteur P: P x I > ç x i - — > Ens . Alors on a : Qx1j " P limP(P,l) — TT PfeP — C€C p f ï p — —C TT lim F'(QP,I) ^ H± lim p(PfI) c^c P ^ TT P'(c,i) c ç (car Q est constant sur P , et P_ est cont/ """0 nexe pour tout objet C de C ) , C± j£m P'(C,I) , 0¾ lim lim P (P,I ) — P«£ ï«rT U lim lim Fp(P,l) c e c PTP C I€ I ° n — lim lim F'(QP,I) C«Ç P € P i e ï £ TT lim F»(C,l) cec 1¾ (car Q e s t constant sur P.,, et P nexe pour tout objet C de C ) . — 1& CéÇ e s t con- 1 ¾ F'(C,I) . 16 ï On en déduit que le diagramme ci-après est commutatif dans 'Rne : P 14 lim lim H P(Pfl) — i> I le foncteur tel que D(PQ ) = -JL,} et 1 ) ¾ ) = £l ^ 1 pour tout objet C £ C, . D'après la proposition 2, puisque .1 est élément de COMM ( P ) , donc de Surj P, il existe un cône —-?> —j> inductif de base D dans JE. Par conséquent, I1 et 1^ sont connectés et I I est donc connexe, Si C a au moins deux objets, si C est l'un d'entre eux, si est élément de un foncteur, notons C0MM( P ) et si F*. P >> Ens est £> Ens i e foncteur tel que: - la restriction de P à P« x I —C — est - la restriction de P à P nl x I est, pour tout objet C P: P x I x I P^ C ^ C, le foncteur constant sur 1. On a alors : - lim F(P,I) PGP Ù! T T C""" —*> "" —5^ est dégénérée (et donc, en particulier connexe). Nous avons la Proposition |, Si alors Surj P Inj P = P est une catégorie petite et dégénérée, = COMM P = ob(Cat). Preuve. Par hypothèse, il existe un cône projectif (pp:P0 — ^ p ) p ^ p p ié de base IdL dans P . On a donc, en particulier, p p .p p d'où l'on déduit que = pp , P > P définit une sous-catégorie pp ' o o P' de P , initiale dans P . Comme on prouve facilement que COMM ( P') = ob(Cat) , on conclut facilement grâce à la proposio tion 1 . // 2.2. Calcul de Inj P lorsque P est non dégénérée et connexe, Montrons la Proposition £. Si P est une catégorie petite, non dégénérée et connexe, pour que la catégorie petite I appartienne à Inj P il faut et il suffit que I soit V - filtrante et P - bornée. Preuve de la nécessité. Prouvons tout d'abord qu'il est nécessaire que I soit V - filtrante. Pour ce faire, supposons que le diagramme n'admette pas de clôture dans I • Alors, pour tout objet J de I on dispose de la réunion disjointe Homj ( I, J ) - H^Jl H J i l H^ , où l'on a posé, pour s = 1 ou 2 : HT1 = 4 j:I — > J 1 il existe j S:Is s L -; i « J-Î J ,:L s s - Ceci permet de définir un foncteur P: P x I £> Ens > J tel que \ -> en posant: P(Pf J) = H^ 1 L ( H J x P/P ) IL EJ2 , avec P(p,j)(pf,jf) = \ j.jf si j.j1 se décompose par i^ ou ±2, (p-P1»j*jf) autrement. P 17 Comme P est non dégénérée, on établit facilement que, pour tout objet J de I , on a : jLim P ( P, J ) EJ. Hld — PtP Par suite, lim IJJQ. JGt ^ p P (P ,J ) 9 * ' a exactement deux élé- ments distincts, images de i. et i p par coprojection. D'autre part, pour tout objet P de P , l'ensemble lim P ( P , J ) n'a qu'un Je^i seul élément, coprojection de IdT. Par suite, l'ensemble lim lim PTP JC ï P ( P , J ) n ' a l u i a u s s i q u ' u n élément, puisque est connexe. Il en résulte que c^ ne peut pas être injective. Montrons maintenant qu'il est nécessaire que née. Pour ce faire, si D: P associons le foncteur P: P x I P (P , I ) = en désignant par r P I soit P - bor- $> I est un foncteur, nous lui >Ens défini par : (HomI(D(l),l) IL HomI(D(2),l)) / r p la relation d'équivalence engendrée par la relation identifiant j : D(l) 5> I et j 2 : D(2) 5? I , I tel que: dès lors qu'il existe un diagramme commutatif dans -> D(P')<3^^ D(2) D(1,P') D(2,P') où Homp(Pf,P) ^ 0 dans P . On note alors j la classe de j m= "" FP —•P modulo r p et j l'image de j par la coprojection suivante: P (P ,I ) £> lim P ( P , I ) 1¾ F 18 Pour chaque objet P de P , on a : = D(17P) P = D(17P) P = 5 J ( 2 ) wj(1) dans lijn D(1,P) P p ( p , l ) , puisque = D(2,P) P dans P(DP,P). On en déduit que : (ld dans D ( l ) } P £obP = (I S ( 2 ) } P €obP lim lim. F(P,l). D'où, puisque c„ F est injective, résulte P^P ïef que l'élément l'élément (la?, J „ _ .„ D(1) P € obP /TTP (ïdj^n^P Ç bP de de lim P(P,D(l)) et p*^-p PC P ^i™ F(p»D(2)) o n t d e s images P ç P égales par les deux coprojections : Um F(P,D(1)) P lha ] ptiP - (^¾ ^> Ens un foncteur tel que: ^im I€l lim F(P*l) PÉLP F ( P , I 2 ) , d'image F(P,I ) ^ xg 5> l i n ^ lim P ( P , l ) iei peP Supposons cF(x ) = cF(x2). Comme I est V - filtrante, pour tout objet P de P , il existe un diagramme : .l\ ^ 2 dans I tel que F(P,i^)(3cp) = F(P,i|)(x£). On peut donc définir un foncteur D: P >> I en posant : D(P,s) = ip , si s = 1 , 2 . Comme I est P - bornée, on en déduit l'existence d'un diagramme P 20 D(1) = ^ I 2 = D(2) I dans I ainsi que, pour tout objet P de P, l'existence d'un diagramme commutatif, dans I , analogue au diagramme 1 de 0.11., dont nous reprenons les notations. Pour tout objet P de P , comme Hom p (P k f p) ^ 0 V/ 1 ^ k < 2n^+1 , on dispose de flèches p l: Pl ^ P ' où -1= ^ 2 ^ - ^ 2 ^ ) + 1 » d a n s Si l'on pose, pour s = 1,2 , y ^ Z • = P(P,i ) ( x p , nous avons donc: 4 - p<»i>V(<>, = *(h,i\4 )(=4 ) = F( Pl ,^.iJ )(x| ) — «•. = F(p 2 " V 1 ,i )( X 2 2 P ) 2n p+ 1 y P ' 1 2 En conséquence, x = x et c // est injective . // 2.3. Calcul de Surj P lorsque P est non dégénérée et —5> connexe• Montrons la Proposition 6. Si P est une catégorie petite , non dégénérée et connexe, pour que la catégorie petite il faut et il suffit qu'elle soit I appartienne à Surj P V - filtrante et ZP - bornée. Preuve de la nécessité. Montrons d'abord que I est nécessairement V - filtrante . Pour ce faire, supposons que le diagrajnme 1 V I *£ 1 \ X2 X AT *2 P 21 n'admette pas de clôture dans I . On désigne donc (comme dans la première partie de la preuve de la nécessité de la condition de la proposition 4) de la somme disjointe : Homj ( ! , j ) = H{ H H J ILHJ Ceci permet de définir un foncteur - P(P,J) F:P x I ^ Ens en posant: = (ITJ* x J l } x P/P) jJLtlT1 x P / P XP/P)J1(H^ x {2} XP/P) f(j«i»1fP*P2) s f i l existe j' tel que j.i = j • •! - F(p,j)(i,Pl,p2) =j(j.i,p.p2) si j.i£HJ Hj.i,2,p.p ) s'il existe j' tel que j.i = j!.i0, Alors, il est clair que, pour tout objet P de éléments(p1,p ) de j: I P/p , tout objet J de > J, les triplets I et toute flèche (j.p^Pg) , (^,1^) et (ldIfIdpfp2) ont même image (par les coprojeétions) dans même que les triplets P , tout couple d' lim P(P,J) ; de ( j ^ ^ ) , ( i d ^ p ^ p ^ , (i2,2,Pl) et (ldT,p1,Idp) . On en déduit que lim P(P,J) n'a qu'un seul élé- ment , image par coprojection de (ldI,Idp,I(ip) . Comme connexe, l'ensemble lim lirn^ P(P,J) élément. ^¾ JeI Par contre, l'ensemble • lim P(P,J) P est n'a donc aussi qu'un seul est vide , en particulier pfP parce que P lim lim est non dégénérée. D'où il résulte que l'ensemble P(P,j) = 0 et lêf P?P Montrons maintenant que Considérons le foncteur I c_ F ne pourrait être surjective. est nécessairement ZP - bornée. E :P x § P £> Ens tel que, pour F 22 toute flèche p :P > P ' et tout objet - E(Q,P) = E(Q,p) = Homp(P,Q) , - E(Q,(d,p)) = HonipCldp.Q) - E(Q,(c,p)) = Homp(p,Q) . On vérifie facilement que l'ensemble Q de P : lim E(Q,X) n'a qu'un xTfp élément, représenté par Id . Si D: § P > I nous lui associons le foncteur P: P x I $> Ens en posant : - pour tout objet Q de P , P(Q,-): I est un foncteur, > Ehs est l'ex- tension de Kan inductive de E(Q,-): § P $> Ens le long de D . Il en résulte que l'ensemble lim P(^l) — lim E(Q,X) I e^i xT§ P n'a qu'un élément et, par suite, l'ensemble lim lim P(Q,l) I P(P,l) représentés par tels que, pour toute flèche P , on ait : p(p,l)(q^ip) = (p.qp,ip) = ce qui signifie précisément que I Preuve de la suffisance. Soit et (xp)p Q 0 K P - objet P de un élément de P , l'élément x^ p: P q :Q — > >> P' de (q^T^,) > est ZP - bornée . P: P x I > Ens un foncteur lim lim^ P(P,l) . Pour chaque P€P I6i de lim P(P,l) est image par la 1¾ coprojection d'un certain élément x_ p :P P , on a : >> P' ^p, = est une flèche de P(p,lp)(xp) dans de li^ P(P,3L>) ; de plus, si P(P,,I) . p P 23 Ceci- signifie donc, puisque I est V - filtrante, qu'il existe un diagramme D(P) = ½ D(d,p) \ Ip, =D(P«) /l)(c,p) I p - D(p) de I tel que P(p,D(d,p))(xp) = F(P',D(o,p))(xp,). On définit ainsi un foncteur D: § P > I et, puisque I est ZP - bornée, on dispose donc de deux diagrammes analogues aux diagrammes 2 et J de 0.12. dont nous reprnons les notations. Posons, pour tout objet P de P : y = p(q ,i )(x_ ) . C'est un élément de F(P,I ). Bien entendu, x_ et y ont même ima11¾. F(P,l) par la coprojection P(P,I ) -> lim>F(P,l) ICI ° I cf De plus, pour toute flèche p: P £> P' de P , nous avons : ge dans F(p,l)(yp) = P(p.qp,ip)(x ) = P(r 1 ,J 4i .D(o,4 1 ))(x Q2 ) = P( r .q ,j .D(c,q ))(x ) 1 2 q2 2 Q^ = ï( r3-^»Jq2-D(c,q2))(xQ5) = F( qp,,lp,)(xQ ) = yp, En conséquence, la famille (y p ) p __ , p appartient à l'ensemble lim P^P F(P,I ) et son image y par la coprojection dans l'ensemble ° F lim^ 14JDQ I * I PCP c F(P,I) 24 e s t t e l l e que c (y) = ( x p ) p fi Q b p . Donc - COMM ( P ) lorsque P est non dégénérée et est surjective • // 2.4. Calcul de connexe. Comme Inj P O Sur j P — ^ — = —$&• COMM ( P ), nous avons donc, en - 5» vertu des propositions 5 et 69 la. Proposition £. Si P est une catégorie petite , non dégénérée et connexe, une petite catégorie est élément de lement si elle est 3. Calcul de COMM ( P ) si et seu- V - filtrante, P - bornée et ZP- bornée. COMM ( P ) lorsque P est discrète, 3.1. Calcul de Inj P , Surj P , et COMM ( P ) lorsque P = 0. _^ — —5> — ^ On vérifie immédiatement la Proposition 8. Les éléments de Inj 0 sont Igs catégories ££ii- tes connexes (éventuellement vide)• Les éléments dg, Surj 0 sqn% les catégories petites et non vides « Les éléments de COMM^( 0 ) sont les catégories petites connexes et non vides. ^).2. Calcul de Inj P lorsque P est discrète non vide 0 Prouvons la Proposition ^. Si P est une catégorie petite, discrète non vide, pour que la petite catégorie I appartienne à faut et il suffit qu'elle soit ZP - filtrante . Preuve de la nécessité. Soient I et T pour tout objet P de P , soit D :Z P rip tel que et Dp(l) = I ^(2^+1 ) = Inj P deux objets de il I et, $> 1 un zigzag de I I' . On définit alors un F 25 foncteur F : P x JE F(P,J) Si X = est objet de Z •> Ens en posant : lim X€Z Hom (D (X),J) - et si j : IL(x) dans - j son image dans F(P,J) par la coprojection HomT(D (x),j) — — > > P ( P , j ) . De même, nous noterons de j dans l'ensemble F(P,J) ?> l'image lim^ F(P,J). Alors on vérifie facilement que, Dp(2k-1 =^^¾^ = IdD 14 k ^ ^ dans On en déduit que, pour tout objet P de P 1 4 f c î ^ 2n p+ 1 , on a : Idj = dans l'ensemble lim pose que l'élément (ldjf)p€ F(P,Bp(2k)) . et tout entier k' IcL/ k ,\ = Idj, c^ est injective, cela im- ÇTtiP) l^m P^€ P p de p € £ de tions égales dans l'ensemble ment dire que I » on a: F(P,J). Comme 1 et l'élément j lim^ F(P,J) par la coprojection I ÉI pour tout objet P de P , et pour tout entier tel que I, P -rip nous noterons v> J p ^ T p P(P>l) ljjn > lim I* Ens un foncteur, Hp F(P,l) = p ^ pF(P,l) et (x£)p ^ £ F(Ç p — — ^ F(P,I') , dont nous notons x et xf les imaP6 P ges respectives par les coprojections dans lim lim F(P,j) . J ê X F* P un élément de P 26 Si C F( X ) = °p(x') » alors, pour tout objet P de P , les copro- jections de Xp et x£ dans il existe un zigzag lim^ P(P,J) sont égales, et donc, J S I Dpt Z ^ x et u n e f ^ ( k, W r P'1 £ k$-2n-,+1 tels que : -D p (l) = I , 1^(21^+1) = I» , - y p = Xp , y^P+1 = xp , >2h))(y 2 £- 1 ) = y 2 h - P(P,Dp(2h-1 > 2h))(y2J+1) , pour tout 1 <. h < r y = P(P,Dp(2h+1 Comme I est ZP - filtrante, il existe un zigzag D: Z ^> I vérifiant les conditions de 0.14 (où l'on pourra uitliser le diagramme 4 ) . Par conséquent, pour tout entier 1 <£k* ^ 2n+1 , il existe un élément (tjf) de l'ensemble lim P(P,D(k')) P P - P^P de telle sorte que , pour tout objet P de P et tout entier 1 < 1 ' 4 n, on ait : - tj . ^ , t 2 ^ 1 = Xp - F(P,D(21'-1 =>2l'))(t J'"1) = t2*' = P(P,D(21'+1 Il suffit de prendre pour t , 2 >2l'))(t 2 l p + 1 ) . l'image d'un y* par une applica- tion F(P,i) telle que i: Dp(k) ?>D(k') , Idj et Idj, aient même coprojections dans lim Hom^D^X),])^)) , ( X J )-Op ^ x -n£ ce qui est possible puisque I est ZP - filtrante et puisque deux flèches i: Dp(k) >D(k') et j: Dp(h) 5>D(k') sont nécessairement telles que i(yk) = j(y£) . On en déduit que tous les tp ,où P 6 P et 1 ^ k' £ 2n+1, F 27 ont une image commune par coprojections dans lim lim D'où il résulte que x = x1 est injective. // et donc que c y F(P,l). 3.3. Calcul de Surj P lorsque P est discrète non vide. Démontrons la Proposition 10. Si P est une catégorie petite, discrète et non vide, pour que la petite catégorie 1 appartienne à Surj P , il faut et il suffit qu'elle soit P - filtrante . Preuve de la nécessité. Si (]_) est une famille d'objets de I , elle définit un foncteur D: P° P v" I si l'on pose D(P) = L ! Il suffit alors d'appliquer la proposition 2. Preuve de la suffisance. Si F: P x I un élément x de lim lim PNÏP >> Ens est un foncteur, F(P,l) est déterminé par une fa- 3 ¾ d'éléments de F(P,Ip) . Soit (ip - p > I ) P e p mille (xp ][ ) p ç p un cône inductif dans I de base la famille (lp)p£ p e^ dont 1' existence est assurée puisque 1 est P - filtrante. Posons y = F(P,lJ(x^ x ) pour tout objet P de P. Notons y 1' image dans 1% lim F(P,J) de la famille J52 PCP coprojection c lim P^P F(P,l) p(y) = x car x_ l'ensemble lim et y - ont même image, pour tout P, dans F(P,j) . // Inj P f\ Surj P = propositions P F => lim ^ m F(P,j) . On a alors J£J F £ P 3.4. Calcul de COMM ( P ) lorsque P Comme (yj-p <- p par la 9 et 10, la est discrète non vide. COMM ( P ) , nous avons, en vertu des F Proposition 11« Si P 28 est une catégorie petite, discrète non vide, pour qu'une catégorie petite I soit élément de COMM ( P ) , il faut et il suffit qu'elle soit P - filtrante et ZP - filtrante. 4* Remarques , compléments et exemples. 4«1» On vérifie immédiatement que, si I' ' ' > I teur final entre catégories petites , alors dans COMM ( I 1 est un fonc) est inclus CgMM ( I ) ; ce qui "dualise" la proposition 1. De même, il est facile d'établir que les éléments de COKM(0) sont les petites catégories non vides ; ce qui "dualise" la proposition 8. En utilisant un calcul direct ou encore les propositions 7 et 11 , on voit enfin que, si I dant un cône inductif (i_: I $> I )_ - _ ^ I on a Inj I = Surj I = est une catégorie petite posséde base Id_: I o I€ 1 1 — >> I , ' — CpMM(l) et ses éléments sont toutes les catégories petites ; ce qui "dualise" la proposition 4 . De même, la proposition 3 est la décomposition de on a encore I COMM ( I ) = se dualise. Si I = en somme de ses composantes connexes, (COMM ( C )) 0 ( n£> nCOMM (ln)) . 4.2. De la caractérisation des éléments de lorsque P n^G C ïn COÎÇM ( P ) , est une petite catégorie donnée, on peut déduire , a contrario, une caractérisation des éléments (ou d'une classe remarquable d'éléments) de CCMM ( I ) lorsque Ainsi, notons : ^ - pour tout entier n ^ 2, V ^ n I est donnée. la catégorie représentée par F 29 - pour tout entier n V, 2 , U^ la catégorie représentée par 11 W - pour tout couple d'entiers (n,m), avec n ^ 2 et m ^ 2, la catégorie représentée par : W 1 ^ w wh wn > hk w* . :> Wfc Sa > w; Comme ni V , ni U , ni W ne sont V - filtrantes , de la -n ' —n ' —n,m — ' proposition 5 résulte que les seules catégories connexes appartenant soit à COMM ( V ) soit à COMM ( U ) soit à COMM ( W sont nécessairement De la^ — proposition ^g-— dégénérées. —n —n ' 4 on déduit <•-— —n,m alors que ces catégories (connexes) dégénérées sont bien éléments de CpMM ( V ) , COMM ( U ) et COMM ( W ). ^— —n ^c— —n -^—n,m Comme de plus, ni V ni W ne sont P - filtrantes, -n -n,m — lorsque P est une catégorie discrète ayant au moins deux objets distincts , on en conclut que les seuls éléments de COMM ( V ) = COMM ( W ) sont les catégories petites dégénérées . 4.3^ H suffit de "réécrire" la proposition 7 pour déter- miner les limites inductives commutant dans Ens avec les noyaux de 2 (ou même n ^ 2) flèches de même source et de même but. En effet, il est clair que les éléments de petites catégories vérifiant : (i) tout diagramme de JE de la forme : COMM U sont les F 30 i. se clôt dans I en un diagramme commutatif de la forme /7 1 ^ 71 c'est-à-dire que I est V - filtrante. (2) Tout diagramme de I de la forme suivante: i' 0 I d. X se clôt dans I 2 en un diagramme commutatif : où les J. sont égaux à l'un des éléments de ^ 1 , L. ,!„ ,1' j F 31 et les k. , kl sont égaux à l'un des éléments de Ai^ipji' >ipS • De la même manière, on peut caractériser les limites inductives qui commutent dans Ens avec les produits fibres de 2 (ou même n ]^2) flèches de même but. Ainsi, les éléments de sont les petites catégories (i) I ) vérifiant : 1 tout diagramme de COMM ( V° de la forme suivante i o se clôt dans I en un diagramme commutatif de la forme ^fs J 1 / J i \ J 2 Jï 2 •. %, y-. c'est-à-dire que o I est V - filtrante . (2)' Tout diagramme de 1 de la forme suivante : détermine deux diagrammes commutatifs dans (*) et (**) .: I , ci-après désignés P 32 (*) J h. k k 2 2n 2n xf o \ /~2n+2 '1 où les 2n+1 J. sont pris dans Si ,V ,1.X et les k., k! sont pris h., h' sont pris dans ^±1,i* ]; . (**) "1 2m+1 où les H. sont pris dans $ I ,1* ,I 0 1 et les X C O O ^ i 1 1 dans ^ ^ f i ^ • 4.4« De la proposition 7» on peut aussi déduire une description de COMM ( r ) = '< COMM ( P ) , lorsque r est une P€.P -=> ~ -=>> classe donnée de petites catégories. Ainsi, si ^ est .un ordinal régulier, et si "K, désigne ja cJat>Sb des catégories "* <"—i Ç-i oL - petites , on retrouve que COMM \*^. contient la classe J^_ ç des catégories petites ^-filtrantes. De plus, on vérifie que COMM ( % ) = ^_çt De même, si "p désigne la classe des catégories petites c F 33 et connexes, on retrouve que COMM ( K ) contient la classe \1 des catégories petites et discrètes. De plus, on établit que COMM ( p gories ) = I ^3 où ^J l d est la classe des petites caté- dont chaque composante connexe ductif de base Idj 4.5. Soit : IQ >IQ ob : Cat_ Ic possède un cône in- . >J5? (resp. FI : Cat £> Bas ) le foncteur "objet" (resp. "flèches") . Ces deux foncteurs commutent aux I - limites inductives dès que I est une catégorie petite vérifiant les conditions (1) et (2)' de 4.3. En effet , Cat est équivalente à une catégorie de foncteurs continus de S vers Ens , où S est une petite catégorie où sont distingués des produits fibres ; les I - limites inductives dans calculent donc comme dans Ens— dès que les Cat se , c'est-à-dire point par point, I - limites inductives dans Ens commutent aux pro- duits fibres . De même , une catégorie localisable au sens de Diers est à limites projectives connexes (par exemple la catégorie des corps) car elle est toujours équivalente à une catégorie de foncteurs continus et co-continus S S ^> Ens où l'on a distingué dans des limites projectives petites et des sommes petites.