D IAGRAMMES

L AURENT C OPPEY
Thèse de doctorat d’état es sciences mathématiques
présentée à l’université de Picardie
Diagrammes, tome S3 (1980), p. I -139
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1980__S3__R1_0>

© Université Paris 7, UER math., 1980, tous droits réservés.
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Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
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Une première version de ce texte était réalisée
en Septembre 1977, dans le but d'unifier des articles antérieurement parus (cf. la bibliographie) et aussi d'adjoindre
certains développements (par exemple: précatégories bien ordonnées, structures libres de décompositions).
En tenant compte des remarques et des conseils de
J.Bénabou, j'ai pu réaliser en Avril 1978 la présente version,
plus courte et plus claire.
Madame A.Ehresmann m'avait proposé de publier ce
texte dans la série des "Esquisses". Les douloureux événements
qui ont marqué sa vie depuis lors l'ont contraint à ne point
disperser ses efforts, tant sur le plan humain que sur le plan
scientifique. J'ai moi-même hésité un temps avant de me décider à publier ce texte, qui, par certains aspects, n'offre pas
la nouveauté souhaitée par rapport aux publications antérieures. Cependant, il me semble meilleur de le sortir du tiroir,
même trois ans après sa conception.
C'est à dessein que je n'ai apporté aucune modification au présent texte par rapport à la version d'Avril 1978,
et que je n'ajoute aucun commentaire philosophique ou mathématique, en dehors de ces quelques lignes,

Paris, Octobre 1980,

THESE DE DOCTORAT D'ETAT ES SCIENCES MATHEMATIQUES
présentée

à

L'UNIVERSITE DE PICARDIE
par
M. Laurent C O P P F Y
pour obtenir le grade de Docteur e s S c i e n c e s
s o u t e n u e le 28 Juin 1978

Sujet de la I e T h è s e :

Algèbres

de décompositions

et P ré rat ego ri es

Jury :
M m e et M. EHRESMANN, U n i v e r s i t é de P i c a r d i e
( D i r e c t e u r s de R e c h e r c h e )
M. J. B F N A B O U , U n i v e r s i t é Paris-Nord
( D é l é g u é nommé par la Commission d e s T h è s e s de Paris )
M. J. LAMBFK, McGill U n i v e r s i t y , Montréal
( t r o i s i è m e rapporteur)
M. ROSENBFRG, U n i v e r s i t é P a r i s 7
(examinateur dé la deuxième t h è s e )
M. L. BOASSON, U n i v e r s i t é de Picardie

"La tka^z, j'e 6aù> ce que c ' u t
ça nzmplaca la ^e£e du <Lcolu
mcutzAnoJULeA".
CClara Coppey, 27 mai 78).

INTRODUCTION
Le symbole i renvoie à la fin de cette introduction .

Soit C une catégorie à produits finis et soit n > 1 un entier ; à un choix
des produits de n objets de C correspond un adjoint à droite II au foncteur
diagonal A

: C
n

E
la catégorie C

•C

; la paire (II ,A ) définit un triple E
dans C, d'où
n n
n

des IE -algèbres et le foncteur de comparaison <j) : C

Le problème de l'équivalence des catégories C

n

E

E
vC n.

n

et C n consiste donc à savoir

si on peut traiter les "décompositions des objets de C en produits" comme des
"structures algébriques" (i.e. définissables par des lois de composition) ; dans
l'affirmative, nous disons que C est à décompositions algébriques.

Améliorant les résultats de [4], nous prouvons au chapitre 1 les points
suivants :
- Il suffit que (j)~ soit une équivalence pour que ((> en soit une pour tout
n > 2.
- Lorsque C est une catégorie exacte, elle est à décompositions algébriques
si et seulement si elle est à supports pleins.
- Si a est une esquisse projective, la catégorie C

des structures d'espèce a

dans C est à décompositions algébriques lorsque C l'est aussi (même si C est
exacte, il se peut que C

ne soit pas régulière !)

- Toute catégorie T^ = p

(Ens ), où p : T

• Ens est un foncteur topologi-

que (au sens d'HERRLICH) est aussi à décompositions algébriques.
~ Désignons par G le groupoîde, interne à C, des "couples" d'un objet X. On
montre que, si C est à noyaux des paires égalisables, les I_ -algèbres sur X
sont en bijection canonique avec les décompositions directes de G en deux sousgroupoïdes internes à C. Aussi, lorsque (J) n'est pas une équivalence, une telle
décomposition de G ne provient pas nécessairement d'une décomposition de X.
- Plus généralement, notons Gr(C3 la catégorie des groupoïdes internes à C.
Les décompositions directes des objets de Gr(C) en deux sous-objets sont les algèbres d'un triple ]E' dans Gr(C) ; de plus, E ' induit dans C le triple
lorsqu'on identifie C à une sous-catégorie pleine de Gr(C).

E

II -

En fait, ce dernier résultat subsiste pour la catégorie Cat(C) des catégories internes à C ; c'est ce que nous montrons au début du chapitre 2, dans le
cas où C = Ens, pour simplifier. Plus précisément, soit

E * le triple "éléva-

tion à la puissance m" dans Cat ;on montre que les IE -algèbres sur une catégo-

m
rie C sont en bijection avec les décompositions directes de C en n sous-catégories ; pour n = 2, une telle décomposition est un couple (C^C.) de sous-catégories de C tel que la composition C« * C

»C définisse une bijection.

Nous étudions en détail ce genre de décompositions : relations avec les limites
existant dans C, effet des changements de base, catégories de relations associées, présentation en termes de fibrations, exemples variés (citons ici : les
produits"semi-directs" de groupes, les topologies de GROTHENDIECK dans un topos,
les fibrations dont la base est elle-même munie d'une décomposition).
Les résultats précédents s'appliquent en particulier aux monoïdes. Cependant,
dans le cas élémentaire de IN, ils ne rendent pas encore compte de la "décomposition a = bq+r" (division euclidienne par b ) . C'est pourquoi il convient de
regarder

U comme objet d'une catégorie plus vaste que Cat.

La structure de précatégorie^et celle de précatégorie bien ordonnée (b.o.)
répondent naturellement à ce besoin. Elles sont étudiées systématiquement au
chapitre 3 :
- Plongements universels d'un graphe dans une précatégorie et d'une précatégorie dans une catégorie (ce dernier est injectif).
- Sous-précatégories (stables ou non), précatégories quotient.
- Catégories des fractions à gauche et à droite d'une précatégorie.
- On montre que les précatégories b.o. sont exactement celles qui satisfont
une condition artinienne pour les diviseurs propres.
- On trouve une condition nécessaire et suffisante pour qu'un produit de précatégories b.o. soit encore b.o. (l'analogie est complète avec le cas des espaces
localement compacts ou localement connexes).

Au chapitre 4 nous caractérisons les décompositions directes libres d'une
précatégorie en
(a) deux sous-graphes multiplicatifs,
(b) deux sous-précatégories (qui sont alors "complètement instables"),
(c) deux sous-précatégories stables (extension naturelle du résultat obtenu
pour les catégories, puisque les sous-précatégories stables d'une catégorie sont
ses sous-catégories).

III

Seuls les cas (a) et (c) correspondent à des structures algébriques au dessus
de Précat. La solution du cas (b) s'obtient aisément grâce à la notion de décomposition partielle.

Nous abordons aussi les problèmes de stabilité :
- Les noyaux d'instabilité des facteurs d'une décomposition de précatégorie
mesurent en partie leur défaut de stabilité dans G ; c'est la notion qu IL convient
d'introduire pour décider de la trivialité d'une décomposition d'un produit de
précatégories en fonction des décompositions facteurs ; dans la situation "b.o."
nous obtenons un critère général qui s'applique justement au cas des décompositions
additives de IM , pour k > 2 et ceci permet d'expliciter celles-ci pour k = 2
(nous retrouvons ainsi, et de façon simple, un résultat de I. NIVEN). De plus,
nous cernons la seule difficulté pour k > 2, qui consiste en la détermination
explicite des noyaux d'instabilité en dimension k-1 > 2 !
- Nous étudions aussi la propriété d'co-stabilité d'une décomposition, qui
signifie intuitivement que les facteurs sont stables modulo un nombre fini de
réarrangements. On démontre (chapitre 5) que les décompositions des entiers sont
co-stables.

Les résultats concernant les entiers sont regroupés au dernier chapitre. Nous
ne pouvons pas les résumer ici. Soulignons seulement que notre méthode consiste
essentiellement à "oublier la division euclidienne" au profit de l'addition et
du bon ordre seuls, ce qui ouvre la voie à de nombreux problèmes parmi lesquels
nous citerons seulement celui-ci : si A est un facteur direct de l\l, ou encore
plus généralement une sous-précatégorie de

|M ,

quand peut-on dire qu'il

est irréductible ? Au chapitre 4 nous définissons les cardinaux précatégoriques,
mais en fait, les précatégories b.o. généralisent de bonne façon les nombres
ordinaux (il y a de nouveaux nombres finis !) ; la question précédente (sans doute difficile) devient alors la suivante : quels sont les nouveaux nombres premiers?

| Nous n'imposons pas l'existence de toutes les limites projectives finies
dans les catégories régulières ou exactes.
|Le terme "semi-direct" serait plus conforme à l'usage.
| Ens^ = catégorie des ensembles non vides; m = catégorie associée à l'entier ordonné |i) ; (Pré)Cat = catégorie des (préCatégories. La structure de précatégorie est plus faible que celle de catégorie : <*(y) = A(x) n'implique pas
l'existence de " y.x" .

IV -

J'adresse mes plus vifs remerciements à Monsieur et Madame EHRESMANN,
pour tout ce que je leur dois. L'esprit de liberté et la générosité qui les
animent ont marqué beaucoup de leurs élèves; à ce titre, je souhaite que le
présent travail soit le signe, sans doute trop modeste, de ma reconnaissance.

A Monsieur le Professeur J.BENABOU je témoigne ma gratitude pour les
nombreuses et utiles suggestions qu'il m'a faites dans l'élaboration de ce
texte.

Je remercie Messieurs les Professeurs J.LAMBEK et L.BOASSON qui me font
l'honneur de faire partie du Jury, et Monsieur le Professeur H.ROSENBERG qui
m'a proposé un "second sujet de thèse" passionnant.

A mes parents je tiens à dire ici mon admiration et ma profonde reconnaissance. J'ai appris les premiers éléments d'Algèbre, d'Analyse et de Géométrie
avec Jean COPPEY, qui n'a pas attendu les "multiples réformes" pour enseigner
les "Maths, modernes" et de façon très vivante ! Marie Thérèse COPPEY m'a sans
doute appris les tables d'addition et de multiplication ainsi que la règle de
trois, mais elle sait bien que l'admiration et la reconnaissance d'un fils pour
sa mère ne se mesurent pas de cette façon.

Madame J.ARPIN a réalisé avec art et minutie la composition de ce texte,
pourtant voué aux décompositions, et je l'en remercie chaleureusement.

J'exprime enfin ma vive sympathie à tous mes amis des Universités de Paris VII et d'Amiens. Il n'est guère possible de les citer tous sans risquer 1'
oubli maladroit, mais je ne doute pas qu'ils sauront se reconnaître ici.

1 -

CHAPITRE

I

DÉCOMPOSITIONS ALGÉBRIQUES EN PRODUITS DES OBJETS
D'UNE CATÉGORIE

0. Position du problème

02

1. Réduction au cas n = 2

02

2. Etude du cas n = 2

05

3. Cas des catégories exactes

06

4. Démonstration des théorèmes énoncés en 3

09

5. Caractérisation générale des E-algèbres

' 13

6. Transfert et exemples

23

2 -

1.0. POSITION DU PROBLÈME.
Soit C une catégorie à produits finis ; un choix de produits finis détermine, pour chaque entier n, un adjoint à droite TT
A

: C

du foncteur diagonal

n

*C .

n
Désignons par 1E
pour X 6 Ob (C), ô

= CC ) #6,\i) le triple dans C correspondant à (ïï ,A ) ;

: X

est le produit p. x...x p

*> X n est le morphisme diagonal et y x : (X ]
des projections naturelles p. : X

*X

•X.

E
La catégorie des TE -algèbres est notée C
; la paire de foncteurs adjoints
n
U
ÏÏ
E
n
n
usuelle : C
«
* C est reliée à la paire C * . *~ C par le foncteur de compan

raison d> : C
n

n

-*E
*-C

. Nous allons montrer que dans beaucoup de cas d> définit
n

une équivalence de catégories ; on dira dans ce cas que C est à décompositions
algébriques. Les résultats suivants sont contenus dans [4], mais ont ici une présentation sensiblement différente et améliorée.

1.1. RÉDUCTION AU CAS n=2.
Elle résulte de l'application du critère général de triplabilité de J. BECK,
dont nous rappelons l'énoncé ; partant d'une adjonction D ^5==2, C (F adjoint à gauT
che de U ) , on obtient un triple T dans C associé à (U,F), la catégorie C des
T-algèbres et le foncteur de comparaison <J> : D — * C . Soit P p l'ensemble des
f
Uf
paires FX ^=5 FY dans D telles que UFX ,, *» UFY soit une paire contractile a\/ec
g
Ug
conoyau.

Enoncé du critère de J. BECK [18] : <J> définit une équivalence de catégories
si et seulement si D a des P -conoyaux et U préserve et reflète les P-conoyaux.
f
Rappelons qu'une paire X ^ ? Y
tel que gd^ = 1

est dite contractile s'il existe cL : Y

*X

et fd.g = fd.f ; dans ce cas, si (f,g) possède un conoyau p, il

existe un unique d tel Mque rpd
o
o

= 1 et d p = fd..
o^
1

3 -

Rappelons aussi la signification des expressions utilisées dans l'énoncé
précédent :

"D a des P -çonoyaux"

E toute paire élément de P p a un conoyau.
= si Cf.g) e P p et si K en est un conoyau,

"U préserve les P p -conoyaux"

alors Uk est un conoyau de (Uf,Ug).
"U reflète les P p -conoyaux M

E si (f,g) e P p , si Kf = kg et si UK est

un conoyau de (Uf,Ug), alors k est un conoyau de (f,g).
f'
LEMHE - Dans une catégorie C, toute paire X» — r * Y• rétracte d'une paire conë
f
tractile X z = ^ \
g

est aussi contractile,

• En effet, par hypothèse, il existe TT ,0 ,TT ' »0 ' tels que
f
ïï'Cf.g) = Cf'.g'ÎTT
a ' C f ^ g ' ) = tf,g)a
TTO

soit d

gd

= 1

et

fd.g = fd.f

= 1 X , et n'a'
: Y

et posons

•y » '

* X tel que

djj = ïïd^' ; il vient :

g'd^ = g'ïï^a' = ïï'gc^a1 = ïï'a1 = i y l
et

fd'f

= fïïd^'f

= ïï'fc^fa = ïï'fd^a = f'ïïd^'g' = f ' ^ g ' ,

ce qui prouve que (f',g') est bien une paire contractile. A

Xn

Exemple : Dans une catégorie à produits finis, si la paire
fiX^.xf
f x...xf
1
n
r
-•Y
g x...x g .
g>|X..-*g—i- Y est contractile, alors toute paire X

n

contractile, pour 1 < i. < i„ <...< i

^ n.

Venons-en alors à la situation de départ et montrons la

est aussi

PROPOSITION - Si <j)_ définit une équivalence de catégories, alors <f> définit une
équivalence de catégories, pour tout n > 2.
f Procédons par induction ; supposons que <J)

définisse une équivalence de

catégories ; soit
Cf f

r2

CX.X

y

X) .
l
*1'*2

ZZt[Y>Y
Ê J
n

Y)

une paire élément de P. , c'est-à-dire que
n
f x...xf
i
n
n
X
=?• Y n
g l x...xg n
est une paire contractile et admet un conoyau k; alors, dans C n ~ , la paire
2

1 2

z

(x ,x

n

3

x)

,

r-r
^1^2^3
2

admet aussi un conoyau (Y ,Y,...,Y)

g

2

tY

*Y

Y]

]

n
(c,c3,...,c )
> (Z,Z ,...,Z )
3
n'
car <J> _ définit une équivalence
2 V

de catégories et U
n

f

2

reflète le conoyau k ; d'après le lemme, X
"'

,
»Y

E„ x P"

est une paire contractile et on vient de voir qu'elle admet un conoyau c, donc la
(f

1'V

paire (X,X] (Y,Y]

^ (Y,Y) est élément de PA ; elle admet un conoyau
grg2J
A
M Z ^ Z ^ car <J)2 définit une équivalence de catégories ; en définif

iB
tive, chaque paire X g » Y, i = 1,2,...,n, admet un conoyau c.. et ceci prouve
ë
x
i
1
. -conoyaux ; on voit de même que ÏÏ préserve et reflète les
que C" a aes
des hP^
P

-conoyaux. A
n

Remarquons aussi que si, pour un entier n>2, <J> définit une équivalence de
n
catégories, il en est de même de <J>2 : il suffit d'introduire n-2 fois l'objet final,

- 5-

1.2. ETUDE DU CAS n=2.
n2

C

Nous simplifions les notations en supprimant l'indice 2 : le foncteur
<J> r TE
.... .
—^— u
est défini par :
4> C X, Y D = (Xxy,p xp ), où p x et p

sont les projections naturelles de

X x y vers X et Y, et <f>(f,g) = f x g .
2
On convient de désigner une algèbre sur X par un couple (X,9) où 0 : X
>X
2
X X
X
X
2
satisfait les deux égalités 0ôv = 1V et 9.0 = 0.p. x p
où p et p : X
*» X
A

A

1

Z

1

Z

sont les projections naturelles [on omettra le plus souvent l'indice X, ce qui
ne peut pas créer de confusion) ; quant aux morphismes, on peut les désigner
comme des flèches de C puisque l'oubli C

>-C est fidèle.

Une ]E-algèbre (X,0) engendre une (^-structure libre si et seulement si les
9>
9>
(crc2J
2
*• X e t X
+>X ont des conoyaux ; s i (X,X)
• • ( X ^ X ) e s t conoP
P
1
2
JM2+^ - C X , X ) , (X ,X J e s t une cf)-structure l i b r e e t l e c r o c h e t
2 2
yau de (X ,X ) -,
/]
9
2

paires X

1 'P 2

[c 1 f c 2 ] : X

^•X1 x x

définit le morphisme "injection" de (X,0) dans cfîCX^X ) ;

inversement, si (X^X^) est une ^-structure libre engendrée par (X,0) avec
e : C X, 9 )

*•<{) (X. ,X9) pour "injection" correspondante, le couple [p -e,pY .e)
1 2
2 2 C6 ' 63 ,
est conoyau de (X ,X ) -r
**(X,X).
Donc, si pour toute E-algèbre (X,0), les paires (0.p.J, i = 1,2 ont des
conoyaux, le foncteur (J) a un adjoint à gauche ; le choix des conoyaux équivaut

au choix de l'adjoint ; soit y un tel adjoint, qu'on suppose exister ; l'unité
e : 1

* ¢^ de l'adjonction est fournie par :
e

[c ,c ]
: (X,0)
M X . x x p x p ),
(X,0)
' Z X1 X 2

et l a c o u n i t é n, : ¥<!>
n

*• 1 e s t f o u r n i e par :

: (Z ,Z )

tx r x 2 )

- (x.Y)

(X,Y)

où À. et X 2 sont déterminés de façon unique par la propriété universelle des
conoyaux :

- 6

P

X*PY
(XXY) ==ÏX
2

P

xY

COn

P \

°

yaU

»Z<|

XXpY
(XXY) = = ^ X
2

xY

^ >/x1

C

°n°yaU> Z2

PY\ Y X2

la counité est un isomorphisme si et seulement si les projections naturelles
p

et py sont des conoyaux [ce sont alors les conoyaux de (p^p ,PJ et de

CPyXp

P ) respectivement).

Résumons ceci sous la forme de
PROPOSITION - (J) définit une équivalence de catégories si et seulement si

I

CB1D les couples (0,p.) ont des conoyaux c.

pour i = 1 ,2
(B2) le crochet [c.,0 ]est un isomorphisme.
~ Y

(C) les projections naturelles X x y

sont des conoyaux.
"^*X

Notons aussi que
- la condition [C] équivaut au fait que § est pleinement fidèle,
- et si la condition (B1) est satisfaite, c'est-à-dire si § possède
un adjoint à gauche V, alors (B2) équivaut au fait que ¥ est pleinement fidèle.

1,3, CAS DES CATÉGORIES EXACTES.
Les catégories régulières ont été introduites par NANESM9J et les catégories
exactes par BARR [1] ; plutôt que de faire une liste de références à ce sujet,
nous préférons reprendre les définitions et propriétés élémentaires qui vont nous
être utiles (les définitions qu'on trouve dans la littérature ne sont pas toujours
équivalentes].
- Soit C une catégorie ; pour f : X
R(f) : {g : X

^ Y € C on définit

»Z|fa = fb = * ga = gb} ;

on dit que f est un épimorphisme régulier (en abrégé épir] si Vg e R(f), il existe
un et un seul g tel que g.f = g ; un épir. est un épi. ; un conoyau est un épir.

- 7 -

- Soit C une catégorie à paires noyaux (i.e. : le produit fibre de (f,f)
existe quelque soit f) ; alors il est équivalent de dire :
* f est un épir.
* f est un conoyau,
* f est conoyau de sa paire noyau.
- Si un morphisme f d'une catégorie C se décompose en f = m.p avec p épir.
et m mono., cette décomposition est unique à isomorphisme unique près ;

- Dans une catégorie C, une paire R

» X est dite équivalence sur X lors-

que :

Hom (-,R) —

— » Hom (-,X)
[7^-,7^-]

x Hom (-,X)

est une équivalence naturelle ; lorsque la catégorie C est à produits et à produits fibres d'épimorphismes scindés, il revient au même de dire que
[TT V ÏÏ 2 J

R

2

^. X

2

est un sous-objet de X

(i.e. mono) réflexif, symétrique et transi-

tif (tout ceci s'écrivant en termes de morphismes évidents). Remarquons qu'il
n'est pas utile de supposer que C possède toutes les limites projectives finies
pour affirmer l'équivalence ci-dessus, et nous verrons en effet beaucoup d'exemples où C manque de noyaux !
- Si f : X

• Y possède une paire noyau N —-—• X, celle-ci est une équi—+
>X est effective s'il existe au

valence sur X ; on dit qu'une équivalence R
7T

moins un f : X

y Y dont R

r X est la paire noyau ; dans ce cas, si f se

décompose en épir./mono., soit f = m.p, on voit aussitôt que R

•X est encore
2

paire noyau de p et que p en est un conoyau ; on dit aussi que
ïï

i

" ? ^ z " t M suite exacts- La définition que nous proposons maintenant est un peu plus forte que celle
de BARR d J , puisqu'on demande l'existence de produits finis ; elle est moins
forte que celle de JOHNSTONE [151 ou que celle de NANES 119], qui supposent l'existence de toutes les limites projectives finies (resp. quelconques).

Une catégorie C est dite régulière lorsque :
/ elle possède les limites projectives suivantes :
- produits finis,
- paires noyaux,
(RP)

- produits fibres des paires de morphismes dont l'un des deux
au moins est un épir., avec la condition que les épir. sont
stables par produit fibre ;

elle possède les limites inductives suivantes
(RI)

- conoyaux des paires noyaux.
Une catégorie C est dite exacte si elle est régulière et si toute équiva-

lence y est effective.

Rappelons les résultats suivants [1], concernant les catégories régulières
(R1) Tout morphisme admet une factorisation épir./mono.
(R2) Si g.f est un épir., il en est de même de g.
(R3) Tout morphisme qui est mono, et épir. est un iso.
(R4) Le composé de deux épir. est encore un épir.
(R5) Le produit g x f de deux épir. est un épir.

Ces propriétés s'établissent sans faire usage de l'existence de produits finis;
si on suppose seulement l'existence d'un <J)-produit, on peut en déduire l'existence
des puissances finies X , mais on ne peut pas encore affirmer l'existence des
produits X x Y dont nous avons besoin dans notreproblème ; c'est pourquoi nous
avons inclus dans notre définition l'existence de tous les produits finis.
- Soit C une catégorie régulière et soit 1 un objet final ; pour tout objet
X de C, l'unique morphisme de X vers 1 admet une factorisation épir./mono. :

e
*

le but U x de e

»UX>

-

*1 ;

s'appelle le support de X ; il est défini à isomorphisme unique

9 -

près ; c'est un objet quasi-final, c'est-à-dire que, pour tout objet Y,
Hom (Y,Uy) est soit vide, soit réduit à un élément ; réciproquement, si S est
un objet quasi-final il est isomorphe à son support U^ (en effet, la paire noyau
de e„ est réduite à un morphisme, qui est donc un iso., de sorte que e^ est à
la fois épir. et mono., donc iso.).

On dira que C est à supports pleins si U y est isomorphe à 1, quel que soit
l'objet X, ou ce qui revient au même si tout objet quasi-final est final.
- Nous pouvons énoncer les théorèmes :

THEOREME 1 - Dans une catégorie exacte, la condition (B) de la proposition 1.7
est toujours satisfaite.

THEOREME 2 - Dans une catégorie régulière C, la condition (C) de la proposition 1.2
est équivalente au fait que C est à supports pleins.

THEOREME 3 - Dans la classe des catégories exactes, seules les catégories «J
supports pleins sont à décompositions algébriques.

1.4. DÉMONSTRATIONS DES THÉORÈMES.
Le Th. 3 est conséquence de Th. 1, Th. 2 et de la proposition 1^2.
Le Th. 2 est facile : si toute projection X x Y
un épir. ; on en conclut que U

= Uy = U

**X est un conoyau, c'est

; tous les objets ont donc "même"

support et celui-ci est isomorphe à 1 ; réciproquement, si C est a supports pleins,
les morphismes X

M

sont des épir., donc des conoyaux (de leurs paires noyaux)

et puisque le produit de deux épir. est un épir., les projections X x Y — * X sont
des épir.|

donc des conoyaux.

Le Th. 1 est plus long à établir. Nous procédons en plusieurs étapes :
So i t

donc C une c a t é g o r i e exacte e t
2
^
jections naturelles X
*X.
a) 0. ip^xQ)

= 0. (Qôp^e)
0.(0x0).£6p1x1 D
6.p1xp2. (ôp^l )
0-P 1 xp 2

(X,0) une

E - a l g è b r e , p. et p 9 l e s pro-

- 10

on voit de même que 6.(0xp 2 ) = S . p ^ p - j donc
6.8^ = 0 . ( P l x p 2 ) = e . ( P l x 6 ) = 6 . ( 6 x p 2 )
b) Soit X : X -

X

défini par X = 1 X x 6 X x 1

. désignons par

P^ : x

*X » i = 1*2,3 les trois projections naturelles (p
ème
bli du i
facteur) ; on voit que
[p^ej.X - 1

correspond à l'ou-

x 9

(0xp2).X = 0 x 1
(p 1 xp 2 ).X = p

2 '

des égalités établies en a) résulte alors que
"0 est une loi binaire associative satisfaisant les relations

x2 - x

et xyz = xz"
ce que traduisent les égalités :
6(1 y x 0) = 0(0 x 1 ) = Q$
c) Les noyaux de
Existence. Soit X

ete.ôy =

V

CG.p^ et (0,p2) existent et sont des équivalences sur X.
» R>] )

> X

la décomposition épir./mono. d e [ 0 , p J : X 2 — • X 2

d e 0 [ 0 , p 2 ] = 0, on tire que C 0 , p 2 ] est un idempotent ; donc r^ru = 1 R
8 [ 8 f p 2 ] = 0 = p 1 [ 8 f p 2 ] on tire que n^ égalise 8 B t P l ;

; de

soit y tel que 8y = p M ;

s'il existe y tel que n/ïî = y , on doit avoir y = r„y ; et on a bien
n ^ y = y car

i P ^ r ^ y = p 1 [6 f p 2 ]y = 0y = p ^
p

2nlr1y = P2C6'P2]VI = p 2 y s
7

r

2

de même la décomposition épir/mono. X — = * • R
nit le noyau n 2

2 .

•4. X„ 2 de [p„,0] : X 2
M

UH1

X 2 four-

de ( 0 , p 2 ) . R/] et R 2 sont des équivalences ; abandonnons les mor-

phismes pour plus de clarté (il suffit de penser que ce qu'on va écrire se transcrit en termes de m o r p h i s m e s ) .
(x,y) € R 1 <*—* 0(x,y) = p ^ x . y ) , soit xy = x ; alors
R^ est réflexive car x

= x

R. est symétrique car xy = x
R

1

yx = yxy
est transitive car xy = x et yz = v

y2-y
xz

xyz = xy = x.

11

(Nous utilisons ici l'énoncé établi en b) ) .
d) R. et R

étant effectives, nous avons les conoyaux
p'

R

p"

1-pJ-" X

^

où pjj = P ^ , p 2 = p 2 n 1

et

R

"X2

2~Tf**

p^' = P ^ * p£ = P 2 n 2 ' t pjj , p ' 3 étant la paire noyau

de c^ et (p'^p^) la paire noyau de c^ ; en utilisant les n.,r., i = 1,2, on voit
aussitôt que c

est un conoyau de (0,p2) et c

un conoyau de (0,p.), ce qui prouve

que la catégorie C satisfait (B1).

Remarque : Si C est seulement régulière, l'existence de c. comme conoyau de (0,pj
entraîne que c^ est aussi conoyau de ( p ' p ' ) , mais cela ne signifie pas que R
effective car il n'y a aucune raison pour que la paire noyau de c

est

soit (p',p.';)!

C'est donc vraiment l'exactitude de C qui permet de conclure à l'équivalence :

R1 et R 2 effectives 4 = ^ ( 0 ^ ) et (0,p2)

ont des conoyaux.

e) Montrons (B2) ; en composant avec les projections de X

x x

vers X

ut

X , on constate que :

fc^,c J.0.0* = c
2

x c7

2

où a : X

>X

est la symétrie ; de (R5) il résulte que c. x c.7 est un epir. et

de (R2) il résulte que [ c ^ ^ J est un épir. ; si l'on prouve que le ,e ] est aussi
un mono., il en résultera que c'est un iso. (R3).
Supposons Tc/|,c2)f - [c ,c 1g, soit encore

c^i

~ ^g

et

c 2 f = c2g ;

Comme R^ et R 2 sont effectives, il existe un unique À
(p',p^)A1 = (f,g) = (p''fp^)A2 ;

il

est

clair

que n /) X /] = n X^ = | f , g j

;

et un unique À., tels que :

- 12 -

posons r..6x = i. et ^ym^x = *2 ^ c e s o n t
R
n

les

morphismes de "réflexivité" de

et R 2 ) et prouvons que (i.,i2) est un produit fibre de (r.,^) ; d'abord

1*1 = n 2*2 = ^X ; s * ^ , k ) satisfait n.h = n_k = p, on voit que :

=

P>,P = P ^ ^

Sn^h = 8 n 2 K = P2 n 2 K = P 2 P '

de sorte que s'il existe p tel que (i^i )"p = (h,k), on doit avoir &p = p, soit
p = p>|p = p 2 p ; montrons que ce p convient ; faisons-le pour i.p ; comme n

est

mono, il suffit d'établir que n^i p = n h, soit encore 6p1p = p ; or c'est bien
vrai puisque

p ^ ô p ^ ) = p1p

et

p 2 (6p 1 p) = p 1 p = p 2 p ;

revenons à (X^X.-,) ; il existe alors un unique X tel que i X = X

et i X = X

;

il

vient alors :
f = p^n^X^ = p^n^i^X = X et de même g = X ,

ce qui achève la preuve du Th.1.

Remarques : (1) L'exactitude de C intervient pour obtenir (A^A ) et c'est indispensable pour prouver que [0.,0 ] est un mono.
(2) (X,i^Ji2) est aussi la limite projective du diagramme

R1

>X *

R2 !

(3) Si on raisonne en termes "d'éléments", comme on l'a foit pour
établir que R^ et R

sont des équivalences, la démonstration du fait que L c ^ c ,

est un mono, revient à dire : " R/| n R 2 = X"

et puis

"si f(x) = f(x) g(x) et

g(x) = f(x) g(x), alors f(x) = g(x)" .

Nous avons tenu à écrire la démonstration en termes de morphismes,
d'une part, pour comparer objectivement les deux méthodes,
d'autre part, pour fixer des notations qui vont encore servir.

13 -

l.b. CARACTÉRISATION DES E~ALGÈBRES DANS LE CAS GÉNÉRAL.
Nous allons voir que les Z-algèbres s'interprètent en général comme des
couples d'équivalences ayant une certaine propriété ; cette façon de voir conduira naturellement à l'étude des décompositions directes de catégories, qui fait
l'objet du chapitre suivant.

On suppose que C est une catégorie à produits finis et à noyaux des paires
"égalisables".
2
Soit 0 : X

+ X une I E - a l g è b r e sur X ; comme

6 égalise 0,p.,p

2
res (0,p.) et (0,p„) ont des noyaux respectifs n. : R. >

\

, les p a i -

z

*X et n ? : R >

2

*X ;

les relations établies en 1.4.b montrent que R. et R ? sont des équivalences sur X
(raisonnement 1.4.c) ; précisons

ici que les relations d'équivalence sont auto-

matiquement représentables ; montrons-le pour R , par exemple, en omettant les
vérifications qui ressortent de la routine catégorique.
Réflexivité : il existe un unique i. : X

p

*-R

tel que

iVi = p 2Vi = 1 x ••

d'ailleurs i

= r..6 où r. : X^

^

est l'unique flèche telle que n.r,, = C0,pvJ

?
Symétrie : on montre que On* égalise (0,p,.) où a = f p^#p^ J : X

2
* X est la

14

symétrie, de sorte qu'il existe un unique s. : R.

Transitivité : Soient ïï. et i\

1

R

me 6 R .i1 : X

V1 : ^

R

tel que an^ = n^s .

les projections naturelles de R- x R

1

sur R. ; com1

x R

1

>, égalise la paire (p9n TT ,pH n i\M )J, celle-ci a un noyau
2'T'1' 1"1 2
1
* R1 et ( ï ï ^ ^ ï ï ^ ) est un produit fibre de (p2n/|,p/|n1) ;

1

> R1

* R1

6r

comme Cp ,p^) est un produit fibre de (p2,p ), il existe un unique
m1 : R1 * R1

p

3m1

*X

=

tel que

n ïï v

l l l

et

p m

i l

=

n

17r2V1

;

enfin on montre que p m. égalise (0,p ), de sorte qu'il existe un unique
t1 : R1 * R1

n1t1 =

R. tel que

^

;

en résume R. définit bien un groupolde interne à C, qui est un sous-groupoïde
2
du groupoïde des couples X ; on notera cependant que si n. définit un morphisme
R
2
2
i
de groupoides internes, de R. vers X , il n'en est pas de même pour r* : X —
Voici la figure appropriée, où nous avons omis les noms des morphismes usuels
(source, but, projections) :

!

- 15

T^ .

nous pouvons alors énoncer la proposition qui caractérise dans C les E-algèbres

PROPOSITION -

Les E-algèbres sur X sont en bijection naturelle avec les couples

d'équivalences (R^R^) sur X satisfaisant la condition suivante :

le diagramme (D)
'1 ^3

a une limite projective

P
/

\
A

\q2

telle que p?.A est un isomorphisme.
• Nous reprenons les notations du début de ce paragraphe.
- Dans un sens, partons avec une E-algèbre 0 sur X et considérons le diagramme (D) où R. et R

sont les équivalences noyaux de (0^.) et (0,p~) respectivement;
2
on va montrer que (X , (r^A^r^)) est une limite projective de (D), où
A = [p^,0,p2] ; on aura bien : p2-A = [p1#P2] = 1 2 e s t u n i s o m o r P n i s m e > o n d
A

déjà vu que p .A
tel que :

= [0,p2J = n.r

et 'pg-A = [p^BJ = n r . Soit alors (r',A',r2)

16

n^jj = p1 .A' et n2r£ = P3-A' '

s'il existe un y tel que ( r ^ A j r ^ U = (r',A',r'), on doit avoir u = p2Au = / p 2 A',
et il suffit alors .de montrer que Ap«A' = A', car n,. et n 9 sont des monos ; désiz
3
3
gnons par p., i = 1,2,3 les projections naturelles : X — » X ; on a :
P 1 A^ 2 A' = pfi2àp2â9

= p ^ A ' = p1Ai

et de même p_Ap A' = p A' ; on est ramené à prouver simplement que :
P 2 AP 2 A' = 0P2A* = P2A' ; or on voit que :

P2A' = P ^ A ' = P1n1r*JJ = 6r»1 r' = Sp^A'
= P 2 P 3 A' = P 2 n 2 r 2 = 6 n 2 r 2 = Q P 3 A ' !
A.

mais

*3

*^

p 2 A' = [p^'.PgA 1 ] = [P 1 P 3 A' . P ^ A ' ]
• p<, x P 2 .[p 3 A , .p 1 A']»

d'où on tire :

6p2A' = e.p^p^CpgA'.p^A']

= e.exe.CpgA'.pV' ]
= e.ce^A'.e^A']
= e.[p2,p2]A'
3
3
= 8.6.p2.A' = P2A', ce qui achève la preuve dans ce sens.

- Dans l'autre sens, soit (D) un diagramme comme dans l'énoncé, avec R. et
R 2 équivalences sur X ; on peut supposer que la limite projective de (D] est donnée
sous la forme (X , ( ^ ^ , ^ ) ) , avec A = [p 1 ,6,p 2 ], car p .A est un isomorphisme
(qu'on choisit donc égal à 1 ) ; on établit successivement que :
XZ
* r1 et r 2 satisfont r ^

= 1

et r 2 n 2 = 1

• n^ et n 2 sont les noyaux respectifs de ( 0 ^ ) et (0,p~)

17

*

(i1 = r^ô, i 2 = r 2 6) est un produit fibre de (n.,n2)

* 0 satisfait 0(1*0) = 0(0x1 1 = Q$
A

*

0 est une

et

06 = 1V

Z

A

X

E-algèbre .

considérons l e diagramme

où h = [6.p 1 ,p 2 ].n 1
h' = r2.6.p^.n^ ; on voit facilement que

F^.h = n/)

et

p3.h = n2-h',

de sorte qu'il existe un unique y :
: RR^

(r,,A,r )y = (1
Z

R

>X

tel que

,h,h') ;
1

mais alors p2Ay = y = p2h = n/J et on a ainsi prouvé que r,.n
même que r ^

= 1 ; on voit de

= 1. Il s'en suit que n/| est le noyau de (0,p ), car si 0.f = p .f

et s'il existe f tel que r^f = f, on doit avoir f = r^f, et effectivement
n^r f = f car

P

l n i F 1 f = 8 f = Pl f

et

P2nirif = p 2 f •

Nous pouvons poursuivre le raisonnement en termes "d'éléments", pour aller plus
vite, car nous savons maintenant que :

"(x,y) € R

1

"(x,y) £ R.

xy = x "
xy = y" , où xy = 0(x,y) ;

18

de r.n
11

= 1
R

1

et r 9 n = 1
2' 2

résulte aussi que le carré

W

i2=r26

S

ru

est un produit fibre ; on peut donc dire que pour tout (x,y) e X 2 il existe un
unique z tel que (x,z) e R

et (z,y) e R

et que c'est z = xy ; en effet, xy

convient car :
x(xy) = xy résulte de
0 ( ^ , 0 ] = 0P 3 A = 0 n 2 r 2 = P 2 n 2 r 2 = 8

et (xy)y = xy résulte de

0[0,P2] = 0 ^ A = 0n1r1 = p1n1r1

et c'est le seul possible car ( i ^ i ^

Alors, Vx,y,z i

(xy,y) € R

est un produit fibre de ( n ^ n

X, on voit que :

(x,xy) e R

1

((xy)z,z) e R
(yz,z) € R

= 0,

(xy,(xy)z) e R.

1

(y,yz) e Rn

1

(x(yz),yz) € R

1

la transitivité de R. et R

(x,x(yz)) € R

entraine :

(x(yz),z) £ R 1 , (x,x(yz)) e R 2
((xy)z,z) e R 1 , (x,(xy)z) e R

;

),

- 19

et comme l'unique élément u satisfaisant
(u,z) £ R1

,

(x,u) £ R 2

est u = xz, il vient :
x(yz) = (xy)z = xz ;
il est clair aussi que, Vx e X, on a x

= x ;

2 = x et xyz = xz" , d'où
0 est donc une loi binaire associative satisfaisant »" x~
résulte que

(xy)(zt) = x(yz)t = xt ,
ce qui signifie que 0.0x0 = §.p^p2

et 0 est bien une E-algèbre A.

Interprétation en termes de groupoldes.
Soit G le groupoïde des couples de X, dans C (X est "l'objet des objets",
3
X "l'objet des morphismes", X "l'objet des couples composables", etc..) ; si
2
9
:x
• X est une E-algèbre , les équivalences R et R sont les "cbjets des
2

morphismes" de deux sous-groupoïdes G
"G = G^G^j

et

et G

de G satisfaisant :

G1 n G 2 = G Q "

;

c'est ce que nous appellerons au chapitre 2 une décomposition directe de G en deux
facteurs.

De façon plus précise, soit Z

= (S ,P ) une esquisse de

o

S

o

o

est un graphe multiplicatif contenant le graphe suivant :
u*u

groupoïdes [12I ;

- 20

et d'autres flèches destinées à exprimer les axiomes de groupoïde j P

est un
o

ensemble (fini) de cônes projectifs dans S , l'un d'entre eux étant le suivant

u * u

Un groupoïde G dans C est une réalisation de E

dans C, c'est-à-dire un
"foncteur" de S dans C transformant les cônes projectifs éléments de P en
S
g
cônes limites projectives dans C ; l'interprétation de l'image G(S ) est la suio

vante :
GCu )

objet des "objets"

G(u)

objet des "morphismes"

G(u*u)

objet des "couples composables"

G(ot)fG(6)

morphismes "source" et "but"

G(K)

morphisme "composition"

G(Y)

morphisme "passage à l'inverse" e t c . .

(G(v1),G(v2)) sera un produit fibre de (G(ût) ,G(B) ).

Les équivalences représentables dans C sont données par les groupoïdes G tels
que (a,6) soit une famille monomorphe (G(u) >Ta#Pl> G ( U ) x GCu ) est un mono.,
o
o
lorsque G ( U Q ) x G(u ) existe) ; un tel G est une équivalence sur X = Glu ).
Une bonne partie des raisonnements faits à propos des équivalences subsiste
pour les groupoïdes quelconques, et même pour les catégories ou précatégories internes à une catégorie C ; c'est ce que nous verrons plus loin. Disons simplement
ici qu'une esquisse de'tlécomposition directe de groupoïde en deux sous-groupoïdes"
soit ^ = (D ,P') a u r a
D
o

les

caractéristiques suivantes : le graphe multiplicatif

contient pour "morceau essentiel" le graphe suivant :

- 21

a\jec les égalités et les notations suggérées par la proposition 1.5 et que nous
n'écrivons pas ici ; l'ensemble P' des cônes projectifs de A
o

contiendra, outre
g

les cônes destinés à faire apparaître trois esquisses de groupoïde dans une seule
esquisse

(ce que suggère la figure ci-dessus), essentiellement un nouveau cône

projectif A que nous dessinons :

(A)

enfin une "nouvelle" égalité sera :

|K,A =

(cf. toujours la proposition 1.5).
Si F est une réalisation de A

dans C, le début de la proposition 1.5 reste vala-

ble et a la signification suivante :
les affirmations ci-dessous

22 -

Tti^îFtn,,) = 1

, F(r 2 )F(n 2 ) = 1

F(n.J est un noyau de CFCa] ^FCaJFCv^FCA) )
FCn 2 ) est un noyau de (FCB),F(63F(v2)F(A))
CF[i1]»FCi2)D est un produit fibre de (F(n 1 ),F(n 2 J)...
sont des conséquences du seul fait que FCA) est un cône limite projective dans C.
Comme ceci est vrai, quelle que soit la réalisation F, il s'agit d'un "théorème"
dans le type T

associé à A
o

[en gros, T
o

est la catégorie à limites projectives
o

"engendrée" par A ) et qui s'exprime ainsi : dans le type T
g

seront vraies les

€3

affirmations suivantes :
r

1' n 1 = 1

r

2'

n

2 =1

n. est un noyau de (a^.v^.A)
n_ est un noyau de (B,6.v2-A)
[±.,±2^

e s t un

produit fibre de (n.,n ) ...

Pour les groupoïdes quelconques, on ne peut plus considérer
2
0 - FCoJFCv. )FCA) •" FCu)
•FCu ) comme une algèbre du triple TE = ( ( ) ,e,u) ;
par contre un autre triple très naturel intervient ici et se substitue à E ; énonçons seulement le résultat (cf. chapitre 2) :
Z
g

se plonge naturellement dans A (partie du milieu) d'où un foncteur
g
A
Z

d'oublié C S

*c S entre catégories de réalisations (qui à un groupoïde G décom-

posé en G-.G. fait correspondre G) ; on démontrera que ce foncteur a un adjoint
A
à gauche et que C CTS est encore équivalente à la catégorie des E'-algèbres où
E ' est le triple dans C S déduit de l'adjonction précédente.
La présentation de ces questions en termes d'esquisses sera laissée de côté
dans les chapitres suivants ; mais nous avons tenu à le faire ici, afin qu'on ne
perde pas de vue que ce qu'on établira par la suite pour les groupoïdes, catégories, précatégories "ordinaires" e t c . . est encore valable pour les groupoïdes,
catégories, précatégories "internes" à une catégorie complète C quelconque.

- 23

1.6. TRANSFERT ET EXEMPLES.
Nous allons démontrer la

PROPOSITION - Si C est une catégorie à décompositions algébriques, il en est de
même de C a , quelle que soit l'esquisse projective a.
La démonstration repose sur les deux lemmes suivants :

LEMNE 1 - Si C est une catégorie à produits et satisfait la condition (C), alors
C

est aussi à produits et satisfait encore la condition C O , quel que soit le

graphe multiplicatif I.

LEMPIE 2 - Dans une catégorie à produits satisfaisant (C), un produit cartésien
de deux cônes projectifs (indexés par le même graphe I) est un cône limite si
et seulement si les cônes facteurs sont des cônes limites.
La démonstration du lemme 1 consiste en deux remarques : les produits dans C
PF
se calculent "point par point", et les projections FxG
* F sont des conoyaux
2
de Cp F xp r ,p 1 ] où p. : (FxG)
•FxG est la première projection naturelle, parce
que c'est vrai point par point.

La démonstration du lemme 2 nécessite un peu plus d'attention : soit I un
graphe multiplicatif et soient

7T

: P

•<(>.

le produit ïï x ïï = P

x

et ïï : P

P?

* <J>2 deux I-cônes projectifs, dont

=•<{>. x <J>2 est cône limite projective (pour un

foncteur ou une transformation naturelle constants, on utilise le symbole A)
soit Z — » —

(J). un cône projectif ; comme t x ÏÏ : Z x P 2

xj)^ x <J>2 est en-

core un cône projectif et que ÏÏ. X ÏÏ2 est un cône limite, il existe un unique
p . i x p

•p

x

p

tel que

(ÏÏ.XTT

).y = t x ^

projections naturelles qui interviennent :

;

donnons un nom aux diverses

I

24

dans C
Z x P2.
Q

P1 x P 2

\ q 2

1 /

Z

dans C

P

P

2

P

l /

(j>1 x 4>2

\ P 2

*1
P

1

2

*1

*2

'

on v o i t que :

t.c^

et de même

= ^.(txïï2)

ïï2>q

« ( ^ . Cïï 1 xïï 2 ).y = 7T.J . p 1 . y

= ïï2>p . y ; donc, on a

C7T1x7r2) . y . Cq 1 xq 2 ) = ( t x ï ï 2 ) . ( q ^ c ^ )

= t q 1 x ïï2q2
= TT1 . p 1 . y x

ïï2.p2.y

= CTT^XTT2]. C p . x p ^ .y

t

mais, comme Cïï^xïï^Ci). ^ est une famille monomorphe, cela entraîne
^
^
^
o
x
y-q-i
q
=
2
y.q.j x q 2 = p^ x p 2 > y , ce qui signifie encore que y définit un morphisme de
E-algèbres :
y : CZxP 2 ,q 1 xq 2 )
la catégorie C satisfaisant

*(P^P^p^p^ ;
CC), le foncteur de comparaison C

•U

est pleine-

tel que

ment fidèle ; donc, il existe un unique C y ^ y ^ : CZ,P )
^IPA'PO^
P = M1 x y 2 ; d'après le lemme 1, la catégorie C satisfait encore la condition
CC) et comme ( T ^ X T ^ ) . U^xï^) = txïï2, on voit que (V^/y^ est l'unique couple tel
que
ÏÏ^IX,

• t

et

ceci montre que y 2 = 1 p
ïï

y =
1- 1

tive.

^ 2 . y 2 • ÏÏ2 ,

et que y i : Z — * P

est l'unique morphisme tel que

t, ce qui achève de prouver que ïï : P.

• <J> est un cône limite projec-

25 -

Démonstration de la proposition.
T Soit O = (S,<?) une esquisse projective, où S est un graphe multiplicatif
2
et ^ un ensemble de cônes projectifs dans S ; soit 6 : F
*F une TE-algèbre
sur F dans C° ; les paires ( 9 ^ ) et (6,p 2 ), où les p i : F
jections naturelles, ont des conoyaux respectifs c. : F

»F sont les pro* F^ et c 2 : F

* F2

Q

dans C

: ceux-ci se calculent "point par point", compte-tenu de ce que,
2
Vx e S , 6(x) : F(x)
*F(x) est une E-algèbre dans C et que C est à décompositions algébriques ; de plus, on voit facilement que (F,(c/j,c2)) est un produit
S
de F. et F ? dans C ; reste à prouver que F. et F sont en fait des réalisations
• (f) est un cône dans S, élément de *P, avec ()) : I

de a dans C ; or, si x

*S,

F(x)

• F(f> est un cône limite projective produit des deux cônes projectifs

F.(x)

•F.cf), i = 1,2 ; ceux-ci sont encore des cônes limites, d'après le lemme 2

1

! a

la catégorie C

satisfait donc les conditions (B1) et (B2) ; elle satisfait aussi

la condition (C), d'après le lemme 1, et par suite elle est à décompositions algébriques. A

exemple.
La catégorie Ens

des ensembles non vides est exacte et à supports pleins ;

donc elle est à décompositions algébriques, d'après le Th. 3 (1.3) ; pour toutu
esquisse projective a = (S,^?) telle que ^
discrète, la catégorie Ens

ne contienne que des cônes à base

est encore exacte et à supports pleins et le Th. 3 de

1.3

s'applique encore (remarquons que ces catégories sont équivalentes aux catéïï
gories des iT-algebres Ens , ou TT est un triple dans Ens ; on les appelle parfois
"variétés algébriques") ; dès que \>

contient des cônes à base non discrète,

l'exactitude (et même la régularité) de Ens

n'est plus assurée, et le Th. 3 de 1.3

devient inutilisable ; c'est le cas de la catégorie Œ* des catégories non vides

a

qui peut s'écrire Ens c où
*

a

est une esquisse de catégorie (purement projective)
c

d'après le résultat précédent, elle est à décompositions algébriques, bien qu'elle
ne soit même pas régulière.
Remarque.
Si a = ( S , ^ , ^ ) est une esquisse mixte (i.e. : avec cônes projectifs u> et
cônes inductifs 3) et si les produits dans Cf se calculent encore "point par
point", le transfert de 1'algébricité des décompositions de C à C

est encore vrai.

- 26

dais il peut être difficile de reconnaître si une catégorie concrète donnée est
esquissable, ou bien, si une esquisse mixte est donnée, de savoir si telle catégorie de réalisations a des produits calculables point par point. Il n'est donc
pas inutile d'indiquer le critère suivant :
- soit p : C

• • >Ens un foncteur satisfaisant les conditions suivantes

Cfoncteurs topologiques ou sens de HERRLICH)
C1) p est fidèle et reflète les inversibles
C2) p est sous-étalant Ci.e. : VS objet de C, VX c pCS), il existe une
p-sous-structure de S au dessus de X)
C3) p est un foncteur à produits ;
-1
alors la catégorie C^ = p

CEns ) est à décompositions algébriques ; cela résulte

aussitôt du fait que les épimorphismes de Ens

sont scindés.

C'est ainsi qu'on traite le cas des espaces topologiques, espaces uniformes,
espaces quasi-topologiques, e t c . . non vides Clés décompositions ont une
"propriété d'intégrité" analogue à celle de la théorie des anneaux : x et
y i 0 ==* xy / 0 ; cette condition n'a pas un caractère "algébrique" et c'est ce
qui explique l'élimination des objets vides dans notre théorie algébrique des
décompositions

!).

- 27

C H A P I T R E

2

DÉCOMPOSITIONS DES CATÉGORIES EN SOUS-CATÉGORIES

0. Position du problème

28

1. Examen du cas m = 2

28

2. Décompositions en n sous-catégories. Triple E

38

3. Relations entre limites et décompositions

48

4. Exemples

51

- 28

2,0, POSITION DU PROBLÈME.
Dans la catégorie Œ des catégories, qui est cartésienne fermée, les triples
"exponentiels"

ont encore un sens lorsque 1' "exposant"

est une catégorie non

forcément discrète. Nous allons montrer que les algèbres de ces triples s'interprètent encore en termes de décompositions.Créférences antérieures : [4], [51 et
T9]).
Soit m la catégorie associée à l'ensemble ordonné [n] à n éléments ; au
diagramme i*

m

*m x m, où 6 est le foncteur diagonal, correspond pour tou-

* (f1 « — CCr,)IP où e = C Cidentifiant C et C )
e
y
Cidentifiant (f1*11 et ((51)01) ; on obtient ainsi le triple E ^ = C C )^,^,y]

te catégorie C, le diagramme C
et y

= C6

dans Œ, dont nous allons caractériser les algèbres.

2.1.

EXAMEN DU CAS tn = 2 • (On note E 2 simplement p a r i ) .
Nous partons avec la définition suivante :

DEFINITION t - Un couple CC^C.) de sous-catégories d'une catégorie C est appelé
décomposition directe de C Cen deux facteurs) lorsque la restriction de la loi
de composition de C à Cy * C. = C * C n Cy x C. définit une bijection.

Remarque
sur la terminologie employée : il eut été plus conforme à l'usage d'employer
l'expression

" décomposition semi-directe" , en souvenir des groupes, mais puis-

que les notions de sommes et de produits ont un sens bien précis dans toute catégorie, nous pensons que l'adjectif

"direct"

est disponible Cet plus court que

" semi-direct" 1 et il traduit dans la suite l'idée d'unicité.

Premières conséquences de la définition.
Soit CC^C.) une décomposition directe de C ; pour f € C, on désigne par
Cf2*f/.) l'unique couple composable tel que f = "f^'^i ; o n désigne par a.,
i = 1,2, les applications de C dans C telles que a.Cf) = f, ; on a alors les propriétés suivantes :

29

CP1)

L

n C

= C ,
o

2

1

(P2)

(f2)2

= f2

(P3)

(f2)1

= a(f2)

(P4)

(g.-^2

CP5)

si

[f1)1

=

f r

= 3(^)

=

(f1)2

= g2.tg1.f2)2

et

g = f.h

et

;

(g.f)1

[g

et

f

e C2 = 4

[g

et

h £ C1 = 4

f

Si f est inversible ; Tf e aAC)

(P7)

Si f est inversible, f

(FM

Si

)

tg1-f2)1-f1.

h £ C ]

(P6) i

et f

=

e C ]

= * f"1

€

a.CC)] (i = 1,2)

le sont aussi.

Y est inversible et si f.y (resp. y.g) est défini, il existe un

unique inversible £ 2 e Z^ (resp. £^ e C ) tel que :
(f.Y) 2 = f 2 .£ 2 (resp. (y.g^ = £ r g 1 K

Démonstration de ces propriétés.
(PU Soit e = e 2 .e 1 e C Q ; alors e = ot(e/]) = 6(e 2 ), donc C Q C C

n C , car C

sont des sous-catégories de C, et d'ailleurs eA = e 0 = e, Ve c C

et C
^

i

2

; récio

proquement, si f c C

n C
alors (f,a(f)) € n * C, et (ot(f),f) € c * C
i
z
z
1
2
1J
d'où f = a(f) = B(f) e C ,d'après l'unicité.
o
(P2),(P3),(P4) et (P5) sont des conséquences immédiates de (PU et de l'unicité
de décomposition.
(P6),(P7) et (P8) sont des cas particuliers de la propriété (Q) suivante, que nous
énonçons à part étant donnée son importance :
(Q) soit q = (g,t',t,f) un quatuor de C (carré commutatif) ; il existe un et un
seul h tel que :

(g2,t',h,f2)

et

(g^*h,t,f )

soient des quatuors ;

il existe un et un seul K tel que

_

(k^t^t^f)

et

(g,t',t ,K) soient des quatuors ;

en effet, s'il existe un tel h, on doit avoir, compte-tenu de ce qui précède
(surtout P4) :

- 30 -

Cg,.hh = h, = ( f .f-î.
Ct'.f
9)
2'1 • k W
1"2'
1
& 2 ""1
"1

et

Ch.-F^ ) 2 = [g 1 .t) 2 .(f . f 2 ) 1 • (g 1 .t 2 J 2 .(f . f 2 ) 1 î

effectivement, on trouve que

g2.h = g 2 .tg 1 .t 2 ) 2 .(t^.f 2 ) 1
= [g.t)2.(tj|.f2)1
= Cf .•FJ2.Ct'.-F2J1
t

2'(trf2D2"(tî-f2]1

= t'.(t^.f2) = t'.f2 et de même h.-F1

g-l-t J

le même argument donne :

K = Ctjj.fï2.(g.t2)1 = [tjj.f2)2.(g1.t2)1 J

remarquons que h et K

"se croisent"

; plus précisément, le quatuor q se décom-

pose de façon unique en quatre quatuors, selon le schéma suivant :
t'
-»

t'
1

>—

V

+ gr

f^

fg-,

L

1

"2

Autres définitions possibles d'une décomposition directe.
Nous reprenons les notations précédentes et donnons un nom aux conditions
suivantes :

31 -

(PO)

Vf e C, a^Cfl.a.Cf) est défini et égal à f ;

(P')

a C a ^ O ) c 3i (c)

CP£)

6(a2(C)) c a2(C) ;

on peut énoncer alors la
PROPOSITION 1 - Pour qu'un couple (a«,aj d'applications de C dans C définisse
Can(C),a^(C)) comme décomposition directe de C en deux sous-catégories, il faut
et il suffit que Ca^aU satisfasse :

f (PO),(P3),(P4), et l'une des quatre conditions
( (P6) r (PC)2, (P')f (P£).
T La nécessité des conditions a été mentionnée précédemment ; montrons qu'elles
sont suffisantes.
D'abord (P2) est une conséquence de (PO) et (P3), car

f

2 = f22'f21 = f22

de même f/) = ^ - ^

Puisc^ue

f

2i € C 0 ;

= fir

La décomposition de f en f .f , dont l'existence résulte de (PO) est unique ;
2 1
car si f = g .h., on a

f

1 = ^2^1^

= [g

21"h12]1'h11 ' d'après (P4)

= hi21'h11' d , a P r è s (p3)
= h.. , encore d'après (P3)
= h.

, d'après IP2) ;

de même f 2 = g .
Il reste donc à établir que a.CC) et a2CC) sont des sous-catégories de C ; ce sont
des sous-ensembles stables pour la loi de composition : en effet, soit (g,f) un
couple composable d'éléments de a^(C) = C
f = f. ; il vient alors

; d'après (P2), on sait que g = g et

- 32

Cg.f)1 = ( g r V l

=

=

^11^12^^11
guyfu

= g-f »

même raisonnement pour a 2 (C) = C„ ; reste à prouver que C. et C„ sont stables
pour les applications source et but ; il est clair que C„ n C,. c C

d'après

(P2) et (P3) ; il suffit d'établir l'inclusion inverse, et c'est là qu'intervient l'une des conditions supplémentaires de l'énoncé : (P6U, (P6) 2 , ( P U ,
(P') ; nous allons le faire avec (P6U, puis avec ( P U , les deux autres cas
se traitant de façon analogue.
; e = e^.e.; a ( e U = e e C. ;

- Supposons (PU satisfaite ; soit e e C

donc e = e. et puis e = e2«e = e^, donc e e C. n C~.
- Supposons (P6K satisfaite ; soit encore e = e^.e. e C

; alors e.-e^

est défini car ateU = BteU = e ; posons e' = 6 ( e U = a(e ? ) ; d'après (P3)
e' = e 2 1 = e 2 e C 2 n C

e

; comme

2S1e2 = B2t81B2}2lB1B2J1
= e 2 2 .e 2 1
B

2' B 21 '

l'unicité de décomposition prouve que (e^.eU,. = e 2 1 = e' ; on trouve de même
que (6..62)2 = e 1 2 = e', et donc e^-e^ = e*' c e q u i P r o u v e Que e* e t e? sont
inversibles ; grâce à ( P U , on voit que 6 , = 6 . e C., ainsi en e C„ n C 0 c C ,
I

d'où e = e. = e 2 e C

Z

\

\

z

1

z

o

n C .A

La condition (Q) est essentielle pour démontrer que les ]E-algèbres sur C
sont en bijection naturelle avec les décompositions directes de C en deux-sous[2]
catégories ; de façon précise, introduisons la catégorie Œ
des morphismes
entre décompositions directes ; si (C 2 ,CU et (D ,DU sont des décompositions
directes de C et D respectivement, un morphisme (C 2 ,CU — * —

(D?,D,) est sim-

plement défini par un foncteur C — * — D tel que F(C.) c D., pour i = 1,2 ;
X
1
[2]
soit U : Œ

* (E le foncteur d'oubli naturel (oubli de la structure de décom-

position) ; nous pouvons énoncer la
PROPOSITION 2 - Le foncteur U admet un adjoint à gauche L et le triple dans Œ

33

induit par (U,L) est IE ; enfin la catégorie Œ *~ est canoniquement isomorphe
à la catégorie (E

des E-algèbres.

fSoit C une catégorie j soit C

la catégorie des quatuors de C ; un quatuor

q = (g,t',t,f) a pour source f et pour but g ; q" = ( g", t"', t",7) est composable
avec q si et seulement si 7 = g et alors qq = ("g, t"'. t, t". t ,f ) ; la catégorie
2

C

est munie d'une décomposition directe (7^,7^ ) naturelle définie de la façon

suivante :

si

q = (g,t',t,f) e C
q1 = (d,t',0t(f),f)
(g,8(g),t,d), où d = t'.f = g.t est la diagonale d:e q ;
f

t'

3Cg)

f +

* g
a(f)

L

Soit alors (02,D ) une décomposition directe de D et F : C
qu'il existe un unique morphisme 7 : ("f^,"^)

*D ; montrons

• (D2,D ) tel que F.C

= F;

on remarque que la flèche f = £ (f) se décompose
(D2,u\,)

relativement à (.1^,1.) en
(T 2 ,T r
f1 = (f,f.a(f),a(f))
f 2 = (eCf).B(f].f.f) ;
si

q = (g.t\t,f) e C
q = (g,t\t,f) e (C*)'

d'après la propriété (Q) relative à (T ,T ), il existe une unique flè3che
T:

f

*i d a n s c

te

H e que (g 2 .f <T ,f 2 ) et (g^T.t.f.,) soient des quatuors ;

or, il est clair que cette flèche n'est autre que q : f

> g ; la valeur de F

- 34 -

aux bords de q est imposée par F - e

= F ; de plus, on veut que F ( f U = F t f ^

et F(g. ) = F ( g ) . , pour i = 1,2, car F doit définir un morphisme de ^ f T ^ )
vers ( D p , D U

; alors la valeur nécessaire de F ( q ) est l'unique flèche h dans D

telle que (F(g)2,F(.t ' ) ,h,F(f )2)

et (F(g) 1 ,h,F(t) ,F(f ) 1 ) soient des quatuors

(propriété (Q) relative à ( D 2 , D U ) ; ceci établit l'existence et l'unicité du
foncteur F i explicitement on trouve donc :

F(q) = ( F ( g ) 1 F ( t ) 2 ) 2 ( F ( t ' ) 1 F ( f ) 2 ) 1

il est clair que F ( T U c D. pour i = 1,2 ;

Figure

dans D

dans C

3 C-FÎ

FCg]

F(f)

FCt)

aCg)

a(f]

Ceci prouve que CT-.T,.] est une U-structure libre engendrée par C ; alors
L(C) = CT„,T,] se prolonge en un adjoint à gauche L de U et le triple dans Œ
E
induit par (U,L) est bien égal à E j reste à voir que la catégorie Œ
des
E - a l g è b r e s est naturellement isomorphe à Œ

Le foncteur de comparaison
d i r e c t e (C^.C,.) de C l a

e

<f> : Œ

C2]

* dr associe à une décomposition

E - a l g è b r e suivante :

6

Id

, soit explicitement :

pour q = Cg.f.t.fJ, 6(q] = Cg1. t ^ U ' .f2) 1

35

Plutôt que de vérifier le critère de Beck, décrivons directement l'inverse
.2
C e s t une E - a l g è b r e , on a i p [ 6 ] = (9 ( T 2 ) ,9 C ^ ) ) ;
de (j), soit \\> ; si 9 : C
pour voir que c'est bien une décomposition directe de C en deux sous-catégories,
on montre que le couple d'applications (a ,aU définies par a.(f) = 8(fU.
i = 1,2, satisfait bien les conditions (PO), (P3), (P4) et (PU :
pour (PO), cela résulte de 9(f) = 8e (f) = f
et Q[h

= 9 ( ^ . ^ ) = a2(f).a1(f)

pour (P.- ), c'est évident, car 9 est un foncteur ;
pour (P3), considérons le quatuur suivant dans C
3(f)

2 2
c'est un élément de (C ) ;

u(Qf) = f

92(Qf)

a(f2)

f2

= (f

2'1

a(<)
d'où, puisque 9.9

= 9.u , et par définition de a

et a?

^21 = a ^ 7 ^ ; o n démontre d e même que f^n = 3(f,,) ;
12
1
pour (P4), considérons le quatuor suivant dans C

36

où q = 1 f

'g.f
3Cf)=a(g]
,2,2
c'est un élément de (C ) ; et on trouve :

Btg)

u(Qg,f)

g.f

g +

= q.

T

62(Q J
g.f

qQ, où 6(q) = g1-f2

or, pour tout quatuor q = Ck,t',t,h], il résulte de la propriététQ)relative ù
CT2,T.) et de la fonctorialité de 9 les égalités suivantes :
9(q).h1 = K r t

et

appliquant ce principe à q

k2.9(q) = fb

;

et q , il vient compte-tenu de (P3) :

g2.9(qQ] = g ? .(g 12 .e(q Q n = gz(B(g13.(g1.f2)2) = g 2 ( g r f 2 ) ?
et g2-9(qy) = B(g).(g.f)2 = Cg.f)2
d'où (g.f)2 = g 2 (g 1 .f 2 ] 2 . car 0(q ] = 6(q ) ;
ître de même que (g.f),! = [g^ .f2] 1 .f , et ceci achève de prouver que le
on moni
couple (a^a^) définit bien une décomposition directe de C ; on constate Sdni:
peine que (C^.C^) = (a2(C)Ja1(C]) = (6(T2),8(T )], de sorte que ty est bien
l'inverse de <J). A

37

Remarques.
1) Le foncteur L

Œ

Œ

[2]

est pleinement fidèle ; si <f : C

un foncteur, on trouve évidemment UL(^f)
devient ici la suivante : si C - ^ — C

V

C

est

; l'expression du critère de BecK

est une paire contractile dans Πet si

p :C
>D est un conoyau de (<f\ r ), alors p 2 : C'2
la paire (^2,<r 2 ) .

» D 2 est un conoyau de

2) La catégorie de Kleisli de E s'identifie bien sûr à la catégorie des
transformations naturelles (munie de la loi de composition longitudinale, selon la terminologie d'Ehresmann).
3) La définition de décomposition directe d'une catégorie C peut s'exprimer aussi comme il a été suggéré à la fin du chapitre 1, de la façon suivante :
c'est un couple ( C ^ C ^ Me sous-catégories de C tel que le diagramme

C * C
1 \ * Vv,
1
C

v

v^g.f) = f

9 ^

*
C

i

ou

2

v2(g,f) = g
i/j e t i 2 injections canoniques

admette une limite projective dans Ens, soit

P
'd
C * C

ayant la propriété que K o d . p

^ c SQit

UR

isomorphismej

position ; il est clair qu'on peut choisir alors P = C

K

désignant la com-

et

d(f) = (f 2 ,f 1 )
r

1(f)

= f1

r2(f) = f 2

de sorte que

a1 = i 1 ^

= Vl d

i 2 r2 = v

d

La proposition 2^1_ (2) exprime qu'il existe une définition "interne" d (E de ces
décompositions. Si, dans la définition précédente, on n'exige plus que C

et C.

- 38 -

soient des sous-catégories, la situation est complètement différente : nous
verrons cela au chapitre 4.

Avant de poursuivre l'étude des décompositions directes en 2 facteurs, nous
allons montrer que la proposition 2.1 (2) se généralise avec le triple

]E .

2.2. DÉCOMPOSITIONS EN n SOUS-CATÉGORIES. TRIPLES E n «
Nous allons suivre la démarche adoptée en 2,jj nous partons donc avec la
définition suivante :

DEFINITION pi - (récurrente à partir de la définition 2 ) .
Un n-uple (C ,.. P CU est une décomposition directe de la catégorie C en n
sous-catégories si et seulement si :
(1) (C ,...,C. +2 ,C. + .C.,...,CU est une décomposition directe de C en
(n-1)-sous-catégories, pour i = 1,2,...,n-1 ;
(2) pour i > j, on a C..C. c C..C.
J i
i J
Voici d'abord des conséquences faciles ( à établir) de cette définition :
... fA avec f. e C. ;

(PU Tout f e C s'écrit de façon unique f = f

n

1
i i
(P2) Pour tout i de 1 à n, on a (C.) = C
io
o
(P3) Pour i / j, o n a C . n C, = C
i
J
o
(P4) Soit 1 <i. < ±n ...< i, < n ; alors C. .C.
... C.
K
k-1
1
est une sous-catégorie de C et (C. ,C.
,...,C. ) en est une décomposi1

k
tion directe en K sous-catégories ;

l

X

k-1

1

(P5) (associativité) posons pour i < j , C. . . n = C..C. _ ... C. ; avec cette
IJ.iJ
J J-1
i
convention et toujours pour 1 < i, < i„ ...< i < n on montre que
\

(CrLn . ,, Clf .

'V

. J -,,..., Cr .

W l

Z

. -,, Cr .
U
Li^^J u r u

K

est une décomposition directe

de C en K+1 sous-catégories.
(P6) supposons j i
(C.

{i ,i ,...,i } c {1,2,3,...,n) ; alors on a :

.C.
K

K-1

... C. ) . = C
1J

39

Il est clair que les conditions (PU, (P3) et [PB) caractérisent les décompositions directes de C en n sous-catégories.
Par morphisme F : (C^...,^)

MD n ,...,D ) entre décompositions on entend un

foncteur entre les catégories sous-jacentes tel que F(C.) c D., pour

ri
i = 1,2,...,n ; on obtient ainsi la catégorie Œ ^ des morphismes entre décompositions et son oubli naturel U : Œ
> Œ.
n
PROPOSITION - Le foncteur Un est triplable ; plus précisément, il admet un adjoint
à gauche L 1 tel que la paire (U ,L ) induise dans (E le triple E
P

n

n

et Œ

jp

est

n

canoniquement isomorphe à Œ .

• Soit C une catégorie ; il est commode d'adopter les conventions d'écriture
suivantes :
- la catégorie m est engendrée par n-1 flèches composables notées u. :
1

z

»
*

u

-

si

1
t

: vp

n-1
*

* cf»

•

2
e

n-2

[f]> on pose t ( i )

^

=

.

n-1

t1

= ^(uU, de sorte que la place est

libre en bas pour les indices se rapportant à la notion de décomposition.
La catégorie C est munie d'une décomposition directe naturelle (T ,...,T )
où
T. = {t e Cf |tJ e C Q , Vj / n-i} ;

nous allons montrer que (T R ,
avec c

:C

J, ) est une U^structure libre engendrée par C,

> Cr comme injection correspondante.

Soit donc (0^...,0^ une décomposition directe de D en n sous-catégories
et soit F : C
F :u

•D un foncteur ; alors il existe un unique foncteur

=»D satisfaisant :

F.G

= F

Description de F.

et F(TU c D., pour i = 1,2,...,n .
On pose toujours f = e (f) ; dans ce cas,

40

3(f) pour j > n-i
${

= ^ ( j ) =j

f

pour jj == n-i
n-i
pour

a(f) pour j < n-i

;

pour une décomposition directe en n sous-catégories, abrégeons l'écriture en
posant a.(Ç) = Ç..?.^ ... ^

et b.(£) = Ç R ... £,± + y

le couple (b.,a.) définis-

sant une décomposition directe en deux sous-catégories.

Soit cf : in

» C un objet de (f1 ; on définit par récurrence les transfor-

mations naturelles suivantes :

T " ° - b n _ k (^. T [ k - 1 ',

on voit, par récurrence, que

a(T(k)] =

J".

a(x C n - 1 ] ] = ^ n - 1 ) = ( f i

ou tf

:m

». c est le foncteur défini par

^ M ( u . ) = ?*

pour

i < K

<p ( M (uJ = B(4 K ) pour i > k

41

de sorte que y n

= 4> ; posons aussi

,.Ck)
.k (k-1). .
V
= a„ .fl(f T T
), de sorte que
n -1\

H

T

- piv

- piv

J et T

j = alT
3

n = 4 (dans C

A

et C

.v

J ;

= ^ .T

voici les figures correspondantes pour n = 3 et

respectivement) :

m = 31

<p = <f

OnliiQ

et en particulier

(2)

42 -

Posons alors f

= F(f ) ; par récurrence, on définit dans D les flèches
(K)
( k)
suivantes (analogues de T
et v
):
g1 = b n _ l( f 1 )

, h1 = an.1 (f1)

g 2 = b n _ 2 If 2 g 1 ) > h 2 = a n . 2 Cf 2 gl )

g

- bn_k(f g

),h

= an_k(f g

)

les conditions imposées à F entraînent successivement
F(<P1) = F(M>1) = f 1

d'où

F(T(1]

• \

puis

m\T

'OU

F(T

( K

-

1 3

)

) = g

- F[ik)

F(T(K'1))

= fKgK"1

;

la valeur de F sur les objets de .-ri
C est donc parfaitement déterminée par
F(<p) = a(gn"1) = 6(hn"1)|

Quant aux morphismes, c'est toujours la propriété (Q), relative aux décompositions
directes en deux sous-catégories, qui va en déterminer la valeur par F, car, pour
tout i = 1,2,...,n-1 les couples ( b ^ a ^ déterminent des décompositions directes
en deux sous-catégories (qu'on soit dans C^, dans D etc..) ; partant d'un morphisme t : <f

• if ' dans (51, on en déduit les carrés commutatifs suivants, dans (51 :

oi-1

qui doivent par F s'envoyer dans D sur les carrés commutatifs :

?i

A

Fît1)
*f .i

Ftt1"1)

- 43 -

Or, dans une catégorie munie d'une m-décomposition, si l'on est en présence de
carrés commutatifs composables, soit (£' ,n ,r)

,£ ), où i = 1,2,..., selon

le schéma suivant, et si pour chaque i, on a choisi une décomposition (b, ,a, )
i
i
où À. e {1,2,...,n-1}, on voit, par récurrence et en utilisant la propriété (Q) ,
qu'il existe une unique suite (n

,r|

,...),

figure et rendant tous les carrés commutatifs :

disposée comme indiquée sur la

- 44

appliquant ce principe à la suite :

,n-1.

et X. = n-i, on voit qu'il existe une unique suite
( n (i) . q) ( l )

> ( < , t l ) 3.. 1 9

„ 1 rendant commutatifs les carrés

voulus ; on peut voir aussi (par récurrence) que X]

= t : if

• <-f ' ;

appliquant ce même principe à la suite :
( f ' i , F ( t i ) , F ( t l ' 1 ) , f i ) , i = 1,2

n-1,

toujours avec X. = n - i, on voit qu'il existe une unique suite
Cm

i]i=1.2,

• n-1

rendant commutatifs les carrés suivants :
F(t J

i*

h'1

g1*

i-1

*g'X

m

ceci entraîne que la valeur nécessaire de F(t) est

F(t] = m

n-1

et que F est bien un foncteur ; en fait on peut indiquer la valeur exacte de
n-1
m
, p a r récurrence :
m° = F i t 0 )
m1 = b n _ 1 ( h , 1 m ° ) a

mk = b

,, (F(t 1 )g 1 )

,(h'kmk_1) a u(F(tk)gk)
n-k
n-k
°

45

On voit que la formule donnant explicitement F(t) en fonction des F(<f ).,
F(f

) . , F(t ) . est relativement compliquée ; voici, à titre d'exemple, pour

tn = 3, ce que cela donne, après simplifications, et en posant :

FK 1 ) = f , F(r 1 ) = f .
F(f2) = g , FCT 2 ) = I ,
F(t°) = v , FCt1) = v' , F(t2) = v" ;
on trouve

F(t) = ((g/|.f)2.(g.f)1.v3l3Cg/I.v,.f3)2(v',.(g.f)3(g.f3)2)1

(g-f 3J2

(grf)2

V.

J/^

en traits doubles les trois flèches qui figurent dans les parenthèses principales
de la formule ci-dessus, et en traits pointillés ou pleins leurs décompositions
respectives en trois, les "raccords" devant se faire comme l'indique la figure ;
en traits pleins apparaissent les trois facteurs de F(t).

46 -

E

En]

m

Le fait que Œ
soit canoniquement isomorphe à la catégorie C
des E -algèbres
s'établit aisément par récurrence à partir de tn = 2 ; indiquons seulement que
l'inverse ty du foncteur de comparaison T<b est donné par :
n
n

* n (6) = (e(T n ),e(T n _ 1 )

et^u ;

en conclusion, on peut affirmer qu'une décomposition directe en n sous-catégories
équivaut à la donnée d'un foncteur de m - 1 dans la sous-catégorie pleine de
CLU

J

dont les objets sont les Œ

-algèbres. A

Structure cartésienne fermée de Œ
Identifions, conformément à la proposition précédente, les catégories
Œ

et Œ

; soient (C,0) un objet de (E ^

une E -algèbre 8
naturel (C )
recte 9

sur C

- (C )

en composant 9

; pour toute catégorie D, on obtient
: ((51) -* C

avec 1 ' isomorphisme

; on peut construire explicitement la "décomposition di-

" à partir de la "décomposition directe 8", point par point, en utili-

sant la propriété (Q).

; désignons par C C D ] la sous-caté-

Soient (C,8) et (D,8U deux objets de Œ
gorie pleine de C

dont les objets sont les foncteurs F : D •> C définissant un
J

morphisme F : (D,8U -> (C,8) ; la structure 6
0

, de sorte que (C

désigne par (C,8) ( D ' '

,8

) est un objet de Œ

induit sur C

L

une structure

: c'est le "hom interne", qu'on

; la catégorie Œ [|p] est cartésienne ((C,6) x (C,F) =

(CxC,8x8), où 8 x 8 est la décomposition définie par (g,f). = (g.,f.),
i = 1,2,...,n) et on montre , comme dans (E, que le foncteur ( ) x (D,8U dans
Œ^

est adjoint à gauche de ( )

; en termes de sous-catégories, si

Cn#-..fCU est la décomposition représentée par (C,8), alors
D
J!D]
(CCD] „
n nC° ,..., C
n cj) est la décomposition représentée par ( C , 6 ) ( D # 9 , ) .

Remarque : En général, si (C,8) est un objet de Œ

qu'on peut identifier à une

décomposition directe ( C ^ . . . , ^ ) de C, et si K est une sous-catégorie de C, il
n'y a pas de structure induite par 8 sur K ; par contre, il y a toujours une
structure de décomposition induite par 8, engendrée par K (dénombrablement) :
elle est définie sur la sous-catégorie *K de C suivante :

- 47 -

Soit K t o ) = K et si K ( p ) est définie on pose
K

= sous-catégorie de C engendrée par

U
( K ( P ] ) . ; alors K = U K C p ] .
X
i=1
0
Nous avons déjà rencontré deux exemples de sous-catégories K telles qu'il y
ait une structure de décomposition induite (i.e. : K = K ) , à savoir :
1°) le groupoïde des éléments inversibles C

d'une catégorie C munie d'une

décomposition 8 ; c'est une autre façon d'exprimer la propriété référencée (P8)
et qui résulte de (Q),
2°) la sous-catégorie C

de C , lorsque cette dernière est munie de la

structure 0
A propos du cas m = 2, signalons encore que C
lois de

composition

2

est naturellement munie de deux

qui en font une catégorie double ; si (C^,CU est une

décomposition directe de C en deux sous-catégories, la propriété (Q) indique
2

que, pour chacune des lois de compositions de C , il y a une structure de décomposition directe déduite de (C ? ,CU (cf. l'existence de h_ et de _k pour un
quatuor (g,t',t,f), tels que
(grh,t,f1)l

(g 2 ,t',h,f 2 ), (g,t^,t 2 ,K), (K,tjj,trf)

soient des quatuors) i le couple de ces deux décompositions directes constitue
2

en fait une décomposition double de la catégorie double C , conformément à la
définition suivante :
i.

Soit n.
C = (C i ,..., C-V) une catégorie n-uple (au sens d'EHRESNANN) ;
i
-Lsi 9 est une décomposition directe de C 1 en deux sous-catégories, on note
f et f les deux composantes de f selon 0 j donc f = f ±. f..
DEFINITION de

On dit que (8 )

est une décomposition directe n-uple

C en deux, lorsque chaque 8* est une décomposition directe de la catégorie

J-i
C
correspondante en deux sous-catégories, et que ces décompositions sont compatibles entre elles, dans le sens suivant :
(1)

Vf e n C, Vi,j e {U2

n}, Vk.k' £ {1,2}

- 48 -

(2)

les applications f -* f., pour k = 1 ou 2 définissent des endofoncteurs de C J , pour j ^ i.

Ces décompositions n-uples sont un cas particulier de décompositions directes
structurées d'une catégorie structurée (au sens d'EHRESMANN).

2.3. RELATIONS ENTRE LIMITES ET DÉCOMPOSITIONS.
Ce qu'on va dire dans ce paragraphe n'a d'intérêt que pour les décompositions
directes en deux sous-catégories, que nous appelons simplement décompositions.

Soit (C 2 ,CU une décomposition de C, les notations étant toujours celles
de (2.1).

PROPOSITION 1 - La catégorie C 2 est stable par changement de base dans C.

? Soit (k,h) un produit fibre de (f,g) avec f = f~ e C ? . Puisque
g.k2 = f .h 2 -(g 1 .k 2 ) 1 , il existe un unique u tel que k.u = k 2 et h.u = h 2> (g . k U . ;
comme

kty.k^ = k et hty.l^ï = h2- (g1. k ^ . k

= h 2 .(g.k) /|

= h-.CfthU = hu.h. = h ,

il s'en suit que Vi.k. e C

et u admet pour inverse à droite k., ce qui prouve

déjà que y e C. ; mais alors :

kn.k„.y = k.y = k n
z

\

z

entraîne k^.u e C ,
i

o

puisque k..U e CA ; donc k. est inversible ; on peut donc choisir un produit
fibre de (f,g), soit (k 2 ,h 2 > (g..k 2 ) A ), tel que l'image réciproque de f par g
soit dans C„. A

On démontre de même que C. est stable par sommes fibrées, et plus généralement :
C 2 (resp. C^) possède le même genre de limites projectives (resp. inductives)
connexes que C et les inclusions C 2 -* C, C1 -+• C sont compatibles avec ces limites

- 49 respectives.
Ces résultats sont évidemment faux pour les produits et les sommes.
En général CA n'est pas stable par changement de base ; en voici un exemple
avec la décomposition (Œ2,(EU de (E pour laquelle :
fLA est la catégorie des foncteurs dont le but est engendré par l'image,
Œ 2 est la catégorie des injections canoniques de sous-catégories ; considérons les trois catégories particulières :

v

•— •
2 - { . -!U.}

2 + 2 = (.-^-.}

3=

{.ZU^.} ;
V

2
soient F : 2 + 2

>3 et G : 2

W2

• 3, définis par

F(uU = v., i = 1 ou 2, et GCu] = v ;
il est clair que F e IL* et que si (K,H) est un produit fibre de (G,F), alors
H i Œ^ ; mieux : on peut choisir H e Œ«.

Notons au passage que F est justement un
épimorphisme régulier, conoyau de la paire
1

1 2 + 2 envoyant 1 sur (gu^au^, et

que H n'est même pas un épimorphisme (Œ
n'est pas régulière ! ) .
Catégories de Relations.
Dans une catégorie C à limites projectives finies et munie d'une décomposition directe ( C ^ C ^ telle que CA soit stable par changement de base, on peut
développer la théorie des relations :
une relation R : X -> Y est une classe d'équivalence de "spans" sur (X,Y)
pour l'équivalence p engendrée par A = { ( (g\f ' ) , (g.f ) ) | 3h| (g' ,f ' )h = (g,f)
et h 2 inversible} ;
la composition des relations se fait par produits fibres : soient R : X + Y et
S : Y -> Z deux relations composables ; soient (g,f) e R et (g,f) e S ; soit
(h,h) un produit fîbré de (f,g) ; alors (gh,fh) définit une relation qui

50

ne dépend que de R et de S, et non des
représentants qui ont servi à la définir,
ou du choix des produits fibres : c'est
la relation S ° R ; cette loi de composition fait de l'ensemble des relations une
catégorie C

et on a un foncteur "graphe"

naturel G : C -+ C r qui à f : X -> Y fait
correspondre d x # U

mod p. On montre facilement que si ce foncteur G admet un

adjoint à droite P, la catégorie C

est canoniquement isomorphe à la catégorie

de Kleisli du triple induit par (P,G) dans C ;
- l'unité du triple s'interprète en un objet X comme "l'application singleton" : X — : — • PX € C
^•x

- la counité du triple s'interprète en un objet X comme la "relation
•X e C r

d'appartenance à X" : PX
£

- G(iU

: X

X
• PX € C r s'interprète comme la relation "égalité dans X"

2
- p (e x ) : P X — - * PX e C s'interprète comme l'application "réunion".
Il revient au même de dire que G est fidèle ou que les "applications singletons" X — r — * PX sont des monomorphismes ; dans ce cas, on dit que la décomposition
A

(C 2 ,CU est
cations"

"fonctionnelle"

(intuitivement, C est bien une catégorie

"d'appli-

pour C , car un morphisme f : X -> Y est caractérisé par sa source, son

but et son graphe).
On montre facilement qu'une condition suffisante pour que (C 9 ,CU soit
fonctionnelle est la suivante :
(K) si f € C1 (resp. C 2 ) a un inverse à gauche (resp. à droite), f est inversible.

Images directes et images réciproques.
Lorsque C^ n'est pas stable par changement de base, il reste quand même la
possibilité de développer une théorie

"externe"

des relations ; en effet, en

un objet X, la catégorie C2/X est une sous-catégorie pleine de C/X qui joue le
rôle

"d'ensemble ordonné des parties de X " .
Supposons que C soit à produits fibres finis, choisis de telle sorte que C ?

soit envoyée exactement dans elle-même par changements de base.

- 51 -

C2/Y défini par :

A tout f : X — + Y e C correspond un foncteur f : C2/X
fCu) = (f.u) 2 , si u : U -

X est un objet de C /X (la valeur de ? sur les mor-

phismes résulte alors de la propriété (QUi on montre facilement, toujours en
utilisant la propriété (0) et sans avoir besoin de supposer que C 2 est formé de
nonos

i que le foncteur f : C2/Y

C /X, défini par

"le produit fibre par

f " , est un adjoint à droite de f.

L'application f

* f définit un foncteur E« de C dans la sous-catégorie

Œ, de Œ des foncteurs ayant un adjoint à droite.

L'application f

• Zf (foncteur "composition par f" : C/X

• C/Y) définit

aussi un foncteur E : C •••••-» Œ,.
d

Enfin pour tout objet X, l'application qui à u : U
Uy : U«

* X se prolonge en un foncteur I x : C/X -

et

l'application

-* 2L ; pour chaque f :

I x définit une transformation naturelle I

X

C/X

X fait correspondre

on a donc les quatre paires d'adjoints suivantes :

2,
C/X

c2/x

(? Y , Z v = injections pleines ; f
A

Y

^

changement de base ; f est un sous-1
foncteur de f )

.-1

C/Y<-

C2/Y

les carrés intérieurs et extérieurs sont commutatifs et chaque foncteur du carré
intérieur est adjoint à gauche de son homologue extérieur ; de façon plus condensée, on peut dire que (?,f) est une paire d'adjoints rétracte de (£f*"F

), cette

dernière paire correspondant d'ailleurs à la décomposition triviale (C,C ).

2 A EXEMPLES.
Pour chaque exemple, on décrit indifféremment

(a 2 ,aU ou (C„,CU.

- 1. Dans Ens la décomposition usuelle en surjection et injection canonique.
- 2. Dans (E, la décomposition déjà citée :

- 52 -

Œ^ = {foncteurs à but engendré par l'image}
Œ 2 = {injections des sous-catégories}
- 3. Toujours dans Œ, une autre décomposition :
Œjj = {foncteurs surjectifs sur les objets}
Œ 2 = {injections de sous-catégories pleines} ;
ici Œjj est stable par changement de base et une relation de C vers D s'identifie
à une sous-catégorie pleine de C x D.
- 4. Si H et K sont deux catégories, K x H se décompose naturellement en
(K x H , K

x H) ou en (K

0 0

o

x H, K x H U , qui sont des produits, dans Œ

, de

0

décompositions triviales.
[m]
- 5. La catégorie Œ
possède une décomposition naturelle ; soit
F : (C,8)
• (D,8') un morphisme ; soit F(C) la sous-catégorie de D, engendrée
par FCC) et sur laquelle 8' induit une décomposition 8" ; alors F se décompose
en :
F1
CC,8)

_
F
* (FCC),6") — i - M D , 6 U , où F ^ f ) = FCf) et F 2 (g) = g ;

plus généralement, si p : K

y Ens est un foncteur sous-engendrant, on en déduit

une décomposition naturelle dans K ; pour f : S

»S', on prend f 9 :

ÏÏ

•S' =

la p-injection telle que S soit la p-sous-structure de S' engendrée par
p C f H p C S U c p C S U . Dans cet exemple, on peut aussi remplacer Ens par une catégorie munie d'une décomposition.
- 6. Soit Top la catégorie des applications continues ; en voici deux décompositions naturelles :
CTop)1 = {surjections continues}, (Top)

= {injections de ss-espaces}

C Top) Jj = {applications continues , (Top)' = {injections des ss-espaces fermés}
à image dense dans leur
but}
On rencontre ce genre d'exemple dans toute catégorie où l'on a une notion de
"fermeture" dans la classe des sous-objets d'un objet, à condition que cette fermeture soit naturelle.

- 53 -

- 7. Soit G un groupoïde ; si CG 2 ,G 1 ) est une décomposition de G, on a vu
que G<] et G 2 sont des sous-groupoïdes de G satisfaisant (a) G,, n G

= GR et

Cb) G = G^G^j ; réciproquement, un couple (G 2 ,GU de sous-groupoïdes de G satisfaisant (a) et (b) détermine une décomposition de G, car l'unité de décomposition
est conséquence de (a) et (b) (ce n'est plus vrai pour une catégorie

!).

Comme cas particuliers de (7) signalons :
- les décompositions d'un groupe abélien

en "sommes directes" de deux

sous-groupes.
les décompositions d'un groupe G en "produits semi-direct" de deux de
ses sous-groupes ; il s'agit alors des couples CG^G,, ) tels que G

soit

stable par les automorphismes intérieurs i g , g e G, ; il semble toutefois
qu'on ne requiert plus cette dernière condition dans l'acceptation actuelle
de l'expression

"semi-direct"...

- pour un groupe G fixé, l'ensemble des couples (Y,X) de sous-groupes de G
satisfaisant : "Y n X = {e} et Y.X est encore un sous-groupe", est un
ensemble inductif pour l'ordre défini par l'inclusion ; il existe donc
des couples maximaux (Y,X) qui sont des décompositions (de Y.X) ; on peut
aussi fixer l'un des deux facteurs X ou Y.
- les décompositions des groupoïdes de couples (cf. à ce sujet la fin du
chapitre 1).
8. Soit E un topos ; incluons dans la structure même de topos la notion
de choix canonique de sous-objets (si c'est possible), dans le seul but d'écrire
des égalités et non des "égalités à iso-près" ; on se donne donc pour chaque
objet X une fonction S x : Hom (X,ft)

^E^

où Q désigne l'objet classifiant les

sous-objets ; les S x satisfaisant :
U

SX(<P) est un mono de but X ayant <f pour fonction caractéristique.

2) les S x sont cohérents dans le sens suivant :
si \l) < ip

dans fiX, alors on a :

Sx(i|0 = Sx(<f).Sx.(iJ,.Sx(<p))

où

X' = a S (<P).

54 -

La décomposition canonique de E est la décomposition (E 2 ,EU

"épi-mono" dans

laquelle on impose au mono, d'être canonique ; pour que E. soit formée de tous
les épis la fonction de choix S doit satisfaire en plus 5 X (V X ) = 1 x où
V x : X —«*ft est la flèche "vraie" relative à X.
Pour toute topologie j de Grothendieck dans E, on a une décomposition naturelle
CE^^E^),

déduite de C E ^ E ^ par "fermeture" ; soit f = f ^ . f ^ 1 , où

f!jJ3 = dCU.f,,

et

f 2 j ) = S(j.<ff ) ;

est l'unique mono, tel que f 9 - f J .d(f) ; d(f) est dense et canonique,
(11(1)
par suite de la cohérence des S . Pour voir que (E'J ,E J ) est bien une décomposition directe de E, on utilise les lemmes suivants, qui sont classiques :
d(f)

LEMME 1 - Si d : X

* X. est un mono dense et si q : X.

>Y est un épi., alors

(qd)« est encore un mono, dense.

LEMME 2 - Si m : X

•X' et m' : X'

» X" sont deux monos fermés, alors m'.m

est encore un mono, fermé.

LEMME 3 - (qui justifie la terminologie de fermeture) ; si d : X
mono, dense, si m : X.

*X„ est un

^ Y est un mono, fermé et si m.d est fermé, alors d est

inversible.

Réciproquement, soit (El,EU une décomposition de E telle que
- EL soit formée de monos,
- les monos de E' soient stables par changement de base ; alors il
existe une topologie de Grothendieck et une seule, j : Q

>Çl, telle que

(E^Ejj) = ( E ^ J ) , E ! J J ) ) ;

en effet, notons Cf_,f_) l'unique couple de E' x E' tel que f = f_-f_ i à chaque
2 1
^
n
2
1
objet X on fait correspondre l'application
T
X
Hom CX,fi) — — *

Hom CX,£Î)

TxCtf) = ïp
f
où f est la fonction caractéristique de U >

—
> X et où *f est celle de f_ ; comme E'
2

- 55 -

est stable par changement de base, ainsi que la classe des monos de E', on en
déduit que T est une transformation naturelle de Hom (-,fi) en lui même, et par
le lemme de Yoneda, on en déduit un unique j : fi *fi tel que T = Hom (-,j) ;
on a alors, en désignant par v : 1

• fi la flèche "vraie" universelle,

- j.v = v , car les unités 1 x sont "indécomposables",
- j 2 = j , car f
= f_, Vf £ E,
22
2
- " j r e s p e c t e l ' o r d r e " dans l e s fi

(i.e.

: <P < \\> ==^ jcf < ji|j)

: c'est

une

conséquence de la propriété (Q) des décompositions ; ceci prouve que j est bien
une topologie de Grothendieck dans E.
La décomposition canonique (E 2 ,EU correspond à la topologie grossière et la
décomposition (E ,E) correspond à la topologie discrète.
Une relation de X vers Y, relative à ( E ^ *E! U

n'est autre qu'un sous-

objet fermé de X x Y ; notons que si E. désigne la sous-catégorie réflexive et
exacte à gauche correspondant à j, c'est encore un topos et sa décomposition
canonique (E ,E. ) n'est autre que la décomposition induite par ( E ^ ,E J )
Jn J1
2
1
sur E j .
- 9. Soit ÏÏ : B

• Œ un foncteur et p : E
ïï

soit H^ la sous-catégorie "horizontale" de E

*B la fibration associée ;

formée des (z,f,s) € E

z = fs (i.e. : ïï(f)(s) = z est unité) et soit V

tels que

la sous-catégorie "verticale"

formée des (z,f,s) tels que f e B^ ; tout morphisme (z,f,s) de E

de E

O

71

se dé-

ïï

compose de façon unique sous la forme
(z,f,s) = (z,B(f),fs)(fs,f,s)

de 9orte que (V ,H ) est une décomposition directe de E
2

soit 6^ : E^

7T

*E

ïï

ïï

en deux facteurs ;

la E^-algèbre correspondante et à laquelle on l'identifie.

PROPOSITION - A toute décomposition 8 de B correspond une unique décomposition
8ïï de E^, dite "relevée de
(1)

p : CEïï,8ïï)

8", satisfaisant :

• (B,8) € Œ C 2 ]

[2J
(2) si p : IE .6U
> (B,8) £ Œ
, il existe une seule transformation
naturelle t : 8^
• S ' (elle est à valeurs verticales).

56 -

f

Description de 8

: les composantes de (z,f,s) sont :

a2Cz,f,s) = C z , ^ , ^ ) ;

Ca^a^) définit clairement une décomposition 8

de E

; soit alors 8' une

décomposition de E^ telle que p : CE ,9U

• CB,8) soit un morphisme de Œ

soit Ca2,ajj) le couple d'applications de E

dans E

;

correspondant ; on a :

aJjCz,f,s) = Cutf^s)
a£Cz,f,s) = Cv,f2,s') où s' = 6Cu) et v.f2u = z ;

si t : 8^

• 8' est une transformation naturelle définie par tCz,f,s) = (Ç,g(f s ) ,

on doit avoir :

C S . g ^ s H f ^ f ^ s ) = Cu,f r s)

et

Cv,f2,s')CÇ,g,f1s) = Cz,f 2 ,f l S ),

d'où g.f1 = f 1# Ç = u et f2g = f2, et donc g = 6[-F1 ] e B

; donc t existe bien,

est à valeurs verticales, est unique et donnée par :

tCz,f,s) = (u.Btf^.^s)

A

Remarques :
1) La décomposition 8

de E^ n'est autre que la "relevée de (B , B ) " ; quant
V

o

/1

à (B,Bu ), elle se relève encore en la décomposition triviale (E ,E
ïï

) ; ainsi

ÏÏ

les décompositions de la base se relèvent "entre" les deux décompositions extrêmes (E^E^ ) et (V^H^) ; on notera l'analogie formelle avec les topologies
o
d'un topos Ccf. l'exemple C8)).
2) Les fibrations discrètes sont caractérisées par le fait que CB ,B) se
relève encore en la décomposition triviale analogue CE

,E ).

ÏÏ

o

ïï

- 57

(33 A une décomposition 6 de B correspond le foncteur E_ : B
le $2.3), d'où une fibration p 2 : E ( 2 )
pond une fibration p : E

• Œ ; de même, à I : B

• Œ (cf.
* Πcorres-

*• Œ ; on voit que E est canoniquement isomorphe à

B , et le relèvement de 6 dans B 2 fournit la décomposition suivante :

(g.f ,t.f) 1 = (t'.f.t'.a(f),f)
(2)
quant à E

et

(g.f ,t,f) 2 = (g,t2,t,t'.f) ,

, elle est canoniquement isomorphe à la sous-catégorie pleine de B 2

formée des (g,f,t.f) tels que f et g e B 2 ; la décomposition relevée de 6 est
celle donnée par la propriété (g) -, de ce point de vue, il y a vraisemblablement
une interprétation universelle des décompositions liée à la notion de fibration,
mais nous n'avons pas réussi à éclaircir ce point.

59 -

C H A P I T R E

3

ETUDE GÉNÉRALE DES PRÉCATÉGORIES

0. Introduction des chapitres 3, 4 et 5

60

1. Situation des précatégories entre les graphes et les
catégories

61

2. Transformations naturelles

67

3. Catégories des fractions d'une précatégorie

70

4. Précatégories bien ordonnées

74

60 -

3.0. INTRODUCTION DES CHAPITRES 3/ l\ ET 5.
Les seules décompositions directes de I\l (additif) en "sous-catégories"
sont triviales ; elles ne rendent pas compte de la simple division euclidienne ;
or celle-ci s'exprime simplement : étant donné un entier b / 0, posons A = b 3M
et B = {O,1,2,...,b-1} ; alors tout entier n s'écrit de façon unique n A + n
avec n

e A et n

e B ; ici A est bien une "sous-catégorie" de]N, mais pas B.

En fait, nous avons déterminé (cf. Ch. 5) toutes les décompositions directes ensemblistes de TN (en un nombre fini ou non de facteurs) et nous avons
prouvé que les facteurs directs étaient toujours ce que nous appellerons des
précatégories ; la méthode qui nous a conduit à ce résultat est applicable plus
généralement aux "précatégories bien ordonnées", dont (I\l , + ,<) est un exemple
assez simple.

Ceci nous a conduit à étudier plus systématiquement les précatégories et
leurs décompositions directes ; dans les textes originaux (cf.LGJJ 7] et L8|)
les résultats particuliers sont mêlés aux résultats généraux, le cas des entiers servant de "moteur" ; par souci de clarté, nous avons préféré ici classer
les résultats en chapitres bien séparés, qui offrent chacun un intérêt particulier.

Concernant les entiers, la description des décompositions directes de U\J
2
et celle.des décompositions directes en deux facteurs de UM

ont été obtenues

respectivement par N.G. DE BRUIJN [3] et par I. NIVEN [20J avec des méthodes qui
nous paraissent assez différentes de la nôtre ; celle-ci peut se résumer en quelques mots : il s'agit d'effectuer une bonne lecture transfinie de I\l, ]N

ou de

toute autre "précatégorie bien ordonnée" et d'y repérer les "places libres", où
l'on peut, indépendamment de ce qui précède, choisir le facteur de décomposition
auquel elle appartiendra ; lorsque ce choix est effectué, un certain nombre de
"places" vont être occupées-, en fonction des choix antérieurs, et on recherche
alors une "première place libre" dans l'ensemble restant, s'il n'est pas vide !
Dans le cas d'un produit de précatégories bien ordonnées, une lecture "lexicographique" est bien adaptée au problème, si l'on connait déjà les possibilités

61

de décompositions des facteurs du produit, et dans cette voie, nous avons un
résultat tout à fait général indiquant une condition suffisante pour qu'une
décomposition directe d'un produit soit obligatoirement un produit de décompositions directes des facteurs.

Soulignons enfin qu'à propos des entiers, nous avons obtenu un certain nombre de précisions qui ne figurent ni dans [3] ni dans [20].

Le chapitre 3 est une étude générale des précatégories et des précatégories
bien ordonnées.

Le chapitre 4 regroupe les résultats généraux concernant les décompositions
des précatégories ; en ce sens, il est une suite naturelle du chapitre 2.

Enfin, au chapître 5 sont présentés les résultats particuliers relatifs aux
entiers .

3.1. SITUATION DES PRÉCATÉGORIES ENTRE LES GRAPHES ET LES CATÉGORIES.
Il sera pratique d'adopter dans la suite les conventions suivantes :
M ) si (x ,...,x,.) est un n-uple composable selon une disposition cohérente
de parenthèses d, on désigne le composé correspondant par d(x ,...,x1) ;
(2) l'écriture

"3<A,B,...>"

signifie que les expressions A,B,... telles

qu'elles sont écrites sont bien définies ; par exemple, 3<(xy)z> signifie que le
composé (xy)z est défini ; l'écriture
A = B"

"3<A = B> "

est un abrégé de

"3<A,B> et

; par exemple 3<x(yz) = (xy)z> qu'on peut encore abréger en 3<xyz> ;

(3) comme pour les catégories, l'ensemble des unités d'un système multiplicatif S est noté S

et l'ensemble des couples composables de S est noté S*S ;

(4) par foncteur F : S
une application satisfaisant

F ( S Q ) c s9,

> S' entre deux systèmes multiplicatifs, on entend
:

et V(y,x) e S*S, 3<F(y).F(x) = F(yx)> .

- 62

On peut alors nommer diverses sous-catégories pleines de la catégorie $
des foncteurs entre .systèmes multiplicatifs par le nom de leurs objets ; nous
aurons à considérer :
- la catégorie Œ des graphes orientés ;
un graphe orienté G est un objet de S vérifiant : tout x £ G a une unité
à gauche g(x) et une unité à droite a(x) et
G*G = {(y,x) £ G x G|y = B(x) ou x = a(y)}.
- la catégorie E

des graphes multiplicatifs ;

un graphe multiplicatif G est un objet de S vérifiant : tout x e G a une
unité à gauche (2(x) et une unité à droite a(x), et si (y,x) c G*G\ on
doit avoir
6(yx) = 6(y), a(yx) = a(x) et a(y) = 6(x) ;
- la catégorie G. des graphes associatifs ;
un graphe associatif G est un graphe multiplicatif satisfaisant l'axiome
d'associativité (faible) suivant :
[A] 3< d(x ,...,x 1 ),d , (x n ,...,x 1 )> = ? d(xR

x^

= d'(xR

x/] ) ;

- la catégorie (G . des précatégories :
une précatégorie est un graphe multiplicatif satisfaisant l'axiome d'associativité (fort) suivant :
[FA]3<x(yz)>

ou 3<(xy)z> =*Vd'3<d(x p ,...,x 1 ) = d'(xp,. . . ,xy] ) >,

ce qui justifie la suppression des parenthèses dans une précatégorie, et
montre aussi qu'une précatégorie est un graphe associatif.
- la catégorie (E des catégories ;
une catégorie C est une précatégorie satisfaisant :
a(y) = 6(x) ==* (y,x) c C*C .
Le symbole "3f —*- ÎX " signifiant que OC est sous-catégorie pleine de 'J/ ,
nous avons le schéma suivant entre les diverses catégories introduites :

63

/A -^'S

à tout graphe multiplicatif G correspond un graphe orienté sous-jacent G_ obtenu
en otant de G*G les couples (y,x) qui ne sont pas de la forme (y,a(y)) ou (3(x),x) ;
ceci définit un foncteur d'oubli de GM et de ses sous-catégories vers G (en
pointillés sur la figure) ; les inclusions pleines G — • —

G

, G — • —

G

rA

G — * —
(E

et

A

£„ sont des adjoints à gauche des oublis correspondants ; l'oubli

•* c a aussi un adjoint à gauche L : si G est un objet de G, L(G) est la

catégorie libre des chemins de G (cf.[10]).
Projection des précatégories dans les catégories.
La catégorie G^ est à ([-projections (dans le langage d'EHRESMANN, cela veut
dire que Œ — • —

G

a un adjoint à gauche) ; si G est un objet de G , une Œ-pro-

jection de G est donnée par le quotient N(G) = L(£)/p où p est l'équivalence
bicompatible engendrée par la relation qui identifie (x'.x) et (x',x) ; le projecteur Vç : G

*N(G) est composé de l'injection naturelle G

s u r j e c t i o n canonique L(G)

> L(£j et de la

* N(G) ; b i e n s û r , Gfl e t GcrA sont a u s s i à Œ-projec-

—

A

v f\

tions ; mais voici une importante précision concernant les précatégories, et qui
est à l'origine du choix de ce mot :
PROPOSITION 1 - Si G est une précatégorie, V G : G

* N(G) est injectif et N(G)

est isomorphe à un quotient d'une catégorie non associative G ayant pour graphe
sous-jacent un sous-graphe de L(£)-

• Soit en effet G l'ensemble des chemins s = (x ,...,x.) de G tels que
n
1
—
^
(x i + 1 ,x i ) i G*G, pour i = 1,2,...,n-1 ; n = l(s) est la longueur du chemin s.
Dans G, on définit la loi de composition suivante :
S

=

t x n " , " x '|) et s' = (y , ...,y ) sont composables si et seulement

si otty^) = $(x n ) et dans ce cas, on pose :

- 64 -

(y

,... ,y^,x n ,. .. ,x 1 )

si

(y^x^) i

G*G

s 's
Cy p .--.*y 2 .y 1 -x n ,x n _ 1 ,...,x 1 )

si

( y r x n ) £ G*G ;

on vérifie facilement que s's e G ; on peut identifier G au sous-ensemble de G
formé des s tels que l(s) = 1, muni de la loi induite par celle de G, car on a :

3<yx>

==* a(y) = g(x) — » 3 < ( y ) ( x ) = (yx)> ;

G est une catégorie "non associative" (par exemple : si zy et yx sont définis,
mais par zyx, on a dans G :

z(yx) = (z,yx)

tandis que

(zy)x = (zy,x))

; la longueur satisfait

l'inégalité l(s's) ^ l(s') + l(s) - 1 ; considérons la relation élémentaire suivante, dans G :

A={((s"s')s,s"(s's))|3<(s"s')s,s"(s's)>} ;

avec un argument de longueur, on prouve que si [otO*)

e A avec O / a', alors

o* et 0"' i G ; la même remarque vaut pour l'équivalence A engendrée par A ; soit
A. la relation compatible engendrée par A :

A

1 = ^ta 1 a 2 ,ajja^) | [a 1 ,ajj ) € A

et

[o2,o^)

e

A } ;

par un argument de longueur, on prouve encore que si [0,01)

e A. avec a/

O* , alors

a et a' i G ;
par
récurrence on définit A
K

à Kpartir de A
., comme A„ à partir de A, et A à
n
n-1
1
n
partir de A , comme A à partir de A ; alors R = ^J A = (J A e s t *'équivalence:e
n
_
n
n
bicompatible engendrée par A dans G ; on montre par récurrence que R n'identifie
pas les éléments de G ; autrement dit le composé v n : G*

*G

G/R est injectif ;

G

il est clair que G/R est une catégorie pour la loi quotient de celle de G ; montrons que v G définit bien une Œ-projection de G ; soit donc F : G
* K un foncteur vers une catégorie K ; soit F : G
* K définie par :
F((x n ,..., X l )) = F(x ) ... F[xA)

;

65 *

F est un foncteur compatible avec R et définit par passage au quotient un foncteur F : G/R

» KK satisfaisc
satisfaisant F.vr = F ; l'unicité de F résulte du fait que v_

est aussi un épimorphisme. A

b

b

Une autre démonstration consiste à utiliser la proposition 8 de [11], mais cela
ne donne pas une description aussi explicite de N(G).

Sous-précatégories. Précatégories quotients.
Les notions de sous-structure et de structure-quotient sont ici relatives
au foncteur d'oubli vers Ens qui oublie la seule loi de composition définissant
les objets de S.

PROPOSITION 2 - Soit G une précatégorie et soit X c G ; il existe une plus petite
sous-précatégorie de G contenant X, notée X ; elle est engendrée dénombrablement
par X.

• Quitte à ajouter a(X) u 6(X), on peut déjà supposer que X définit un sousgraphe multiplicatif de G ; la loi de composition induite dans X par celle de G,
notée ., est ainsi définie : 3<y.x>
X
x

<=» 3<y.x> et y.x e X ; posons alors

X1 = ft e G|lx,y,z e x|3<x^(y.z)> et t = x.y, ou bien
3<(x.y).z> et t = yy.z} ;
X X
définissant X
oo

que X = U

n

(par récurrence) à partir de X

A
n-1

, comme X. à partir de X, on voit
\

X .A
A

H

n=1
Remarques
(1) Posons n x = inf {n e TN | X R = X} et, si X R / X, Vn € IM, on pose n

= oo .

même si G a de bonnes propriétés (engendré par un seul élément, commutatif, simplifiable e t c . ) , il se peut que n

= °° ; en voici un exemple avec G = 3\l ; soit

A c 3\| un ensemble fini tel que n A ^ 1 (par ex. : A = {0,1,2,3,5} où n
posons :

= 1) et

66 -

AM)

= A u U . y } , où X = 2 sup (A) + 1
P = A + sup (A
- A
A
n„
nft-1

;

on prouve facilement que n .
> n A ; en construisant A ( n } à partir de A [ n 1 ) ,
A
°°
comme A
à partir de A, on trouve que B = U A
satisfait n_ = «> . dans l'exemB

o
p i e c i t é , on v o i t que :
AM]

{0.1.2,3,5.11,15}, n (1)

= A(1)

= 2, A 2

= {0,1.2.3.4,5.11.12.13.14,15}.

A

(2) Comme autre exemple, prenons A = P = l'ensemble des nombres premiers ;
alors P = IN (résulte aussitôt de ce que p

< 2p , en désignant par p

nombre premier) ; mais il y a mieux ; on peut prouver que P

le n l e m e

= I\l, tandis que

Tyl - P 2 est infini (on trouve inf (JM-P ) = 93).

(3) Soit G une précatégorie, X c G et X la sous-précatégorie de G engendrée
par X ; si F,F' : X

>K sont deux foncteurs vers une précatégorie K, coïncidant

sur X, alors F = F'.

(4) Soit G un graphe multiplicatif ; on a déjà remarqué que toute partie
X satisfaisant X 3 a(X) u $(X) définit un sous-graphe multiplicatif de G pour la
loi induite . ; on dit que X est stable dans G si [y,x 6 X et (y,x) e G*G] entraiA

ne y.x e X ; un sous-graphe multiplicatif stable d'une précatégorie est encore
une précatégorie, mais ce peut être une sous-précatégorie sans être stable pour
autant ; on doit donc bien distinguer entre les "sous-précatégories" et les "sousprécatégories stables" (c'est-à-1'origine de toutes les complications concernant
les décompositions directes des précatégories) ; évidemment cette distinction est
sans objet pour les catégories.
La question des précatégories quotients (quasi-quotients dans la terminologie d'EHRESIIANN) sera réglée lorsqu'on aura indiqué comment un graphe multiplicatif se plonge universellement dans une précatégorie : il suffira d'effectuer le
quotient dans G , puis de projeter dans G
11

.

rA

PROPOSITION 3 - La catégorie G n est à G^-projections ; si G est un graphe multiplicatif, une GFA-projection de G est donnée par la sous-précatégcrie G de N(G)
engendrée par v G (G).

- 67

f On remarque d'abord que la restriction v' : G

» Ê de V 0 est bien un fonc-

b

teur ; soit alors F : G

G

• H un foncteur de but une précatégorie H ; par pro-

priété universelle, il existe un unique foncteur F : N(G)
F

V

" G

= V

H'

F ; ceci

P

rouve

^

ue

• N(H) tel que

"F(VG(G)) C H, en identifiant H à une sous-précaté-

gorie de N(H), grâce à la proposition 1 ; en utilisant la proposition 2, on voit
que F(G) = FCVçCG)) c H, de sorte que F admet une restriction F : G

• H satis-

faisant F.V£ = F et l'unicité d'un tel F résulte de la remarque (3) précédente. A
Remarques :
(5) Nous ne croyons pas que le résultat précédent s'étende aux graphes
associatifs ; pour la loi induite, VçtG) est bien un graphe associatif, mais si
H est un graphe associatif,son projecteur v R : H
priori.

>N(H) n'est plus injectif a

(6) Par composition des projections, on voit que v? ° \)' : G
»N(G) est
G
G
un projecteur (de ^ dans Œ ) , et par conséquent N(G) est isomorphe à N(G), de
sorte qu'on peut choisir pour V^ l'inclusion G ç — » N ( G ) .
G

3.2. TRANSFORMATIONS NATURELLES.
Soient F,G : C

»D e Œp A ; une transformation naturelle (en abrégé t.n.)

de F vers G. soit t, est la donnée d'une application t : C
Vf e C avec a(f) = e, 8(f) = e', 3<G(f).t(e) = t(s').F(f)>

• D satisfaisant :
;

*• G, ou bien t : C j ^ D si on veut faire voir
G
les précatégories source et but de F et G.
symboliquement, on écrit t : F

Les t.n. entre foncteurs de C vers D se composent (composition latérale des
t.n.) de la façon suivante :
t

'• F

* G B t u : G' — * H

sont composables si et seulement si

68

i) G' = G
ii) Ve £ C Q ,

3<u(e).t(e)>

iii) u.t : C Q

* D définie par (u.t)(e) = u(e).t(e) est une t.n. de F

vers H ;

dans ce cas la composée de t et de u est u.t ; les conditions ii) et iii) sont
aussi équivalentes à l'unique condition :

Vf : e

» e' e C , B<u(e').t(e').FCf)> ou 3<u(e').G(f).t(e)> ou

3<H(f).u(e).t(e)>.

PROPOSITION 1 - Nunie de la composition latérale, l'ensemble D C des t.n. entre
foncteurs de C vers D est une précatégorie.

f C'est une simple vérification.A

Notons bien que D

n'est pas une catégorie

en général ; c'en est une cependant si D elle-même est une catégorie, mais ce
n'est pas une condition nécessaire.

PROPOSITION 2 - La catégorie G F A est cartésienne fermée.
fSoit F : X
tion F o t : CQ

»Y c G p A et soit C une précatégorie ; soit t e X C ; l'applica>Y définie par (F o t)(e) = F(t(e)) définit une t.n.

F o G

» F o H, où t : G
•H, car F est un foncteur ; pour la même raison,
C
C
l'application X
> Y , définie par t ~v~* F o t, détermine en fait un foncteur,

de sorte que ( )

est un endofoncteur de G

; il y a aussi 1'endofoncteur "pro-

duit par C", soit ( ) x C qui est bien un adjoint à gauche de ( ) C ; ceci se
montre comme dans le cas des catégories, en prenant soin à chaque étape de vérifier que les conditions d'existence des composés qui interviennent sont bien satisfaites. A

Un peut montrer qu'il existe dans G p A quatre autres structures monoïdales
bifermées dont 2 sont symétriques (cf. LAIR et FOLTZ [14]).
A côté de la composition latérale des t.n., il y a la composition longitudinale qu'on va noter par un "o" puisqu'elle prolonge la composition des foncteurs ;

- 69 -

soient t : C^J^D et t' : D^j^,E deux t.n. j soit f : e — * e' e C ; du fait que
G
G
C
D
'
t £ D et que t' € E , il vient :

3<t(e').F(f) = G(f).t(e) = d>
et

3<t'(6(d)).F'(d) = G'(d).f(a(d))>

;

alors, on a aussi : 3<t'(G(e')).F(t(e')).F'oF(f)
= G'oG(f).t'(G(e)).F'(t(e))>
et

3<G'(t(e')).t'(F(e')).F'°F(f)

= G' °G(f).G'(t(e)).t'(F(e))>,

de sorte que l'application

t'ot

*E

: C

définie par

t'ot(e) = t'(G(e)).F'(t(e)) = G'(t(e)).t'(F(e))
est une t.n.

F'°F

• > G' ° G

, dite composée longitudinale de t et de t' ; pour

cette loi, la classe iP) _A des t.n. entre foncteurs ie G._A) est une catégorie ;
rA

rn

la loi latérale ne fait de 11-, qu'une précatégorie ; on peut dire que IP)F A est
une catégorie enrichie par IGFA, ou ce qui revient au même que c'est une 2-précatégori.e d'un type particulier ; on définit les précatégories doubles (ou n-uples)
ou les 2-précatégories (ou n-précatégories) de façon tout à fait semblable au
cas des catégories, à la lumière de ce qui vient d'être dit.
La plupart des résultats généraux concernant Œ et la 2-catégorie H

des t.n.

entre foncteurs (£ (E) ont leurs "pendants" au niveau des précatégories. Par exemple, [TlpA e s t une 2-précatégorie représentable : une t.n. t : C ^ ^ D se représen~
te par un foncteur t : C

2

G

2
•D

où D

est la précatégorie des quatuors de D (c'est

même une précatégorie double). On peut aussi développer une théorie des limites
dans les précatégories, mais nous n'aurons pas besoin de cela par la suite ;
signalons toutefois que la question des extensions de Kan est nettement plus compliquée que dans le cas des catégories.

70

3.3. CATÉGORIES DES FRACTIONS D'UNE PRÉCATÉGORIE.
Soit G une précatégorie ; soient x,y,z e G tels que 3<z=y.x> ; dans ce
cas,

on dira que :
(z,y,x) est une fraction à gauche et y diviseur à gauche de z,

et

(y,x,z) est une fraction à droite et x diviseur à droite de z ;

l'ensemble D (G) des fractions à gauche de G devient une catégorie quand on le
o

munit de la loi de composition :
(z',y',x')(z,y,x) = (z',y'.y,x) si et seulement si x' = z ;

de même l'ensemble D,(G) des fractions à droite de G devient une catégorie lorsqu'on le munit de la loi de composition :

(y',x',z')(y,x,z) = (y',x'.x,z) si et seulement si y - z' ;

l'axiome fort d'associativité CFA] est la véritable raison qui fait de D (G) et
o

D .(G) des catégories et pas seulement des précatégories.

On peut assembler les deux notions de fraction à gauche et fraction à droite
en une seule : soit D (G) l'ensemble des quadruplets (z',y,x,z) tels que
3<y.z'.x = z>, appelés fractions ; on dira que z' est un diviseur de z ; on munit
D (G) d'une structure de catégorie en y définissant la loi de composition suivante :

(z",y',x',z')(z',y,x,z) = (z",y.y',x'.x,z) si et seulement si z' = z'.

D , D , et D, se prolongent naturellement en des foncteurs de G_A vers Œ
g
d
t
FA
(mais pas en des 2-foncteurs de D F A vers T) ). Nous désignerons leurs restrictions
à Œ respectivement par D', D', D?.
Remarques :
(1) En termes de "classe d'objets et de classe de flèches", on peut dire
que la localisation dans une précatégorie conduit aux catégories, mais ce n'est
pas une opération fonctorielle ; soit en effet f : X

>Y e C ; alors C

et C

- 71 -

sont des catégories, mais la composition par f, soit T. : C

— * C v * ne définit

pas un foncteur ; soit C x _ la sous-catégorie pleine de C x dont les objets sont
les u : U — • X e C satisfaisant 3<f.u> ; alors E
vers C

définit un foncteur de C

j la catégorie C x « est $-saturée dans C x , i.e. toute flèche dans C

source dans C v

est dans C Y « ; remarquons aussi que si g.f est défini dans C,

A ,T

alors C v

de

A ,T

est une sous-catégorie de C Y ,,, en général distincte.

A,g. t

A, T

(2) L'écriture des fractions à gauche et à droite sous forme de triplets
fait apparaître clairement G comme classe d'objets des catégories D,(G), D (G) ;
en fait, ces fractions sont bien déterminées par les couples composables de G, ce
qui montre que G*G porte deux structures naturelles de catégories.
2
(3) Dans la précatégorie des quatuors de G, soit G , on peut distinguer,
comme pour les catégories de quatuors, les deux sous-précatégories suivantes :
T 2 = {(g,t',t,f) £ G 2 |t' £ G Q }
T 1 = {(g,t',t,f) £ G 2 |t

£ GQ}

;

ce sont en fait des catégories respectivement isomorphes à D .(G) et D (G) ; on
verra que (T2'"r,J est encore la structure de décomposition directe libre (en deux
sous-précatégories stables) engendrée par G (cf. le chapitre 4) ; mais si on supprime le mot "stable", ce n'est plus la âbructure libre !
Adjonctions.
PROPOSITION 1 - Dg et D Jd ont des adjoints à gauche.
f Montrons ceci pour D

; soit C une catégorie connexe et C

la catégo-

o

rie obtenue en ajoutant à C un objet initial u (l'unique flèche de u vers e e C
est notée ÏÏ) ; soit e : C
• D (C + ) définie par e r (f) = (7Tûrx.,f,ïï r _J ;
e

«-

g

L

pltJ

CtlfJ

montrons que C est une D -structure libre engendrée par C, avec e p pour injection correspondante ; en effet, si d> : C — • D (G) est un foncteur, il existe un
—

+

g

^

• G tel que D Œ) o e = ^ . posant <j)(f) = (tf f.Cf> (p ) e 0 (G) ,
^_
g
L»
e
T e
g
on trouve que <j) est donné par :
unique <|> : C

-72

<J>(u) = a(f ) (indépendant de e car C est connexe)
6

<|>(ïï ) = Cp , pour e £ C
e
'e
o
<F(f) = $ f , pour f € C ;
si C est non connexe, on l'écrit comme somme de ses composantes connexes C^ et
une D -structure libre engendrée par C n'est autre que la somme des C%.

Pour les D -structures libres, on remplace "objet initial" par "objet final",
dans ce qui précède. A

Les foncteurs D , D

sont injectifs, mais non pleins ; ils permettent

d'"identifier" (GFA de deux manières différentes à une sous-catégorie de Œ, stable
par limites projectives et aussi par sommes.
Les restrictions D' et D' ont encore pour adjoints à gauche les restrictions des adjoints à gauche de D
g

et D,. Ce phénomène cesse d'être vrai pour DA .
K
d
t

PROPOSITION 2 - D| a un adjoint à gauche (qui ne peut certainement pas être la
restriction d'un adjoint à gauche de D . ) .

• Soit C une catégorie et S l'ensemble des spans de C , i.e. les couples (g,f)
tels que B(g) = g(f) ; C opère sur S : X(g,f) = (X.g,X.f) lorsque a(X) = B(g) =
3(f) ; soit p l'équivalence engendrée dans S par l'ensemble des couples
(Cg.fMg^-f^)) tels qu'il existe l\.\x)

e S satisfaisant X(g,f) = u(g ,f ) ; po-

sons [g,f] = (g,f) mod. p ; a définit deux applications naturelles ôt et g de
Z = S/p vers C Q : ct[g,f] = a(f) et E[g,f] = a(g) ; C opère à droite sur Z :
[g,f].f = [g,f.f] si et seulement si B(f') = â[g,f] ; C* opère à gauche sur Z :
g' .[g.f] = [g.g'.f] si et seulement si a (g' ) = B[g,f] ; convenons que C,C* et
Z

sont disjoints et désignons par F (C) le joint de C et C* le long de Z, via

les opérations définies ci-dessus ; la catégorie F (C) a pour ensemble sous-jacent
C u Z u C

; l'ensemble de ses unités est C
0

u C* et les applications source et
0

^

but sont données respectivement par a et 6 dans C, a* et B* dans C*, ôt :
E
* C Q et "^ : Z
y C Q ; les composés autres que ceux existant dans C et C* sont

73

if

du type défini par les opérations précédentes de C et C
ce joint ^A^

sur Z j montrons que

est une D'-structure libre engendrée par C, l'injection

e : C — * D;F (C) étant définie par e(f) = ( [e' ,e' ],f *,f, [e,e ]), où e = a(f) et
e' = B(f) ; on a bien f . Ce',e'].f = [f,f] = Ce,e] par définition de p et donc
e(f) € D'F (C) ; soit alors G une catégorie et <|> : C
•D'(G) un foncteur ; pour
f : e
* e' c C, posons <J>(f) = (z M y„,x ,z ) , où z = y«.z ,.x« ; s'il existe
B T T e
e
T B T
4> : F (C) — * G t e l que DMcJÔ.e = <|>, on d o i t a v o i r
(ze,,yf,xf,ze)

= (*[e',e'],*(f*),*(f),*[e,e])

;

un élément Cg,f] de Z s'écrit, dans F.(C), sous la forme g .[e',e'].f où
e' = B(g) = B(f) ; on en déduit les valeurs nécessaires de (J) :

<}>(f) = x f

(j)([g,f]) = y .z ,.x
S e t

pour

f € C, <J)(g ) = y

, pour g

e C , et

(un simple calcul prouve que cette valeur ne dépend pas du

choix du représentant (g,f) de [g,f]) ; on montre facilement que <J> est un foncteur et ceci achève la démonstration. A
Remarques :
(4) Le résultat analogue pour D. : (BpA

*Πne tient pas, comme nous l'avons

précisé dans l'énoncé de la proposition 2 ; en effet, on trouve pour valeur nécessaire de ^[g,f] l'expression y .z ..x- ; or, il se peut que ce composé n'existe
pas si G est seulement une précatégorie, bien que y .z , et z ,.x soient définis.
g e
e
T
(5) On a vu que, si G est une précatégorie, on peut identifier les couples
(Dd(G),D (G)) et (T 2 ,T 1 ), qui forment une décomposition directe de G

; d'un

autre côté, les couples (T 2# T*) et (T*,T2) sont des décompositions directes de
D t (G) en deux sous-catégories ; il est remarquable qu'en assemblant T,. et T
T 2 - T 1 o n obtienne une précatégorie, tandis qu'en les assemblant en T .T* (ou
T^.T2) on obtient une catégorie.

(6) Les calculs de fractions à la façon de GABRIEL-ZISMAN peuvent être
développés dans le cadre des précatégories.

en

- 74

3 A PRÉCATÉGORIES BIEN ORDONNÉES.
DEFINITION - Une précatégorie G est dite bien ordonnée; b.o.

en abrégé, si elle

est munie d'un bon ordre < satisfaisant la condition suivante :

rsup (x,y) < y.x, pour y.x défini, et si sup (x,y) = y.x,
Lalors inf (x,y) e G .
o
Dans la suite nous aurons besoin des conventions ou définitions suivantes, concernant une précatégorie G donnée :

- si x e G, on désigne par D(x) l'ensemble des diviseurs de x ;
- y est diviseur propre de x s'il existe une fraction x •* y non neutre ;
- G est dite propre si aucun x € G n'est diviseur propre de lui-même ;
- G est dite sans inverses si "y.x e G = 4 y
•
o

et x c G " ;
o

- si D(x) = (B(x),x,a(x)}, on dit que x est irréductible ; il est équivalent
de dire que G est sans inverses ou que G

est formé d'irréductibles.

- appelons base de G un ensemble B c G qui est générateur et formé seulement
d'irréductibles de G ; une précatégorie G a au plus une base (évadent).

Remarques :
(1) Une précatégorie peut être propre et avoir cependant des inverses : par
exemple, le groupoïde des couples d'un ensemble.

Une précatégorie peut être sans inverses et n'être pas propre : par exemple,
la précatégorie suivante :

O

v
f

2

2

où u

= u, v

- v, x.u = v.x = x, u / e, v / e', e et e'

étant les seules unités.

(2) Dans une précatégorie propre et sans inverses, la relation "x divise y"
est une relation d'ordre ; en effet, elle est clairement réflexive et transitive
(axiome [FA]) ; supposons donc x ^ y et y <, x, c'est-à-dire qu'il existe (z',z)

75 -

et (t',t) tels que : y = z'.x.z et x = t'.y.t ; alors 3<y = z'.t'.y.t.z> et
comme y n'est pas diviseur propre de lui-même, il vient z'.t', t.z e G Q ; comme G
est sans inverses, alors z',t',t,z 6 G

et x = y.

Si dans une précatégorie G la relation "x divise y" est une relation d'ordre,
alors G est sans inverses, mais G peut ne pas être propre (cf. l'exemple cité
plus haut où l'on a : e < u < x e t e ' < v < x ) .

PROPOSITION 1 - Toute précatégorie bien ordonnée est propre, sans inverses et
possède une base.

f Soit K une précatégorie b.o. ; elle est propre car si z.y.x = y on a
y < y.x ^ y, soit y.x = y, donc inf (x,y) = x c K

; de même, z e K

; elle est

aussi sans inverses, car la relation "x divise y", impliquant la relation
"x ^ y" est antisymétrique, donc c'est un ordre ; enfin la classe B des éléments
irréductibles

n'est pas vide puisqu'elle contient K

(on suppose K ¥ <)>} ; soit

B la sous-précatégorie stable de K engendrée par B ; écrivons les éléments de
K sous la forme "x^" où X est un ordinal, et x. < x

si et seulement si X < u ;

supposons établi que x-v e "5, \/X < y ; si, pour tout couple (y,z) tel que
3<y.z = x > l'un des deux éléments y ou z est égal à x , alors l'autre est une
unité et x

est irréductible, donc dans B ; si, au contraire, il existe un cou-

ple (y,z) tel que x

= y.z, avec y et z / x , alors on a y,z < x , et y et

z £ B par hypothèse de récurrence, donc x
à remarquer que x

* B, car B est stable dans K ; reste

est obligatoirement une unité, donc x

£ B et ceci achève

de prouver que K = B. A

Cette proposition n'admet pas de réciproque ; voici en effet un exemple
de catégorie propre, sans inverses, munie d'une base et qui pourtant ne peut pas
être bien ordonnée : partons de la catégorie opposée à l'ordre naturel de TN ;
l'unique flèche de n+1 vers n est notée b

; ajoutons à cette catégorie une nou-

velle unité GT et deux familles de flèches (x ) et (b'), de source commune TD",
le but commun de x et b' étant n ; dans cet ensemble H, on achève de décrire
n
n
une structure de catégorie en ajoutant que, Vn £ 0, on doit avoir :

76

b .b'
= b .x A = x ; les irréductibles de H sont : les unités, les b^ et
n n+1
n n+1
n
n
les b* ; ils constituent une base B de H ; H est évidemment propre et sans inn
verses ; enfin H ne peut pas être bien ordonnée, sinon l'ensemble X des x n aub .x
A , ce
rait un plus petit élément, soit x , mais on peut l'écrire x n
n
n+1
o
o o o
qui prouve que x
et contredit la définiA est strictement plus petit que x
o
o
i
tion de x

Schéma de H

(b .b' , = b .x , = x ) 75J
n n+1
n n+1
n

n-1

Cet exemple est sans doute le plus "économique" possible, en vertu de la proposition suivante :

PROPOSITION 2 - Toute précatégorie finie, propre et sans inverses peut être
bien ordonnée.

f Soit en effet G une telle précatégorie ; pour x € G posons <P(x) = |D(x) | ;
1SI j à tout entier p tel que V (p) / $ faisons
-1
correspondre un ordre total (arbitraire) £ sur l'ensemble <f (p) ; considérons
(f est une application de G dans

alors l'ordre "lexicographique" sur G défini par : x < y si et seulement si
^(x) < Cf(y) ou, si ^f(x) = Vty) = p, x £

y ; cet ordre fait de G une précatégo-

rie bien ordonnée ; supposons en effet que y.x soit défini; les inclusions
D(y) c D(y.x) et D(x) c D(y.x) entraînent les inégalités <p(y) £ tf(y.x) et
f(x) < V(y.x) j si ces deux inégalités sont strictes, alors on a bien
sup (x,y) < y.x ; supposons ^CyD • ^(y.x), ce qui équivaut, puisque G est fini,
à D(y) = D(y.x) ; alors y.x est diviseur de y, donc il existe (z',z) tel que
3<z'.y.x.z = y> ; comme G est propre et sans inverses, cela entraîne que x £ GQ.

77

Le raisonnement précédent ne va pas si G est infini car l'inclusion
D(x) c D(y.x) peut être stricte bien que |D(x)| = |D(y.x)|.
Dans ce qui suit, il faut imaginer que les précatégories b.o. "généralisent"
les ensembles b.o. ; on pourrait développer une théorie des ordinaux dans ce sens,
sans même la fonder sur la théorie usuelle des ordinaux. Le théorème qui suit
est à rapprocher des théorèmes de topologie bien connus sur les produits d'espaces localement compacts ou localement connexes, et a ce titre les précatégories
b.o. apparaissent comme des "ensembles localement bien ordonnés" ! (c'est sans
doute l'erreur commise dans [8], où l'on ne supposait pas l'ensemble d'indices
fini, qui nous a poussés à trouver le bon résultat).
PROPOSITION 3 - Un produit de précatégories est bien ordonnable si et seulement
si chaque facteur est bien ordonnable et l'ensemble des facteurs non discrets
est fini.

f Soit G = II G. un produit de précatégories ; supposons d'abord qu'il existe
une infinité de

G. non discrets et montrons que G ne peut pas être bien ordon-

née ;
Soit X l'ensemble (non vide) des ( x . ) _ T tels que x. ne soit pas une unité
i Ie I

i

M

pour une infinité d'indices i Ê I j si G était bien ordonné, X aurait un plus
petit élément soit u = (u.)

; soit alors (I ,1 ) une partition de I telle que

u. ne soit pas une unité pour une infinité d'indices i e I.et pour une infinité
d'indices i e I

; considérons les deux éléments de G suivants :

v = [ v i ^ i £ l * où vi = ui si i e I

et v. = a(u.) si i e I

w = (w.).
, où w. = B(u.) si i e L et w, = u. si i £ L ;
ii£l
i
i
1
i
i
2
alors 3<w.v = u>, et puisque G est b.o. et que w et v sont différents de u, il
vient les inégalités strictes : v,w < u, ce qui contredit la définition de u,
puisque v et w e X !

Donc si G = Il G.^ est une précatégorie b.o., il n'y a qu'un nombre fini de
Gi non discrètes ; d'autre part, il est clair que chaque G. est une précatégoriE
b.o., car G. est identifiable à une sous-précatégorie b.o. de G.

78 -

Réciproquement, soit ( G . ) . T une famille de précatégoriesb.o. contenant
seulement une famille finie de précatégories non discrètes ; regroupant les
précatégories discrètes on peut considérer que G est un produit fini de précatégories b . o . (car tout ensemble peut être b.o.) dont une au plus est discrète. Supposons donc G =

II G. avec lll < °° ; s u r G, on définit l'ordre s u i i€l *
''
vant, après avoir choisi un ordre total < s u r I : x < y si et seulement si
ou bien x = y
= {i e l|x. / y . } ^ <t>,

ou bien, x ^ y, et alors I
i

o

= i n f (I
) est défini, et x.
x,y
i
J

< y., ;
i
o o

on vérifie aisément que cette relation dans G est un ordre total ; montrons que
c'est un bon ordre ; soit X <= G , X / <f> ; définissons I

= {i e l|3( x ,y) e G x G

tel que x. / y.} ; si I Y = <J>, alors X est réduit à un élément et il n'y a plus
rien à montrer ; si L

/ ¢, nous posons :

i. = i n f (I x ) , pour l'ordre < choisi dans I,
Ç. = inf (X

) , pour l'ordre de G
i1

XM)

, où X.

!>,

= (x 6 X|x. = Ç } ;
X
1
(1 )

on voit que l'inclusion X
X - X

est la projection de X,

i>,

(1 )
c x est stricte, X

est supérieur à tout élément de X

^ <J> et q u e tout élément de

; si X

n'a qu'un élément,

c'est

le premier élément de X ; sinon, on recommence tant qu'on peut : p a r récurrence,
(k+1)
(k)
on définit I r .,i
, Ç
, X
à partir de X
, comme on a défini I Y , i . ,
,A .

y L KJ

K+i

K+1

A

I

Ç.,X
à partir de X = X ^ ; comme I est fini et que la suite des i est stric(k)
tement croissante, le processus s'arrêtera : il existe un entier k tel que X
soit réduit à un élément : c'est le plus petit élément de X ; reste à vérifier
que pour ce bon ordre G est une précatégorie b.o., mais ce n'est pas difficile. A

Exemples et remarques :
Soit 2 la catégorie à une seule flèche {0 — > 1} et posons 2 = 2 ; ce sont
°
31
là deux précatégories bien ordonnables, mais, en tant que précatégories, T
peut être bien ordonnée et pas Y

; d'ailleurs, la première partie de la démons-

tration précédente revient exactement à montrer que T

ne peut pas être bien

ordonnée ; toute précatégorie G qui contient une sous-précatégorie isomorphe à

79

Y

ne peut pas être bien ordonnée ; mais ce n'est pas là une condition nécessaire,

comme on l'a vu avec l'exemple qui précède la proposition 2 et comme nous le
verrons encore avec un exemple qui nous a été communiqué par BENABOU [2] à propos d'une situation beaucoup plus fine qui sera analysée plus loin.

Auparavant, voici encore une proposition, qui généralise en un certain sens
la proposition 2 et indique une condition suffisante pour qu'une précatégorie
puisse être bien ordonnée.

PROPOSITION 4 - Soit H une précatégorie b.o. et soit \\> : G

* H une application

satisfaisant les conditions suivantes :
a) ip"1 CH ) = G
r
o
o
b).V(y,x) £ G * G , W y h i J K x ) ) e H * H et ip(y).i|;(x) < ip(y.x) ;
alors G peut être bien ordonnée.
T Pour chaque y e \\)[G) choisissons un bon ordre <

sur ip

(y) ; définissons

alors dans G la relation suivante : x < y si et seulement si ip(x) < ip(y) ou,
lorsque \p[x)

= ijj(y) = z, x < z y ; la relation < est évidemment un ordre total

sur G ; soit X c G, X / <J> s comme H est b.o., ipCX3 possède un plus petit élément
-i

yu ; soit x le plus petit élément de X n ty (y ) , pour l'ordre <
: il est
o
o
y
J
o
clair que x

est le plus petit élément de X pour l'ordre < sur G, qui de ce fait

est un bon ordre sur G ; supposons enfin y.x défini ; alors la condition b) entraîne que ip(y).i|;(x) est défini dans H et ip C y ) . ip C x ] < ip(y.x) ; comme H est une
précatégorie b.o., on voit que sup (ip(y),^(x)) < tyiy) .\\)[x)
inégalités "ip(x) ,i|;(y) < i|;(y.x)

< iJKy.x) ; si les

sont strictes, on en déduit sup (x,y) < y.x ;

supposons au contraire qu'on ait i/;(y) = ip(y.x) ; alors, on a aussi
ijj(y) = iMy)-^(x), ce qui entraîne ij;(x) e H , car H est une précatégorie b.o. ;
la condition a) entraîne à son tour que x e G , et donc y = y.x ; dans ce cas, on
a bien aussi x < y = y.x, car ip(x) < ip C y ) . ip C x ) = i/;(y) et, si ip(x) = ip(y)
y est une unité (condition (a)) composable avec x, soit x = y ! A
Exemple.
Soit G une précatégorie ; pour x £ G, soit A(x) l'ensemble des n-uples

80

composables du type s = (x ,...,x1) où :
- aucun x

n'est une unité,

- x = xn

... x. j (on posera l(s) = n)

soit \J;(x) = sup {n e IN 13s e A(x), avec l(s) = n} ; par convention, \J^(x) = «> si
ce sup n'existe pas, et i|;(x) = 0 si A(x) = ¢. Lorsque G satisfait : i^(x) < oo,
Vx £ G, alors G est bien ordonnable, car ty satisfait (a) et (b) ; on retrouve
les précatégories finies, propres et sans inverses comme cas particulier (prop. 2)
de même, la sous-catégorie 2

de 2 , formée des (x )

^, où tous les x

n n eTN

sauf

n

un nombre fini sont des unités, est bien ordonnable.
Généralisant cet exemple, on aboutit, par récurrence transfinie, à une caractérisation des précatégories b.o. (prop. 5) ; on aurait pu adopter l'ordre de
présentation inverse, c'est-à-dire commencer par la proposition 5 et en déduire
les propositions déjà énoncées, mais c'eut été en fait inverser l'ordre naturel
dans lequel nous avons trouvé les résultats, ce qui n'est pas forcément une bonne
chose sur le plan didactique. On dira qu'une suite (x ,x2,...,x ,...) est une
suite de diviseurs propres si tout x
n

est diviseur propre de x A, n > 2. On peut
n-1

énoncer la :
PROPOSITION 5 - Une précatégorie G est bien ordonnable si et seulement si toute
suite de diviseurs propres est finie (condition artinienne pour les diviseurs
propres).

f La condition est évidemment nécessaire, car une suite de diviseurs propres
d'une précatégorie b.o. doit avoir un plus petit élément. Montrons qu'elle est
suffisante, ce qui n'est pas tout à fait évident. Supposons que G soit une précatégorie dans laquelle toute suite de diviseurs propres est finie ; alors G est
propre, car si x était diviseur propre de lui-même, (x,x,...,x,...) serait une
suite infinie de diviseurs propres ; G est aussi sans inverses, car si on avait
y.x = e £ G Q avec y et x ¥ e, la suite (x,y,x,y,...) serait une suite infinie de
diviseurs propres. Ceci étant, reprenant les notations de 1'exemple.précédent,
posons :

G t 0 ) = G, G^ 0) = {x e G|0<i|<(x) < »},G^ 0] = {x e G | ^ ( X ] = »}

- 81 -

Si G^

= ¢, alors G^

= 4> aussi ; mais G^

peut être vide sans que G
(0)
soit : c'est la situation de l'exemple suivant la proposition 4. Si G^
pas vide, on définit G

= G

u G^

le
n'est

qui est évidemment une sous-précatégorie

stable de G satisfaisant encore la condition artinienne pour les diviseurs pro—
(1 )
(1)
—
près ; l'analogue de la fonction IJJ : G
> ]N est notée \p
:G
> 1SI ; on
sons définies G

J

et Gœ

de G^

; suppo-

pour tout X < y, avec la condition que G

n G

= (J)

définit, relativement à IJJ

, les sous-ensembles G

pour X / X' ; si P a un précédesseur p-1, on définit G
ip
si
^

(U]

, GJ

U]

et G ^

]

M )

comme on a défini G

, ^

M)

, GJ

1)

y est un ordinal limite, on pose simplement : G
' ^-F

se

' ^oo

u G^ " ^ , puis

1}

à partir de G ;

et G ^
= G

u ( jM

G^

) et

laissent définir comme auparavant, remarquant que G

re une sous-précatégorie
G

= G

est enco-

stable de G. Il est clair que dans tous les cas

n G

= (J> pour X < y ; G et les G
constituent une partition de G (il
°
(A)
(A)
existe un ordinal A à partir duquel, G
= (J> et G
= <J> aussi, d'après la reT

marque faite au début) ; on définit alors, pour tout x e G, l'ordinal X(x) comme
étant celui qui satisfait x e G

. Sur G, on considère la relation x < y si

et seulement si
ou bien X(x) < X(y)
ou b i e n X ( x )

= X(y)

et

ou b i e n X ( x )

= X(y),

iptX](x)

et

ij/

]

(x)

< ij/

= i|;U](y)

]

(y)
= n

-v .,Jy,
y, où
ou ^,sy M > est un bon ordre choisi dans
x ^=r(X,n)
r>
(X,n)

VX]-1(nîcG^
(par convention, on introduit en plus des ordinaux X > 0 un prédécesseur de 0,
soit - 1 , et X(x) = -1 <==7> x c G ) ; On vérifie sans peine que la relation < es1
M
o
un bon ordre sur G qui fait de G une précatégorie bien ordonnée. A
Filtration naturelle d'une précatégorie b.o. par retraits successifs d'irréductibles.
Soit G une précatégorie b.o. ; avec les notations de la proposition 5, on
remarque que la base B de G est caractérisée par

B = {x £ G|iJ/(x) = 0 ou 1} ;

- 82 -

posons G. = B - G

; soit y un ordinal ( limite ou non) ; supposons G^ défini

pour tout ordinal X < y et supposons aussi que les G^ satisfont les deux conditions suivantes :
(a)

G^ n G^, = <J> pour X / X', X et X' < y ,

(b)

VX < y, si le composé y.x e [_. =
A

L'ensemble G' = G -

U

\J G.(, alors x et y e L, aussi.
A
X'<X A

G^ est stable dans G ; muni de l'ordre induit par ce-

lui de G, c'est encore une précatégorie b.o. ; elle possède alors une base B' ;
nous posons G y = B' - G Q ; si B' = G Q , alors G

= (J) et G = UG^. Par définition

de G , la propriété (a) est satisfaite j montrons que (b) aussi est satisfaite ;
Soit

L

y = X<y G X e t

su

P P ° s o n s y-x € L y i s'il existe X < y tel que y.x e L,,

l'hypothèse de récurrence prouve que x,y e L, c i , ; supposons donc y.x € G ;
A
y
y
comme G est réunion disjointe de G' - B' et de L , il suffit de prouver que ni x
ni y ne peuvent être dans G' - B' ; si x et y e G' - B', y.x € G = B' - G ne
y
o
serait pas un irréductible ; supposons donc x e G' - B' et y e L

(ou l'inverse) ;

comme il n'est pas possible que y e G , il existe X < y tel que y e G, ; l'élément x s'écrit au moins d'une façon : x = b'.b'

...bjj, où b! e B' - G ,

i = 1,2,...,n et n > 2, car B' engendre G' et x i B' ; comme z = y.b' ... bA est
J

diviseur propre de y.x

n

Z

et que y.x € B', z ne peut pas être élément de G' ; donc

z e L x , pour un certain X' < y ; mais alors y,b^,...,b£ seraient dans L,. aussi,
ce qui contredit le fait que b^ e B' - GQ, pour i > 2 ; ceci achève de prouver
que G^ satisfait (a) et (b) ; la définition des G. par récurrence transfinie est
bien correcte. Choisissant A assez grand, on épuise G qui apparaît ainsi comme
réunion disjointe des G^ ; chaque L^ définit une sous-précatégorie de G, non stable
en général, (ceci résulte de (b), mais (b) indique plus) ; la famille (LJ, A consX X<A
titue une filtration croissante de G par des sous-précatégories ; posant
R
X = G " U
&\, on voit que chaque R. est une sous-précatégorie stable de G
A
1^X'<X
ayant pour base G^ u G Q (c'est la définition même de G^) ; la famille ( R J A < A constitue une filtration décroissante de G par des sous-précatégories stables (on convient que R1 = G) ; on a toujours R x n L x = G 0 u G x qui est la base de R. (cf.

83 -

le schéma ci-contre).
On peut être tenté de croire (nous
l'avons été dans [ B ] , où un mélange

(X)

malencontreux des G, et des G

nous

a conduit à écrire des choses fausses)
que la partition de G en (GJ, . ainsi
décrite est caractéristique des précatégories bien ordonnables ; il n'en est rien comme le montre le contre-exemple
suivant, que J. BENABOU nous a communiqué, et dans lequel :
- les G-, forment une partition de G, et posant :

L

XA = X'<X
U GXA

Rx = G -

U

G,A

w

u

1<X'<X
:X'<X

A

- les L sont des sous-précatégories de G satisfaisant

y.x £ L,

(b)

y et x e L,

- les R^ sont des sous-précatégories stables de G, propres, sans inverses,
et ayant pour base G

u G. .

o

X

Nous remarquons d'abord que la précatégorie H qui nous a servi de contre-exemple
à l'énoncé réciproque de la proposition 1 est insuffisant ici ; en effet, reprenant les notations précédentes et celles de l'exemple en question, on trouve :

H

1

=

{b

n'bn}ne]N '

L

1 = H1 u

a l o r s R2 = H - H1 = HQ u i ^ ^ ^

H

o

e t

R

1 = H '

) u { b R . b n + 1 . . .b

n e l\l}

; mais R

est une

p >1
sous-précatégorie stable de H qui n'a pas de base ! On ne peut donc pas définir
G2.

Contre-exemple de J. BENABOU [2],
La précatégorie G (c'est en fait une catégorie) a pour classe des unités
G o = TN u {m}, comme dans notre exemple H. Les flèches entre entiers sont celles
définies par l'ordre opposé à l'ordre usuel de !D\I, comme pour H ; donc, pour
m < n, il y a une seule flèche n i

* m notée T
. De Tir vers TU il y a la flèche
m, n

84 -

identique notée encore 7D ; de JS vers n, il y a n+1 flèches distinctes

Œ

• n

notées (n,k), où k = 0,1,...,n.
La composition est définie entre les T
par l'ordre ; reste à exprimer les
m,n
composés de la forme T
° (n,k) ; on posera :
m,n
x
o (n,k) = (m, inf (m,k+n-m)) ;
m,n
il est pratique de représenter par un graphique une partie de la catégorie D (G)
des diviseurs de G : celle des fractions à gauche f — » f

où f est une flèche

de source 13 ; alors, la flèche (n,k) de source nr est représentée par le point de
coordonnées (n,k) ; sur le schéma sont reliés (n,k) et T

représente la fraction "élémentaire" : (n,k)
soit :

(n,k)

et

(n,n-1)

> (n-1,n-1)

et

(n,n)

» (n-1,n-1)

0

1

,
<> (n,k), ce qui
n-1, n

> (n-1,inf(n-1,k+1)),

* (n-1,k+1), pour k = 0,1,...,n-2,

2

3

4

5

6

7

La relation de divisibilité est clairement représentée sur ce graphique. Les
irréductibles

de G de source W sont : "CI et les (n,0) avec n > 1 (i.e .

- 85

représentés par les points qui ne sont but d'aucune "flèche de divisibilité").
Les irréductibles non neutres sont donc :

G

1 = {T n,n + ll n € ] N

} U

{[n

'0]ln * 1} ;

les éléments x £ G de source HT ont une décomposition finie formée d'irréductibles
qui se "lit" sur le graphique : il y a toujours un chemin fini de source un
(n,0), n ^ 1, et de but x ; ce chemin est unique pour tout x en dessous de la
diagonale ; au contraire, pour tout x de la diagonale, il y a une infinité de
décompositions possibles en nombre fini d'irréductibles, mais pour chaque n > 2,
il n'y a qu'une décomposition en n irréductibles.

Par récurrence, on établit alors que G

existe, Vp > 1, et est donné par :
n , 2P"1

G

P

P

= (T
J2 "
n,n+k'

1

<

P

k < 2 } u {(n,i:
2P"1-1 < 1 < inf (n,2P-1

autrement dit, G
entre 2

est constitué des flèches dans

(inclus) et 2

3\I

de longueur k comprise

(exclus) et des flèches de source U représentées par

les points de la figure qui sont strictement en dessous de la diagonale et strictement compris entre les horizontales de hauteurs 2

-2 et 2-1

; on a fait

apparaître sur la figure, en les entourant, les trois ensembles G^ .TÂJ, Gy.tà et
G3.m.

Toujours par récurrence, on démontre que les ensembles L

= |^J G sont
q<P q
= ^ x et y £ L (ceci
P

bien des sous-précatégories de G satisfaisant y.x e L
B

P

*

P

se"voit" sur le schéma, lorsqu'on a bien repéré les G ) ; ce ne sont évidemment
P
pas des sous-catégories.
Enfin, et c'est le point moins évident, on montre que les R

= G P

U
A

G
P

H

1<q<p
définissent bien des sous-catégories de G (ayant mêmes unités) et G u G est la
y
B
p
o
base de R ; tout ceci nécessite d'envisager plusieurs "cas de figure" différents,
ce qui conduit à établir quelques lemmes d'arithmétique que nous ne reproduisons
pas ici, pour alléger.

- 86

Passons à l'infini ; conformément à la définition récurrente des G^, on aura
d) = G o U { [ n ' n ) l n e ^

R

Gjo = { ( n , n ) |n

eTN)

fœ

adjonction d'un objet initial m à la catégorie discrète

W).

a l o r s RIX a encore une b a s e , à s a v o i r R,t e l l e - m ê m e e t L
0)

CO

G satisfait encore (b)

03

évidemment. Le processus de retrait des irréductibles s'arrête alors au cran o)+1
Toutes les conditions requises pour les familles (G*), CR^), (L,) sont bien satisfaites, mais G ne saurait être bien ordonnable puisqu'elle contient des suites infinies de diviseurs propres, par exemple ((0,0),(1,1),(2,2),...,(n,n),...)!
Remarque à propos de la proposition 5.
Le bon ordre indiqué pour toute précatégorie G satisfaisant la condition
artinienne n'est pas en général le plus petit bon ordre faisant de G une précatégorie bien ordonnée, même si l'on choisit pour bons ordres <r,
, les cardinaux
(X) - I i
s*>>
lA,n J
\ty
(n)| ; par exemple, si TN est la catégorie associée à l'ordre naturel de JM
et si l'on choisit pour < r . . des cardinaux, on trouve que le bon ordre décrit
iA,nj

dans la proposition correspond à co , tandis que le plus petit bon ordre faisant
A

de TN une catégorie bien ordonnée est GÛ.
D'une façon générale, si G est une précatégorie satisfaisant la condition
artinienne pour les diviseurs propres, on peut définir le cardinal précatégorique
de G, soit |G|pA : c'est le plus petit ordinal correspondant à un bon ordre sur
G, faisant de G une précatégorie b.o. ; entre le cardinal ordinaire |G| et le
cardinal précatégorique, on a la relation (dans la classe des ordinaux) :
G

< G FA ; il peut y avoir égalité, comme on vient de le voir pour IM, mais
il peut y avoir aussi inégalité stricte comme le montre lfexemple suivant :
soit K ayant trois unités 0,1,2 i de 0 à 1 il y a une infinité de flèches distinctes, par exemple une infinité dénombrable : x.,xn,...,x ,... ; de 1 à 2 il v a
J
1 z
n
une seule flèche, soit a, et à part les composés triviaux, on suppose :

a.x

= b,
n
pour tout n > 1 ;

- 87 -

K est évidemment bien ordonnable, et il est clair que

|K| = (A) tandis que | K | F A = U)+1 .

Deux questions naturelles se posent, auxquelles nous n'avons pas de réponse
1) caractériser les précatégories G telles que |G| = |G

FA
2) caractériser les précatégories G pour lesquelles |G|FA £est le bon ordre
A
décrit dans la proposition 5 quand on prend pour <,>
> des cardinaux.

89

C H A P I T R E

4

DÉCOMPOSITIONS DES PRÉCATÉGORIES

0. Introduction

gg

1. Structures libres de décompositions

gg

2. Décompositions oo-stables

/in,,

3. Décompositions des précatégories
4. Remarques

b.o. (cas d'instabilité)

KJ5
A AD

- 90

4,0, INTRODUCTION,
Ce chapitre contient des résultats généraux concernant les décompositions des
précatégories. Les résultats du chapitre 2 subsistent à condition de remplacer
l'expression "sous-catégorie" par l'expression ••sous-précatégorie stable" ; si
l'on

n'exige pas que les facteurs d'une décomposition soient stables la situa-

tion change complètement ; c'est en cela que ce chapitre se démarque du chapitre 2,
tout en le prolongeant.

La recherche des structures libres de décomposition conduit naturellement à
définir les décompositions partielles d'un graphe multiplicatif, ce par quoi nous
commencerons ; on distinguera parmi les différents types de décompositions envisagés ceux qui sont algébriques au sens des triples et ceux qui ne le sont pas.

Lorsque les facteurs d'une décomposition d'une précatégorie ne sont pas stables, la décomposition peut cependant être co-stable (on montrera
2

au chapitre 5

que c'est le cas des décompositions de IM et TN ) : intuitivement, cette propriété signifie que, par alternance de compositions et de décompositions élémentaires
des éléments d'un chemin composable, on aboutit en un nombre fini d'opérations à
la décomposition de l'élément associé au chemin ; la stabilité des facteurs entraîne l'co-stabilité des décompositions et non l'inverse.
Enfin, lorsqu'on s'intéresse aux décompositions d'une précatégorie G en un
nombre de facteurs non précisé, il convient de regarder la loi de composition
partielle e entre parties de G (ayant éventuellement certaines propriétés) définie de la manière suivante : B © A = C si et seulement si (B,A) est une décomposition directe de C ; ce point de vue occupe le dernier paragraphe ; il sera illustré au chapitre 5 par les résultats particuliers concernant les entiers.

4.1. STRUCTURES LIBRES DE DÉCOMPOSITIONS, (Directes, fortement associatives, stables etc...).
Soit G un graphe multiplicatif (cf. S 3.1) ;

DEFINITION 1 - Une décomposition partielle de G est une application d : G' —

G*G,

où G' est une partie de G contenant G , satisfaisant les conditions suivantes :

- 91

( D Po)

d(e) = (e,e) , Ve e Go ;

(DP,,)

si d(x) = (x2,x ) , alors x = x ^ x .

(DP2)

si d(x) = (x2,x/J) , alors x,, et x 2 e G' et
d t x ^ = [&[xA),xA)

et d(x 2 ) = (x2,a(x2))

La catégorie D.
Les objets de 1D sont les couples (G,d) formés d'un graphe multiplicatif G
et d'une décomposition partielle d de G ; un morphisme F : (G,d)
la donnée d'un foncteur F : G
F*F : G*G

*(H,d') est

> H satisfaisant (F*F) o d = d' o p où

* H*H est définie par (F*F)(y,x) = (F(y),F(x)) ; l'image par F de la

source de d est donc contenue dans la source de d'.

DEFINITION 2 - Soit d une décomposition partielle de G. On dira que d est totale
si sa source est égale à G.
On dira que d est directe si elle satisfait l'axiome d'unicité suivant,
dans lequel on pose d(x) = ( x ^ x ^ :

(U)

si x et y e G' et si y 2 . Xl est défini et e G', alors d(y2-x ) = (y ,x ).

Par convention, une décomposition qui est à la fois totale et directe s'appellera
simplement une décomposition de G.

Soit G un graphe multiplicatif ; une décomposition d de G est parfaitement
déterminée par la donnée d'un couple (B,A) de parties de G satisfaisant
i) B n A = G

o
ii) la composition induit une bijection Y : B*A

» G (on rappelle que

B*A = G*G n BxA) ;

c'est le couple (B,A) = (p 2 .d(G),p A .dlG)), où P l et p 2 sont les projections naturelles G*G

»G ; on posera a = p r d et b = p 2 > d et B et A s'appelleront les

facteurs de la décomposition d ; on parlera aussi de "la décomposition (B,A) de G".

- 92

Les catégories

IDX e^t ]DX.

Le symbole X indique des propriétés possibles de décomposition ; par exemple :
X - T

signifie

"décomposition totale"

X = ©

signifie

"décomposition directe"

X = T®

signifie

"décomposition totale et directe" (encore appelée
décomposition)

X =

signifie

"décomposition partielle"

X = FA

signifie

"décomposition (totale et directe) en sous précatégories"

X = S

signifie

Ceci étant, la catégorie

"décomposition en sous-précatégories stables".

D x est la sous-catégorie pleine de TD dont les objets

sont les couples (G,d) où d est une décomposition du graphe multiplicatif G ayant
la propriété X ; quant à E x c'est la sous-catégorie pleine de £ L dont les objets
sont les couples (G,d) où G est une précatégorie.

Extension d'une décomposition partielle de graphe multiplicatif.
PROPOSITION 1 - La catégorie £ est à D
dans

-projections ; une projection de

IL. se restreint encore en une projection de TD dans

ET

E

i enfin, si

( G , d ) — > (G,d) est un projecteur et si G est un graphe associatif, alors G est
encore un graphe associatif.

f Soit (G,d) un objet de fi ; posons G. = G-G' où G' est la source de d ;
soient a,b,u trois éléments tels que (x,a), (x,b) et (x,u) ne soient pas éléments
de G, quel que soit x c G. Considérons l'ensemble G suivant :

G = G u(Gd x {a})u(Gd x

b) u ÎGd x {u});

on le munit d'une structure de graphe multiplicatif de la façon suivante :
- on conserve la structure de G qui devient un sous-graphe multiplicatif
stable de G* ;
- les "nouvelles unités" sont les (x,u), x e G j l'élément (x,a) a pour
source <<(x) et pour but (x,u) j l'élément (x,b) a pour source (x,u) et
pour but gCx) i

- 93

les "nouveaux composés" non triviaux sont définis par :

x = (x,b).(x,a), pour x e G,.

Alors, on peut étendre d en une application d : G

> G*G par la condition d'être

égale à d sur G', et définie ailleurs par :

ïïtx) = ((x,b),(x,a))

,

ïï(x,u) = ((x,u) , (x,u) ) ,

(x e G,)
d

d(x,a) = ((x,u),(x,a)) ,
d(x,b) = ((x,b),(x,u)) ;
le couple (G,d) est objet de TDj et l'inclusion de G dans G* définit un morphisme
(G,d)

» (G,d) qui est clairement un E-p-projecteur : (ÏÏ,ïï) est l'extension libre

totale engendrée par (G,d). Si G est un graphe associatif, il en est de même de ÏÏ;
si d est une décomposition directe, il en est de même de ïï, car les seuls composés
(dans G) de la forme (x,a)y ou z(x,b) sont forcément triviaux (i.e. : y = ot(x),
z = B(x)l). A

Extension d'une décomposition partielle de précatégorie.
Si dans la construction précédente on suppose que G est une précatégorie,
c'est-à-dire (G,d) objet de D , on trouve que G est seulement un graphe associatif;
si G*G n'est pas trivial, G n'est certainement pas une précatégorie. Il faut donc
poursuivre la construction pour obtenir une ÏÏD -projection de (G,d). C'est ce que
nous allons faire dans la démonstration de la

PROPOSITION 2 - La catégorie D est à ID-p-projections ; une projection de
dans E T se restreint encore en une projection de TD dans
©

E

ET .
T©

• On reprend les notations précédentes ; on va construire d'abord l'objet
(G^d,,) de TD engendré par (G,d) ; on peut procéder de deux façons : l'une est
naturelle à partir de G, mais nécessite de nombreuses vérifications (que nous ne
donnerons pas) ; l'autre consiste à oublier ÏÏ ; elle est longue et artificielle,
mais a l'avantage de réduire les vérifications à des évidences.
1ère description de G 1 . Soit c = ( x n f x , . . . ,xA ) un chemin composable dans G et

- 94

posons c d = ( y 2 n ' y 2 n - 1 " , " y 2 ' y 1 ] o ù ^21^21-1 5 = ^ ( V ' Pour 1 = 1*2,...,n ;
crf est un chemin dans ÏÏ ; soit c' un morceau de c., c'est-à-dire un chemin
tyj»---»yiî °ù Ci#j] c [1,2n] i on fabrique alors le chemin réduit correspondant,
la réduction s'effectuant dans ÏÏ et le résultat de cette réduction ne pouvant
être qu'unique ; on obtient un chemin irréductible dans ÏÏ, soit r (c\), de lonc d
gueur 1, 2 ou 3 ; s'il est de longueur 1 on peut l'identifier à l'élément de G
correspondant ; soit G^ l'ensemble des chemins irréductibles obtenus par ce procédé; on définit dans GA la loi de composition partielle suivante, qui fait de G*
une précatégorie :
soit (r",r') un couple d'éléments de G. ; on dit qu'il est composable
s'il existe un chemin composable c dans G et deux morceaux c' et c"
d
d
de c tels que c" o c ' soit défini, r' = r (c'), r" = r (c") ; dans ce
o o
c d
c d
cas r"r' = r Ce" o c ' ) .
c d
d
Il convient de vérifier que la composition ainsi définie dans G. ne dépend pas
des représentants ( c c ^ c j ) choisis pour la définir, ce qui conduit à examiner
environ 16 cas ; puis il faut encore montrer que G. devient bien une précatégorie et que celle-ci est la précatégorie libre engendrée par ÏÏ (cf. S 3.1, prop. 3 ) ,
ce qui est fort long.

2

description de G 1 .

Soit GA l'ensemble des triplets ((x,a),z,(y,b)) tels que

z £ G, x et y e G Q u G d et x.z.y est défini dans G ; soit G® un ensemble disjoint
de G.,
en bijection avec G,, l'élément correspondant à z e G_, étant noté e .
1
a
d
z
L'ensemble sous-jacent à la précatégorie G. est la réunion disjointe de G* et de
G

dOn munit d'abord G1 d'une structure de graphe orienté, dont les applications

source et but notées respectivement a 1 et f$A sont définies comme suit :
- pour e z c G d , on pose o ^ t e ^ = g (e ) = e ;
- pour t = (Cx,a),z,Cy,b)) e G*, on pose

Cy,a),y,(y,b)) si y € G
c^Ct)
e y si y £ G d ,

- 95

((x,a),x,(x,b)) si x 6 G
o

e^t)
e x si x e Gd ,

on munit ensuite G. d'une structure de graphe multiplicatif telle qu'il sera
pratiquement évident qu'il est fortement associatif :
- le composé ((x',a),z',(y',b)).((x,a),z,(y,b)) est défini si et seulement
si y' = x d'une part, et si le composé des cinq éléments x'.z'.x.z.y est
défini dans G, d'autre part ; dans ce cas, le composé vaut
((x',a),z'.x.z,(y,b)) ;
- le composé ((x,a),z,(y,b)).e

est défini si et seulement si v = y, et

vaut dans ce cas ((x,a),z,(y,b)) ; de même le composé e ,.((x,a),z,(y,b))
est défini si et seulement si v' = x, et vaut dans ce cas ((x,a),z,(y,b))
- enfin e ..e

n'est défini que si v = v', et vaut alors e .

Il est clair que l'application G

> G. définie par :

,((g(z),a),z,(a(z),b))
est un foncteur injectif et permet donc d'identifier G à une sous-précatégorie
stable de G^, ce que nous faisons à partir de maintenant ; on munit G. de la
décomposition partielle d. de source G' = G u G^, définie par :

- d^(z) = d(z), pour z e G', source de d,
o

- d.(e ) = (e ,e ), pour e^ e G,,
i z
z z
z
d
- d ^ z ) = (((3(z),a),3(z),(z,b)),((z,a),a(z),(a(z),b))),

pour z e Gd ;

alors (G,d) est un sous-objet de (G^d,.) dans ID, et si d est directe, il est
clair que d^ est encore directe ; bien sûr, si d est totale, G

= <J) et

(G 1 ,d 1 ) = (G,d).

Soit alors F : (G,d)

• (H,d') un morphisme de E de but un objet de D T ;

montrons qu'il s'étend de façon unique en un morphisme F. : ( G ^ d J

^(H,d') ;

à cet effet, remarquons que tout élément ((x,a),z,(y,b)) de G1 s'écrit sous la forme a_A (x). z.b^ (y), 0 ù (a^ ^

) est le couple d'applications de G' dans G- associé

- 96

à la décomposition partielle d1 (i.e. : d ^ t ) = (b^ (t) ,aA (t) J ) j on doit avoir
F^Cz) = FCz), car FA doit prolonger F j comme on veut que F,, soit un morphisme
de E , cela nécessite F ^ a ^ x ) ) = a/CF^x)) = a'(F(x)) et F ^ b ^ y ) ] =
Ib'CF^y)) = b/tFCy)) (remarquons que a/ et b9 sont des applications partout définies, car d' est une décomposition totale de H) ; enfin, comme x.z.y est défini
dans G, il s'en suit que F(x).F(z).F(y) est défini dans H, donc aussi
b/tFU)).a'CF(x)).FCz).b'(F(y)).a'CF(y)), de sorte que la valeur de F„ sur G*
—
_
est parfaitement déterminée par :
F^tx.aî.z.ty^))

1

1

= a/ ( F ( x ) ) . F ( z î . b ' (F(y) ) ;

soit encore e z e G® , on sait que z e G^ donc e z = 61C(z,a),a(z),(a(z),b)) =
B^a^Czî), d'où F 1 ( B Z ) = eCa'CF(z))), car FA doit être un foncteur ; on montre
facilement alors que FA est bien un morphisme de ( G ^ d J vers (H,d').
On achève la démonstration par récurrence ; en effet, d,- est seulement une
décomposition partielle de G ^ mais sa source contient G, donc ce défaut s'effacera à l'infini ; soit plus précisément CG n # d n ] l'objet de TD construit à partir
de t G
,d
If
comme ( G ^ d ^ a été construit à partir de (G,d) ; on peut identin-l n-1
fier G
à
une sous-précatégorie stable de G . de sorte que d est une extension
n_1
de d
n_-| '> prenant la limite inductive de
(G,d)

> (G^dJ
• J

• ...

• (G ,d )
n n

> ...

on obtient une E-p-projection C G ^ d J de (G,d), le projecteur (G,d) - L * ( G ^ d J
étant défini par l'inclusion limite des inclusions G
n il existe un unique F p : CG n ,d p )

y G ; pour chaque entier

• (H,d'J prolongeant F, d'où, par passage

à la limite, un unique F : ( G ^ d J
• (H,d') prolongeant F ; si d est une décomposition directe, il en est de même des d (par récurrence) et donc de d , et
ceci achève la démonstration de la proposition 2. A
Pour tout symbole X, désignons par V x le foncteur d'oubli (de la structure
de décomposition) de E x vers Œ p A ; nous pouvons énoncer la

97

PROPOSITION 3 - Pour X e {((j.T^.Te^FA.S}, le foncteur V
mais seuls V-p et V

a un adjoint à gauche,

sont triplables ; en particulier les décompositions de préca-

tégories en sous-précatégories ne sont p<
pas algébriques au-dessus de Œ FA # ce qui
correspond à la non-triplabilité de V .

? Soit G un graphe multiplicatif et soit d
sur G, où d

:G

la décomposition partielle triviale

——> G*G est définie par d(e) = (e,e) ; il est évident que

(G,d ) est une structure libre engendrée par G pour l'oubli naturel de E vers
Œ» ; ainsi, par composition d'adjoints, on voit que les foncteurs d'oubli de 5b
vers Œ^ ont des adjoints à gauche, pour X = <J), T,® ou T© ; de même, pour les
foncteurs de TD^ vers CE

, notés V f V T # V

et V

; (G,d°) est une V-structure libre

engendrée par la précatégorie G et si (G ,d°) est la ET-projection de (G,d°),
OO

OO

|

c'est une V-p-structure libre engendrée par G ; mais comme (G,d°) est directe, il
en est de même de (G ,d ), qui se présente donc aussi comme une V -ou \I^ -struc0000
©
I©
ture libre engendrée par G ; mieux encore, si un composé du type a (x).a (v) est
J

oo

oo

J

défini et appartient à a^tG^), la construction de G montre que l'un au moins des
deux éléments a (x) et a (y) doit être une unité ; donc a (G ) et b (G ) sont des
—w

—oo

__oo

oo

—oo

oo

sous-précatégories (triviales) de G . de sorte que (G ,d°) est aussi une Vr.R-struc^

oo

oo oo

p^

ture libre engendrée par G ; montrons maintenant que V T est triplable, ce qui
prouvera du même coup que V^, V T

et V p A ne sont pas triplables, puisque le tri-

ple associé dans Œ p A est toujours le même ; notons-le (( )œ,i,m)

; en un objet G,

on a donc :
i
00

G -i-* G

J

<

00

G
0000

m
où i est l'inclusion et où m est l'extension totale de (G ,d°) I d > (G ,d°), d°
00

00

OO

désignant encore la décomposition triviale de G\ ; montrons d'abord que i est
°°

^

0

0

aussi l'inclusion (naturelle) de G^ dans G œ o o ; soit I cette inclusion ; par définition de i^, on a i^ = I°i = l'extension totale de
I«i : (G,d )
d a n s

G

oooo;

s o i t

> (Ç^^d^J
alors

l'inclusion

; supposons prouvé que (loi)

((x,a),z,(y,b))

e G

A

est l'inclusion de G

n
; par d é f i n i t i o n ,

n
x et y £ G

n+1
n,d
z e Gn et x.z.y est défini dans G R ; par construction (cf. Proposition 2) on a :
d°i) n+1 ((x,a),z,(y,b)) = £ j (Ioi)n(x)). (loi) R ( Z ) .b^J (I0 i)n(y ))
=

£>JxUz^œ^^

Par

98

hypothèse de récurrence ; mais x et y g G _, c G c G , et G est dans le don, d
n
°°
»
maine de la décomposition partielle d° de G^ A, ce qui signifie que :
a ^ J x ) B -£°(x) = C(x,a),a(x),(a(x),b))
et

^.ooJy^ = ^°^^ = ((B(y),a),g(y), (y,b) ) ; alors on trouve :
(Ioi) n+1 ((x,a),z,(y,b)) = ((x,a),a(x),(a(x),b)).z.((6(y),a),6(y),(y,b))
= ((x,a),z,(y,b)), et ceci montre que

(loi)

est encore l'inclusion ; finalement i
n •*" i

est l'inclusion et i
oo

objet (G,d) de ID

= I. A un
oo

correspond une algèbre 9 . : G^

» G, par le foncteur de com-

paraison d'Eilenberg-Moore : ce n'est autre que l'extension totale de
(G,d )
> (G,d) ; réciproquement, soit 6 : G 0 *G une algèbre sur G ; on lui
i
°°d
e*e
fait correspondre l'application d~ = G
»G —22-> G *G
> G*G j si x e G ,
y

OO

00

Q

OO

alors i(x) € C G ^ et d Q (x) = (9°i(x) ,9oi(x) ) = (x,x), ce qui prouve que dfl satisfait (DP ). Comme pour tout x 6 G, on a b (ix).a (ix) = ix et que 6 est un foncu

fin

'

co

teur inverse à gauche de i, on en déduit que bUJ.a^x) est défini et égal à x,
c'est-à-dire que dQ satisfait (DP>|). Supposons enfin que x' = a U ) et prouvons
que d Q (x') = (b(x'),a(x')) = (&(x'),x') ; on a :
2
a(x') = a (x) = (Boa oioBoa oi)( x ), par définition de a,
—

—

—oo

r

—oo

—

= (6° > âîo o 6 oo o i 0O o i a 0o o i) ( x ) , parce que i e s t
=

oi
un8o8oo°5r*w>
morphisme
(G i ,Hdx° ) ,) p a r•c e(G que
, d °9) ,
^
o«c5««
0000

0000

00

naturelle,

définit

00

= ( 6 0 ^ 0 ^ ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ txD, parce que 6 est une algèbre
= (ôoa^omoi^oa^oi)(x), parce que m est un morphisme

2
= (9«a oi)(x), parce que moi
• OO

r

^

= ld,

00

= CBoa^oiJtx), parce que d° satisfait (DP 2 ),
= a(x) = x', par définition de a.

- 99

On prouve de même les autres égalités, ce qui montre que dg est bien une décomposition totale de G ; elle n'a aucune raison d'être directe ; d'ailleurs, pour
toute décomposition totale d de G, on voit que :

dft
= C8 . * 6 J o d o i = do9 o i = d ,
B
d d
°°
d
d

et si 9 est une algèbre sur G, 9,

car 9 oi = 1 ,
d

est l'unique morphisme (G^id^) — *

(G,dQ)

tel que 9^ oi = JH . comme 9°i = Idn aussi, il suffit de montrer que 9 est ende
G
G
core un morphisme (G^d^)

» (G,dg) pour être sûr que 9 = 9

; or ceci résul9

te essentiellement du fait que I = i^ ; en effet :

(9*9)od°oio9 = (9*9)od°o9 oi# par naturalité
OO

00

^

oo

= Ce*6)od°oeoi, car I = i
00

= (9*6)°d°

00

00

00

. car 6 « i

00

00

= (9oi)
00

- 1 ,
00

ainsi les correspondances 9 ^ d n et d'^^9, sont inverses l'une de l'autre et ceci
achève la démonstration de la triplabilité de V T et de la non triplabilité de V ,
i

VT

©

et V p A . Quant à V_, il admet aussi un adjoint à gauche, mais celui-ci n'est

pas fourni par la construction de la proposition 2 ; une V -structure libre en2 2
2
gendrée par G est donnée par (G ,d ) où G est la précatégorie des quatuors de G
2
et d en est la décomposition totale définie par :
2
d (y,t r t Q ,x) = ((y,B(t1),tQ,y.t0),(t1.x,t1,a(tQ),x)) ;

ce résultat, établi pour les catégories au chapitre 2, subsiste ici comme nous
l'avons indiqué dans l'introduction : il suffit d'ajouter partout où cela est
2

2

nécessaire l'expression "si les composés écrits sont définis" ; en fait (G ,d )
apparaît aussi comme un quotient de
proposition 3.

CGQO'O'OO^'

Ceci achève la démonstration de la

A

Remarques.
2

2

(1) La décomposition libre en deux sous-précatégories stables (G ,d ) a été
indiquée en 3.3) les facteurs étaient désignés T« et T., et on a remarqué que
c'étaient en fait des catégories isomorphes aux catégories des fractions à gauche
et à droite de G. Nous tenons à souligner que le seul fait d'imposer aux facteurs

100 -

d'être non seulement des sous-précatégories, mais encore des graphes stables
modifie complètement la situation : les structures stables "redeviennent" algébriques (triplabilité du foncteur V„) et la structure stable libre engendrée
par G est beaucoup plus "petite" que la structure FA-libre engendrée par G, soit
CG^,d^) i On peut retrouver ces résultats en raisonnant sur de bonnes esquisses
projectives des divers types de décompositions introduits ; il convient de dessiner correctement de telles esquisses ; l'existence et le calcul explicite des
adjoints aux foncteurs V

résultent de la théorie générale des esquisses (exten-

sions de Kan successives...) ; notre procédure n'est finalement qu'un raccourci
agréable ; de plus la triplabilité ou la non triplabilité de certains foncteurs
est un phénomène qu'on peut "lire" sur certaines esquisses, grâce à des théorèmes tout à fait généraux, justement applicables ici (dus essentiellement à
LAIR [17]) ; toute la question consiste à trouver de "bonnes" esquisses des structures considérées ; nous ne le ferons pas ici pour alléger le texte, mais la
possibilité de le faire n'est pas seulement destinée à illustrer les travaux
sur les esquisses (ou à les utiliser) ; elle est aussi la preuve que tout ce
que nous avons dit dans ce chapitre est vrai de façon "interne".

(2) On notera que la structure (G^d^) est la plus "instable" qui soit,
puisque les facteurs de la décomposition d^ sont des sous-précatégories triviales de G^. Nous allons décrire dans le paragraphe suivant une situation intermédiaire entre la stabilité totale CVg) et l'instabilité totale (V

) ; il s'agit

des décompositions co-stables ; la définition précise de telles décompositions
est assez longue ; il y a sans doute des décompositions cj-stables libres engendrées par les précatégories, mais celles-ci doivent être vraiment très compliquées Cici, les esquisses purement projectives ne suffisent plus).

4,2. DÉCOMPOSITIONS ^-STABLES.
Dans ce paragraphe il s'agit de décompositions totales et directes, que nous
avons déjà convenu d'appeler simplement "décompositions" ; on ne suppose donc
pas a priori que les facteurs d'une telle décomposition sont des sous-précatégories.

101

Les monoïdes Çï .
•

n

Soit M

le monoïde libre à n générateurs r„,r„,...,r ; soit p la relation
n
°
1 2
n
d'équivalence dans M engendrée par les relations élémentaires suivantes :

r

^ r. , avec i = 1,2,

(E)
r.r

^ r.r. , pour tout couple (i,j) tel que |i-j| ^ 2

On va montrer que cette relation p est compatible avec la composition des mots
et définit donc par passage au quotient un monoïde Œ
la forme normale d'un mot m e M

; pour cela, introduisons

compte-tenu des relations élémentaires (E) ;

dans la classe de m modulo p il existe un mot et un seul, soit v(m), ayant la
forme suivante, dite normale :

v(m) = a

,°cr
n

V k
où n'

.
n

Vr k-i

o... o <j
n n

r î

> n., pour i = 1,2,...,k-1,

et où on a posé O
, avec n! > n. ;
l = r l ° r l ° . . . ° r
n.nî
n! n.'-1
n.
i
i
i i

i

i

i

en effet, en utilisant les relations de commutation, on peut remplacer m par un
mot équivalent mjj = mA ° (a) où a est la lettre d'indice le plus petit figurant
dans m qui puisse venir en dernière position ; appliquant ce même principe à m.,
on peut remplacer m^ par un mot équivalent m' = m 2 ° (6), et m est équivalent à
m^ r (a) = m 2 ° (6)°(a) ; trois cas se présentent alors, où l'on convient que
l'inégalité "3^a" concerne les indices correspondants des lettres a et 3 :

(i) 6<a ; dans ce cas 3 = ot-1, sinon 3 aurait pu être placé à droite de a *
grâce aux relations (E), ce qui contredit la définition de a ;
(ii)

B =a

; dans ce cas m est équivalent à nu o (a) et rru a une longueur

strictement plus petite que m,. ;
(iii) 3>ot ; dans ce cas, on a trouvé le mot ci-dessus désigné par a

(
n

n'est autre que o

l 'nl

qui

= (a), et la lettre la plus à droite de a
, est é .
n
1' n 1
2' n 2
Itérant ce procédé, on obtiendra a
t quand, après apparitions des (i) et (ii),
1R1
le cas (iii) se présentera pour la première fois ; à ce moment, on obtiendra
n

102

O

, en appliquant de nouveau le procédé au mot formé par les lettres restantes
2' n 2
à gauche de a
, ; ceci achève de prouver qu'il existe bien dans m mod. p une
n R
1 1
forme normale ; l'unicité est à peu près évidente ; ainsi la relation "m^ m'
modulo p" est équivalente à "v(m) = v(m')" ; identifiant Q = N /p avec l'ensemn

ble des formes normales, la composition * dans Q est définie par :
v(m')*v(m) = v (v (m' )v(m) ) = v(m'm),
ce qui montre que v définit aussi 1'homomorphisme canonique de M

sur Π.

Notons qu'avec n lettres distinctes on peut former exactement 2

formes

normales de longueur n ne contenant qu'une fois chaque lettre : cet ensemble est
en bijection naturelle avec l'ensemble des applications croissantes f de Tn] dans
[n] satisfaisant f(1) = 1, et pour tout i e {1,2,...,n}, 0 < f(i+1)-f(i)< 1 ;
si v = a

. 0...0 a
. est l'une des formes normales précédentes, on prouve par
K K
11
N
récurrence sur N, quevoVo...o\> = V a la forme suivante, dans Çl , pour N-K-1 :
N fois

v N = [ n ^ l - C n ^ ] ... r ï ï p . E n / ' ^ V n ^ J . C n ^ ] ...[n'] ,
où on a posé [ p} = aA
i,p

et [p] = a

A

, et où n = n/ est le nombre de lettres

p + i,n

K

distinctes ; la composition des mots du membre de droite peut être lue indifféremment dans Çl ou dans N ; par exemple, pour n = 5, v = r^r-r^r^r,,, N > 3, on
n
n
5 4 3 2 1

v N = (r 5 )(r3r 4 r 5 )(r 2 r 3 r 4 r 5 )(r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 ) N " 3 (r 1 r 2 r3r 4 )(r 1 r 2 )(r 1 ).
Dans [8], nous avons donné une description graphique des éléments de Œ

et de

leur composition, dans un réseau plan ; cette description suggère que certains
quotients de M , plus généraux que fi , pourraient servir de modèles pour les
configurations stables des molécules (la composition dans le monoïde s'interprétant comme une réaction chimique ou une liaison électrostatique, suivie d'un
retour à une configuration stable) ; à cet égard, le modèle fi est bien simpliste, quoique suggestif ; les quotients de M

auxquels nous faisons allusion sont

ceux pour lesquels il existe un algorithme conduisant à une forme normale du type
décrit ci-dessus.

- 103 -

Opération naturelle des fi sur les chemins composables d'une précatégorie munie
d'une décomposition.
Soit G une précatégorie, d une décomposition de G et (B,A) le couple de facteurs correspondant ; dans (E^., Hom (G,m) s'identifie à l'ensemble des chemins
composables (x ,...BxA)
n
i

l"n

de G ; soit L le sous-ensemble de Hom (G,m) formé des
n

chemins x tels que 'x(m) c A n B ; si m ->p est surjectif, Hom (G,s) :
Hom (GJP)

•Hom (G,tn) envoie L

dans L

; un chemin £ de la forme y©s pour un

certain couple (y,s), où s est surjectif et y e Hom (G,p), sera dit p-réductible ;
l'ensemble des chemins p-réductibles de L est noté L
; les L
forment une
n
n,p
n,p
filtration de L .
n
Soit r. e M

un générateur du monoïde libre M _. et soit x = (x .....xj e L ;

r. opère sur x de la façon suivante :

r

i* = tV"^3' où y j = x j si j * ij i+1
et C y i + 1 , y i ) - d(x i + 1 .x.) ,

il est -clair que r.x e L , et de cette façon N

opère dans L

; d'autre part,

quel que soit x e L , on trouve :

r.x = r.x , Vi = 1,2,...,n-1
et

r

(à cause de DP«)

i r i* = r i r i* ' VC1,j D satisfaisant

de sorte que

fi

opère dans L

|i-j| > 2,

et cette opération respecte la fibration de L

par les L
. Nous pouvons alors rposer la :
n,p
^
DEFINITION - Avec les notations précédentes, la décomposition d de G est dite
co-stable si elle satisfait la propriété (P ) suivante, pour* tout entier n > 1 :

Vx € L , \/y € fi , y contenant une fois et une seule chaque lettre
r±,

il existe un entier N (dépendant a priori de y et de x) tel que

y x soit 2-réductible.

La propriété PA est trivialement satisfaite, en convenant que fi s éx et P„ résulte
1
o
2
de
la
définition
d'une
décomposition
;
la
propriété
P
n'est
consistante
qu'à
de la définitii
partir de n=3.

104 -

PROPOSITION - Pour qu'une décomposition de G soit o)-stable il faut et il suffit
que pour tout n et pour tout chemin x e L , il existe un entier N tel que
n

M

[n-1] x soit (n-D-réductible, où [n-1] = i\.r2-..r _..
f Remarquons d'abord qu'on peut remplacer, dans cet énoncé, le mot particulier
[n-1] par n'importe quel autre de longueur n-1, où figure chacune des lettres r.,
et supposer d'ailleurs que ce mot est écrit sous forme normale. Les conditions
de l'énoncé sont évidemment nécessaires ; montrons qu'elles sont suffisantes ; si
^ £ ^n_/| e s t u n e "Forme normale où figure une fois et une seule chaque r., on a
vu qu'il existe un entier K et deux éléments y

et y

e fi _ , tels que :

N
N-k
u = y,.[n-1]" \ y , VN > k ;
1
o
>\
l\l '
soit x e Ln ; s'il existe N' assez grand tel que [n-1] y x soit 2-réductible,
N '+k^
N'
^
on en déduit que y
x = y^n-1] U Q X est aussi 2-réductible, car l'opération de
^n_1 respecte la filtration de Ln par les L

; reste donc à prouver que si

pour chaque n, il existe N R tel que [n-1]^xsoit (n-D-réductible, alors il existe
N tel que [n-1] £ soit 2-réductible. Soit donc N tel que [n-1] Nn x =
n
^
'bn'bn-1'''',b2'a1^ S 0 i t ^ n " ~ 1 ) ~ r é d u c t i b l e ; il est clair que, comme le suggère
la notation, b2,b3,...,bn e B et a^ e A ; quitte à augmenter N

(d'au plus n-2)

on peut supposer que b ^ = e e G ; dans ce cas, on trouve :
b
e a ]
[n-1] n + * = (bn'bn-2'bn-3
'
2' ' i
soit i

L
n-1 — ^ L n , n - 1 application qui à C x ^ . x ^
xk
x^
k
x
e x
x 5
o ù e = aCx J tc est
fait correspondre ( x ^ >*n_2" ' " k' ' k-1 ' " ' " 1 '
k
'
l'opérateur "face") et soit a l'application partielle de L
dans
L
qui
à
un cheA
A
*
'
n,n-i
n-1
min (yr|,yn_/|,. .. *yK,- • - ^ ) satisfaisant yk e G fait correspondre
^n^n-l'••" y k+1' y k-1 - "" y 1 I ; a k i k ( x ) e s t t o u J o u r s défini et égal à x et, si
1 (J y
est défini
k k
» i 1 e s t é ê a l encore à y ; on peut écrire :

N+1
N
[n-1] n x = i 2 an_1([n-l] n£) 5
on vérifie facilement qu'en appliquant de nouveau [n-1], on trouve :
N +2
N
[n-1] n x = i„[n-2]a ,[n-1] "x,
o
n-1

- 105

car °*2*2 ~ ^

; de proche en proche, on trouve, pour k £ n-1 :

N+k-1
[n-1] n
î

= i.[n-2] k ' 2 a
IN

N
.[n-1] n x ;
n~ n

eme
lorsque k = n-1, l'élément e reviendra à la (n-1)
place, et en appliquant
O „, il viendra :
n-1
N +n-2

VlCn"1]

x

N
=

Cn~2]n"3an^[n-1] nx ;

on établit alors, par récurrence sur p, l'égalité :
nfn-il

[n-2]

p(n 3î

N

n

N+p(n-2)

O n _ 1 [n-1] n x = O ^ C n - 1 ] n

$;

l'hypothèse relative aux chemins de longueur n-1 permet d'affirmer qu'en choisis) le chemin[n-2] p[n ~ 3) a
[n-1] n x
n 1
N +p(n-2)
~
sera (n-2)-réductible, et donc le chemin [n-1]n
x sera lui-même (n-2)-réducsant p assez grand (de sorte que p(n-3) ^ N

tible ; en poursuivant, on trouvera bien un entier N assez grand tel que [n-l]Nx
soit 2-réductible ; cet entier N ne dépend évidemment que de n et de x. A
Dans les énoncés de la définition et de la proposition on peut remplacer
L n par Hom (G,in), car lorsqu'on a appliqué une seule fois un élément y £ fi contenant une seule fois chaque lettre à un chemin quelconque x, on obtient un
chemin x' e L .
n
Il existe des notions "voisines" de l'do-stabilité, mais qui ne lui sont pas
équivalentes ; par exemple celle-ci : "pour tout x" e L , il existe un élément
M €

%-*. t e l Que yx soit 2-réductible" ; 1'o)-stabilité est une notion plus forte.

Nous démontrerons au chapitre 5 que les décompositions additives des entiers sont
^-stables.

4,3, DÉCOMPOSITIONS DES PRÉCATÉGORIES B.O, (CAS D*INSTABILITÉ).
Soit G une précatégorie j disons qu'une partie X de G est un facteur direct
dans G s'il existe une décomposition de G, dont X soit un des facteurs, l'autre
s'appelant alors un supplémentaire de X. Pour les précatégories b.o. nous avons
la :

- 106

PROPOSITION 1 - Un facteur direct d'une précatégorie b.o. admet un supplémentaire au plus, de chaque côté ; il peut en avoir un de chaque côté.
Soit G une précatégorie b.o. et soient (Y,X) et (Z,X) des décompositions ;
supposons Y-Z / 4> ; soit y

le plus petit élément de Y-Z ; il existe un unique

(z,x) e Z*X et un unique (y,x') e Y*X tels que y
y

= z.x et z = y.x' ; alors

= y.x'.x et y < y , car G est b.o. ; on a alors les implications contradictoi-

res suivantes :

y ^ yJ
J

o = ^ Jy e : Z = ^ x ' £ G o et z = yy 4

x e Go et z = yoy

=yy

y = y = ^ x ' x e G ==4 x = x' e G =^ y = z € Z ;
J
J
o
o
o ^ o
donc Y-Z = (j) et de même Z-Y = <J>, donc Y=Z.
Voici un exemple de facteur direct Y admettant deux supplémentaires (un à
gauche et un à droite) distincts. Soit G la précatégorie ayant trois irréductibles propres x,y,z, les seuls composés non triviaux étant y.x et z.y (cf. la figure) ;

K
prenons
Y = G Q u {y}

(G)

X = G Q u {x,z,z.y}
y.x

Z = G Q u {z,x,y.x} ;
alors (Y,X) et (Z,Y) sont des décompositions
directes de G, qui est b.o., et Z/X. A

Soit toujours G une précatégorie et (B,A) une décomposition de G.
DEFINITION 1 - On appelle noyaux d'instabilité de (B,A) les sous-ensembles NA et
N

de G définis par :

107 -

N. = (x £ A | 3 X ' e A , 3<x.x' £ B>}
N D = (x £ B|3x' € B , 3<x'.x € A>}.
D

DEFINITION 2 - On dit qu'une décomposition (B,A) est instable lorsque ses noyaux
d'instabilité satisfont N A = A et Ng = B.

Remarques.
1) Le sens des composés intervenant dans la définition de N. et N_ n'est
pas arbitraire, comme on le verra plus loin ; on aurait pu définir des noyaux
à gauche, à droite et des deux côtés à la fois, mais nousn'aurons besoin ici
que de ceux définis plus haut ; de plus, ces distinctions sont sans objet dans
le cas commutatif (cf. le cas des entiers).

2) On a toujours G

c |\| c A et G c N c B, et les noyaux mesurent en
o
A
o
B
partie les défauts de stabilité des facteurs A et B ; même si NA = N n = G ,
A
B
o
cela n'entraîne pas pour autant la stabilité de A et de B dans G.
3) Les propriétés d'u)-stabilité et d'instabilité n'ont pas de rapport direct
: on a vu qu'une décomposition stable était toujours u)-stable et on verra plus
loin que certaines décompositions additives des entiers sont instables, bien que
toujours Gû-stables.

La recherche des décompositions multiplicatives des entiers est équivalente

à celle des décompositions additives des TN , pour K * 1 ; c'est ce qui nous

a conduit au problème suivant : quand peut-on affirmer qu'une décomposition d'un
produit de précatégories G. est un produit de décompositions des G. ? Nous avons
une réponse partielle à cette question (cf. la proposition 2 qui suit) dans le
cas des précatégories b.o., ce qui oblige à se restreindre à des produits finis,
en vertu de la proposition 3 de 3.4 ; comme application, nous verrons qu'on obtient
ainsi des conditions nécessaires pour qu'une décomposition de ]N , avec K > 2,
k'
soit indécomposable en produit de décompositions des UNI
avec K' < k.

Soit donc G = G

x G _

x...x G. un produit de n précatégories b.o. et (B,A)

une décomposition de G ; nous posons :

108 -

Ê . = (x e G | X . e G,
i

j

B i = p i (B n GA,

j»o

A i = p ^ A n G±)

n
B'

pour j ^ i)

n

= n
i=1

B. , A*

= n A.

1

i=1

1

B± = p~ (B.) n G± et "A\ = p~ 1 (A±) n G ± ;
pour x e G., on voit que bix)

et alx)

e G., car les précatégories G. sont sans

inverses ; donc la décomposition (B,A) de G induit des décompositions
(B n G.,A n G.) des sous-précatégories G. de G ; si, lorsque x parcourt G.,
^ ( x ) = p^^ © a[x)

et ]D (X) = p. O b_(x) ne dépendent que de x, = p.(x), alors

(Bi,A.) est une décomposition de G. et B. = B n G., "A. = A n G.; avec ces notations et sous cette hypothèse, nous pouvons énoncer la

PROPOSITION 2 - Si les décompositions ( B ^ A ^ sont instables, sauf peut-être une,
alors (B',A') = (B,A) ; ceci signifie que (B,A) est le produit des décompositions
facteurs (B.,A.).

• On peut se restreindre au cas d'un produit G = G 2 x G. de deux précatégories
b.o., car un produit de décompositions instables est encore instable et le résultat s'établit alors par récurrence sur le nombre des G..

Commençons par une remarque utile concernant le choix du bon ordre sur G ;
pour une précatégorie b.o. H quelconque on peut toujours supposer que le bon ordre
a été choisi de sorte que toute unité soit plus petite que les éléments non unités ;
en effet, si < est un bon ordre faisant de H une précatégorie b.o., on définit la
relation <' suivante dans H :

ou bien x < y, avec y i G

ou y,x e G ,

x <' y si et seulement si
ou bien x > y, avec y i G et x e G ,
o
o
ces deux cas s'excluant mutuellement ; on montre facilement que <' est encore un
bon ordre faisant de H une précatégorie b.o. ; choisissant pour G,, et Gy de tels
bons ordres et pour G l'ordre lexicographique (c'est celui de la proposition 3

-109

-

de 3.4), on est assuré que dans G les inégalités strictes suivantes sont satisfaites :

Ve

i*

G

i,o ' V x i € V G i , o ' i=1'2

Cx

2' e l ] < ( e 2'V < I x 2' x 1 J '

Pour toute partie E de G, notons E x = {y e E| y < x} ; il est clair que pour toute
unité e e G , les égalités suivantes sont satisfaites : A

=A'=B
=B'=G ;
e
e
e
e
e
supposons prouvées les égalités A = A' et B = B', pour un x t G et soit y le
X
X
X
x
o
0

successeur immédiat de x dans G ; si x i A u B, on a x = b.a avec (b,a) € B x A,
et b et a < x strictement ; d'après l'hypothèse de récurrence, on en déduit que
(b,a) € B' x A' et donc x i A' u B' et les égalités A

= A', B = B' sont encore

vraies puisque A y = A^ = A x et B y = B' = B x ; supposons maintenant que x e A u B ;
il existe un unique couple (b',a') e B' * A' tel que x = b'.a' ; si les inégalités
b' < x et a' < x étaient strictes on en déduirait que (b',a'J e B * A, mais ceci
contredit le fait que x e A u B (unicité de décomposition) ; alors x = a' ou b',
c'est-à-dire que x e A' u B' ; supposons x € A ; si x e A' aussi, on trouve
A

y = A y = A x u i*}

et B

y = By = \

; mont

r o n s qu'on ne peut pas avoir x e A n B' ;

pour cela, utilisons le fait qu'une des décompositions facteurs (B.,A.) est instable ; supposons que ce soit ( B r A J ; d'abord x. t GA
si non x = (x^,x ) e B =
^s^
' '
1 1 , 0
2 1 2
B n G 2 e t x e A n B serait une unité, contrairement à l'hypothèse ; il existe
X
î ^ G 1,o ) t e l q u e x î € B 1 ' X Î" X 1 e s t d é f i n i et élément de /\A ; considérons les
quatre éléments suivants de G :
x = [xrxA)
; x' = (6(x2),xjj) ; y = (a(x2),xj|.x1) ; y' = (x2,e(xjj))
on voit que x'.x = y'.y = (x^xjj.x^ ; compte tenu du choix du bon ordre de G, on
a : x € A, x' e B, y £ A, y' e B et ceci contredit l'unicité de décomposition selon
(B,A) ; on montre de même que si x c B, alors x e B' aussi, et ceci achève de prouver que dans tous les cas A y = A^ et B y = B' ; on a ainsi établi par récurrence
transfinie dans G, que A = A' et B = B'. A
Remarques.
1) L'hypothèse d'instabilité des décompositions facteurs (sauf peut-être une)
est essentielle comme le prouvent de nombreux contre exemples ; voici "le plus sim2
pie" dans ÏSI : posons A Q = {0,1} et B Q = 2HM (division euclidienne par 2) ; il

- 110 -

existe une infinité (non dénombrable) de décompositions (B,A) de TN telles que
2 2
( B ^ A ^ = (B 2 ,A 2 ) = ( B Q , A ) , et donc (B ,A ) n'est pas la seule possible !
2) On montrera que les décompositions instables (B,A) de TN sont exactement
celles pour lesquelles | B | = |A| = °°.

3) Le résultat pour un produit G

x G 2 subsiste, si, au lieu de l'instabilité

d'une des décompositions facteurs, on suppose que N
B

1

= B. et N
= A 9 , ou encore
-I
A2
2

que N
= A et N_ = B...
A1
1
B2
2

4I^I REMARQUES (dans le cas d'un nombre de facteurs non fixé à l'avance).
Soit G un graphe multiplicatif ; dans l'ensemble P (G) des sous-graphes multiplicatifs de G, on définit la loi de composition 0 suivante :
BOA

est défini si et seulement si A = B et si l'application de
o o
composition définit une bijection de B * A sur B.A ;

dans la catégorie G

des graphes multiplicatifs, P (G) est une somme de graphes

multiplicatifs n'ayant qu'une unité. Si G est une précatégorie, P (G) est encore
une précatégorie : c'est l'objet naturel à considérer lorsqu'on étudie les décompositions de G en un nombre de facteurs non prescrit à l'avance. Pour des types
particuliers de facteurs (précatégories, catégories, etc..) il convient de considérer des sous-précatégories de P (G) : par exemple si G est un groupe abélien
(ou un module) on s'intéresse à la sous-précatégorie S de P (G)dont les éléments
o
sont les sous-groupes (ou les sous-modules) de G. Si G est une précatégorie b.o.,
alors la loi 0 est simplifiable (cf. la proposition 1 de 4.3). L'application
G

^

*P Q ( G ) n e s'étend pas en un foncteur dans E

. Remarquons enfin que se don-

ner une décomposition partielle directe revient exactement à se donner un couple
composable (B',A') pour la loi © d e P Q (G). Dans l'étude du cas des entiers, nous
apportons un certain nombre de précisions concernant P QM).
o
Composés infinis.
Cette notion n'étant définie qu'à inversible près, elle n'aura d'intérêt
réel que dans le cas des précatégories sans inverses (par ex. : les précatégories
b.o.) ; nous la présentons cependant pour une précatégorie a priori quelconque.

- 111

Soit G une précatégorie et D (G) sa catégorie des fractions à gauche ; soit
(X ) _. une famille d'éléments de G telle que X .X ....X^ soit défini dans G
n n el\l
^
n n-1
A o
A

quel que soit n ; à (X )

A

„, correspond un foncteur X : U

A

* D (G), où Isl dési-

gne toujours la catégorie associée à l'ordre usuel de TN : X(n) est l'objet
X ...X

et $(n+1,n) = (X(n+1),X

tive naturalisée (X,(y )

,X(n)) ; supposons que X ait une limite induc-

_.) où y

= (X,Y ,X(n)) ; alors X peut être appelé

nneJM
n
n
"produit i n f i n i " des X dans G ; i l n'est d é f i n i qu'à i n v e r s i b l e près ; on posera
00

X = II X ; pour 1'associativité mettant en jeu un composé infini, on doit alors
0 n
distinguer trois genres de composés : soit X n ,X 1 ,...,X n ,... une suite infinie
d'éléments de G ; peuvent être définis :
1) le produit infini II Y

où

Y

P

= X
P

et

Y

pour

n

= X ...X
n
o

p > n

2) le produit fini ( II X ).X ...X..X
A
n+1

P

1

1

O

K

00

3) 1 B produit infini

II X ;
0 n

1'associativité s'exprimera en disant : si l'un des composés du type 1) ou 3) est
défini, les deux le sont et sont égaux ; si le composé du type 2) est défini, les
deux autres le sont et sont égaux. A partir de là, on peut donner un sens à 1'associativité, dans le cas général, mettant en jeu des composés infinis ; intuitivement,
cela correspond à pouvoir déplacer vers la droite toute parenthèse située à droite
d'un composé infini.

On peut assouplir la définition de composé infini en la relativisant ; il
est parfois nécessaire de le faire ; par exemple, si G est l'ensemble des sousgroupes d'un groupe ébélien M, les sommes directes quelconques de sous-groupes de
n ne sont pas des limites inductives dans D (G) ; si l'on veut les regarder encog
re comme des composés dans G, il convient d'introduire le foncteur d'oubli de
D (G) vers û\b (catégorie des groupes abéliens), qui "oublie le facteur supplémeno

taire". D'une façon générale, si 4> : D (G)

* ï? est un foncteur tel que M* I r

soit une bijection et que <f reflète les inversibles, on pourra définir le produit
00

infini
de

4>.X.

nII xXn
o^

relatif à <P comme étant égal à 47

(L), où L est une limite inductive

113 -

C H A P I T R E

5

DÉCOMPOSITIONS DES ENTIERS

1 . L'ensemble ordonné P ON)
o

114

2. Décompositions directes de 3N

f

3. Décompositions multiplicatives de J\l*

4 . Décompositions a d d i t i v e s non t r i v i a l e s

12O

125
2
de TN

5. c o - s t a b i l i t é des décompositions a d d i t i v e s

128
136

- 114

5,1,

L/ENSETOLE ORDONNÉ P 0
Ici,

nous excluons de P ON) l'élément <|> qui est sans intérêt ; donc

P Q CW) - {X clNl|0 e X} i la loi de composition dans P CM), définie en 4^4 est
notée additivement :

X © Y est défini si et seulement si l'addition définit une bijection
de X x Y sur X + Y i

muni de cette loi, P CM) est une précatégorie commutative, simplifiable, à une
seule unité, soit {0} ; la catégorie D (P CBM)) est un ordre j si X est facteur
g o
direct dans B, il n'a qu'un supplémentaire possible, soit A, et on écrira indifféremment :
- B = A © X, donnant ainsi la préférence à ©
X
- A — > B, donnant ainsi la préférence à l'ordre ;
P Q CN) a un plus petit élément : {0} ; par contre, P CM) n'a pas de plus grand
élément j Xsl est maximal, mais il existe une infinité (non dénombrable) d'éléments
maximaux distincts.

Irréductibles.
Il s'agit des irréductibles propres pour la loi • ; ce sont aussi les atomes
pour la relation d'ordre. Il est clair que tout A de cardinal premier est irréductible j mais cette condition n'est pas nécessaire ; pour chaque entier n, il
existe une infinité d'atomes A de cardinal n j voici deux types d'exemples :

N R » {0,N,N+1,N+2,...,N*n-2} ,

VN > n

A = { O ^ ^ a ^ a g , . . -#a n-1 > , avec ai*+ a . . < a. 2 , Vi > 1.

Désignons par S l'ensemble {0,1,2,...,n-1> i S„ est irréductible si et seulement
n
n
si n est pfremier i en effet si n n'est pas premier on peut décrire explicitement
toutes ses décompositions : soit n • p,|1...p ^ la décomposition de n en facteurs
• a+...+ a
et soit a - (q.,q n ....,q ) un
c.
K
12m
arrangement des facteurs premiers p^^comptés avec leur multiplicité, i.e. q, est

premiers distincts j posons m - a

\

- 115

un des p. et p. intervient exactement a. fois dans a ; posons encore
d. = n/q
n/q/1.q
q?2. .
...q.
.q,; ;ononfait
fa: correspondre à a la décomposition suivante de S n en
facteurs irréductibles :

S
n

= d. S
1
p
yC1)

© d0 S
2
p
yC2)

e ... © d. S
J
p
yCj)

© ... © d
m

S
yCrrO

p

où M(j) est l'unique entier compris entre 1 et k tel que q. = Pur*^ '» °n démontre
que ce sont les seules décompositions possibles de S

en facteurs irréductibles ;

il y en a donc autant que d'arrangements a des facteurs premiers de n; par exemple,
pour n = 12, il y a les trois arrangements (2,2,3), (2,3,2) et (3,2,2) auxquels
correspondent respectivement les trois décompositions de S.- suivantes :

S

12 = 6 S 2 * 3 S 2 * S 3 = 6 S 2 * 2 S 3 e S 2 = 4 S 3 e 2 S 2 e S 2 '

Pour tout A fini il existe des décompositions en facteurs irréductibles ; il n'y
a pas unicité comme le montre l'exemple précédent ; on peut être tenté de croire
cependant que, modulo une division, il y a unicité (pour S.«, on trouve toujours
deux fois S

et une fois S„ !) ; mais ceci est faux comme le montre l'exemple sui-

vant, dans lequel les deux décompositions en facteurs irréductibles de A sont
"incomparables" :

A = {0,1,2,3,4,6,7,8,9,10} = S ^

- {5} ;

A = {0,1,2,3,4} © {0,6} = {0,1,4,7,8} © {0,2} ;

Pour A infini, il convient d'introduire les composés infinis dont on a parlé en
4.4 ; nous y reviendrons plus loin ; donnons seulement ici des exemples d'irréductibles infinis ; mieux encore, voici une infinité (non dénombrable) d'irréductibles qui ne sont diviseurs propres d'aucun autre élément (i.e. : atomes isolés,
du point de vue de l'ordre) : soit (p ,p.,...) une suite infinie d'entiers telle
que :

alors

PQ = 1

et

p k + 1 > p k + k , Vk * 0 ;

A = {p

+ j|0 < j £ k} est un atome isolé.

116 -

Caractérisation des éléments maximaux.
Soit A 6 p ON) i définissons A. comme étant l'ensemble des différences
o
d
a ' - a i O d'éléments de A ; alors A est maximal si et seulement si A. = TN .

Composés infinis-Limites.
Comme P CM) est ordonné, on parle en termes de sup. ou de inf. j remarquons
d'abord que même si A © B est défini (c'est un majorant commun de A et de B) il
n'en résulte pas que sup (A,B) existe j prenons, par exemple, A = {0,2,4} et
B = {0,3} ; alors A © B = {0,2,3,4,5,7} ; supposons que S = sup (A,B) existe ;
alors S doit être facteur direct dans A © B, donc |S| divise 6 ; mais |S| = 6
car A et B sont facteurs directs dans S j donc S = A © B ; or ceci n'est pas possible car S n'est pas facteur direct de S e , qui est un majorant de A et B l
b

Inversement le sup. peut exister sans que la somme soit définie ; l'exemple le
plus simple étant : sup (A,A) » A tandis que A © A n'est pas défini si A ^ {0} !
Cependant, il y a un lien entre A © B et sup. (A,B), qu'on a remarqué dans l'exemi
pie ci-dessus :
PROPOSITION 1 - Si A © B et sup (A,B) existent, ils sont égaux.

• En effet S = sup (A,B) doit être facteur direct dans A © B ; soit X tel que
S © X = A © B ; soient aussi A' et B' tels que A © A' = B © B' = S ; X © A' est
défini et égal à B, car • est simplifiable ; de même X © B' est défini et égal
à A ; alors X est contenu dans A n B - {û}, donc S • A © B.A

Remarques.
On pourrait croire que si A et B ont un majorant commun et si A n B = {0},
alors A a B est défini j il n'en est rien comme le prouve le contre-exemple suivant, qui est sans doute le "plus simple" :

A = {0,3}

et

B = {0,1,4,5}

117 -

A et B sont tous deux facteurs directs dans S 4 et pourtant A © B n'est pas
défini, sinon 4 aurait deux décompositions. Remarquons ici que sup (A,B)
n'existe pas non plus ; en effet, A et B sont aussi facteurs directs dans
S 1 7 - {8} :

{0,3} © {0,1,2,6,7,11,12,13} = {0,1,4,5} ©{0,2,9,11}

si S = sup (A,B) existait, |s| serait un diviseur de |S 1 ? - {8}| = 16 ; mais
il est facile de voir que S doit nécessairement contenir {0,1,2,3,4,5,6,7,9,10}
par exemple ; la seule possibilité serait S = S 1 7 - {&} ; ceci est absurde, car
S doit être facteur direct dans S ? 4 et 16 n'est pas diviseur de 24.

On pourrait croire alors que A © B n'existe pas justement parce que sup (A,B)
n'existe pas ; il n'en est rien comme le prouve le contre-exemple suivant, qui
est sans doute le "plus simple" :

A1 = {0,3,6}

et

B1 = {0,1,4,5,8,9} ;

on a bien : A^ n B1 = {o} ; A1 © B

n'est pas défini, sinon 4 aurait deux dé com-

positions distinctes (7,8 et 11 aussi) ; par contre sup (A.,BJ = S o e (on montre,
\ 1
3b
par forcing, que le sup. doit contenir S 3 g et comme A. et B. sont facteurs directs
dans

S

36 J

le

sup

" ne peut

être que S

36 j t o u J ° u r s P a r forcing, on établit que

tout majorant commun de A1 et BA est de la forme S 3 6 © X où X = {x ,x1,x2,...}
est fini ou non et satisfait x
O

= 0 et x, A > x, + 36, Vk > 0 ) .
K+ i

K

118

Terminons ces remarques en notant qu'il existe bien des couples (A,B) tel
que A © B soit défini et égal à sup. (A,B).
PROPOSITION 2 - Les composés infinis existent dans P CM) et la loi © est encore
associative lorsqu'on introduit des composés infinis.
f Soit (An )n clSI
_, une suite d'éléments de Po ON) telle ^
que Bn = Ao © A„1 ©...© An
existe pour tout n ; pour tout I c U , posons £ A. = {x = £ x. , avec i. e I
K
ici
1
k
et x. e A. } ; si I est fini, on voit facilement que © A est défini et égal
x
k
k
Ici 1
à ][ A. ; dans tous les cas, l'écriture d'un élément de £ A sous forme
i€I *
i€l 1
£ x., avec x. e A., est unique d'après l'existence des B (prendre n assez
oo

iel

»

oo

grand) ; il est clair que U B = £ A et que B est facteur direct dans (J B avec
n
0 0 n
œ
o n
pour supplémentaire
£ A 9 j reste à prouver que ][ A = sup (B ) ; supposons
n'>n
0 n
n €U n
donc que chaque Bn soit facteur direct dans un certain C, soit C = B © C ;
™
n
n
00
alors U B est encore facteur direct dans C et son supplémentaire est l'ensemble
0
00

00

00

n C j en effet, il est clair que (U B ) + (D C ) c c j d'autre part, si x € C,
0
0
0 n
il existe pour tout n un couple (b ,c ) e B x C unique tel que x = b + c ;
n n
n
n
^
^
n n
comme le nombre de décompositions additives de x est fini et que les C forment
une suite décroissante, on voit qu'il existe un entier n pour lequel
00

cn

x

00

00

c f l Cn et ceci prouve que C est bien la somme de U Bn et de 0 nC
0

o

; cette som-

o

me est directe parce que les sommes B„ • C^ le sont. L'associativité est immédian
n
te j ajoutons qu'ici la parenthèse située à droite d'un composé infini peut se
déplacer à gauche comme à droite, à
Comme application de cette proposition, énonçons la :
PROPOSITION 3 - Tout élément A e P Q QN) est facteur direct dans un élément A
maximal, au moins.

119 -

• En effet, soit d. le plus petit élément de U - A (si A = IM, A est lui-mêmaximal) ; alors A = A © {Q,dA} est défini ; supposons A défini et définisme
sons A A = A © {0,d J où d A est le plus petit élément de IM - A
, (supposé
K
H
n+1
n
n+1
n+1
n,d
exister) ; si pour un certain n on trouve A
. = IM, alors A est maximal et A
n,d
n
est facteur direct dans A

; si au contraire le processus ne s'arrête pas, on

passe à la limite ; d'après la proposition 2, A est facteur direct dans
OO

00

A = U A
= A © y {0,d } = A © (© {0,d }) ; on remarque alors que la suite des d
n
^
n
.
n
n
n
1
1
_
est strictement croissante ; supposons que A soit facteur direct dans B, soit
B = A © X avec X / {o} ; soit x e X, x ¥ 0 ; il existe un entier n tel que
d < x < d A ; Kpar définition d e d A, x é TN - /\
,, donc x e A _,, c'est-à-dire
n
n+1
n+1
n,d
n,d
que x = a' - a , avec a et a' € A ; on trouve alors x + a = a' ; or ceci est
n
n
n
n
n
n n
impossible, car a' aurait deux décompositions distinctes relativement à
B = (ZA ) © X ; donc X = {o} et A est bien maximal. A
n
Remarques.
Même si A est infini, il se peut que l'élément A construit par le processus
ci-dessus ne soit effectivement obtenu qu'au bout d'une infinité d'opérations
© {û\dn} ; par exemple A = {0,1,2,6,...,n!,...} et, dans ce cas A n'est pas égal
à

DM (7 t A) et d'ailleurs A ne peut être facteur direct dans

IM ; nous n'avons

pas de critère permettant de caractériser tous les éléments maximaux supérieurs
à un élément A donné ; remarquons simplement que deux éléments A
être maximaux, avec A

et A

c A , et contenir un facteur direct commun A

voici un exemple : 1\A = {0,p,p+1,p+2,...} avec p > 1 et T

peuvent

infini ;

= IM ; l'élément

A = p TN est facteur direct dans A. et A 2 qui sont tous deux maximaux ; on peut
même construire des exemples avec 'K-'K

infini ! Notons enfin que tout A e P UN)

dont le complémentaire dans IM est fini est maximal. Le problème des décompositions de TN est exactement celui qui consiste à trouver tous les A tels que
A = TN ; c'est la recherche des prédécesseurs de IM dans l'ensemble ordonné
P QM) ; la méthode utilisée est applicable, avec des modifications évidentes, à
toute partie A de W

, même infinie : elle consiste en un forcing mettant en jeu

l'addition, l'ordre et l'unicité de décomposition ; en cela elle diffère de la
méthode de N.G. de BRUIJN, qui utilise explicitement la division euclidienne ;
nous utilisons aussi la division euclidienne, mais en tant qu'outil simplificateur
et non en tant qu'argument essentiel.

- 120 -

5.2. LES DÉCOMPOSITIONS DIRECTES DE (N.
Soit (a1,a9,...,a ,...) une suite de nombres entiers £ 2, limitée ou non ;
posons b 1 - a r

b2 = a ^

bp+1 = a ^ . a ^ . ^

• a n + l' b n' e t c ' - ' ;

B = {b1,b2,...,b ,...} est appelée "base généralisée" (les bases ordinaires correspondent à a

= c t e ) ; tout nombre entier s'écrit de façon unique dans B sous

la forme suivante :

x - I * n b n . avec 0 * x n < a R + 1 ,
n
si la suite des a est limitée à a , on pose par convention a . = °° ; soit
n
s
s+1
(B.). „ une partition de B telle que b^ e B. =» b
i B % alors, il correspond
K

n

K€l\

K

n+1

IN

à c e t t e p a r t i t i o n de B l a décomposition d i r e c t e de IM suivante :
IM = • A. , où A. - {x = l x n b n U
...
K
K
" n n n
keK
n

= 0 s i b^ t B. } .
n K

PROPOSITION 1 . Toute décomposition d i r e c t e de IM est du type d é c r i t ci-dessus.

f Soit IM = © A une t e l l e décomposition ; i l e x i s t e k € K t e l que
k€K K
°
1 c A
; si IM = A. , i l suffit de prendre a. = • ; supposons donc 1^ - A
/ <|)
o
o
o
et soit b. = inf CW-A, ) j supposons
définie la suite des b Jjusqu'à
b , avec les
KK
H
1
k
n
m
o
propriétés suivantes :

i) Vp < m, b e U A, et b /b A = a est un entier > 2 (b =1),
P
\
k
p p-1
p
o
ii) V p < m, b p €

Ak ~ > b p + 1 i Ak,

iii) A K n [Q,bn[ - {x - l x h b j h < m, b h € A k . 0 , x h < a ^ } ;
n
nous posons M. = {p < mlb^ e A } ; soit j € K l'indice pour lequel b € A. ; tout
K
p
K
m
j
x < b s'écrit de façon unique £ x b., avec x. < a . - , de sorte que les compoh<m
santés Xr,-. de x selon la décomposition donnée sont les suivantes :

j.

x

h ^ •

pour tout k € K, nous posons c. a

\
(a
h€Mk

-1) b. j c. e A

d'après iii) et

121 "

puisque ][ c^ = b m ~ 1 ' l'unicité de décomposition selon les A, prouve que
c, = (b -1) r . n.
k
m
[k]
R I Prouvons d'abord que les successeurs immédiats de b dans A. sont tous les
m
J
nombres de la forme b + X, avec X e A. et X < c. ; supposons ceci établi
m
J
J
VX < y < c avec X et y e A. et montrons que b + y e A. ; pour x < y, on voit
j

j

j

Cb

m + X ) [ k ] = X [k] S i

(b

m + x ) [ j ] = b m + X [ j ] ' c a r b m + X [j] K b m + y e s t é l é m e n t d e A j '

in

que
k

'J

ceci prouve q u e le s u c c e s s e u r de c^ dans A

e s t n é c e s s a i r e m e n t plus grand ou égal

à b m + y, p o u r k / j ; s u p p o s o n s b m + y e A , avec k / j ; soit y = £
y b ,
_
heM.
J
avec 0 < y h < a h + 1 ; posons alors y = £
y h b , où y e s t t e l q u e
h€,V,
—
i
_
que y h + y h = a h +/] ; l'hypothèse (ii) e n t r a î n e alors q u e y + y = £
b
a une
_
h^n.
composante nulle dans A , de sorte que l'élément b

+ y + y apparaît J avec deux

décompositions possibles :
~ (bm+ ^ +
s

(b

ÏÏ)

[k]

= b

m + ^

(b

m + ^[j] " *

m + ^ ^ [ K ' ] = (y + ^ [ k ' ] P ° U r ^ ^ J ^

(bm + y + y ) r j J

il résulte de ceci que (bm + y ) [ K ] <; c K , Vk / j ; si on avait aussi (b
c , cela entraînerait, par addition : b m + y < b

b

m

+ y)

-

-1, ce qui est absurde ; donc

(b

m + y l [ j ] " b m' q u i e s t l e s u c c e s s e u r d e c dans A ; ainsi (b + M)
est de
la forme b m + X, avec X < y ; si X < y, l'hypothèse de r é c u r r e n c e p r o u v e q u e
X e A j , ainsi q u e b m + X, et alors y = £ ( b m + y ] [ k ] + X apparaît avec deux
k^j
d é c o m p o s i t i o n s p o s s i b l e s ; donc X = y et ( b m + y ) r .. = b + y e A . , ce qui achève
m
LjJ
m
j
^
de p r o u v e r le point [jj .
0 S o i t iï - {P e 3 N l q b m e A j ' V q * p^ ; n n'est p a s vide p u i s q u e 1 e ÎÎ, p a r hypothèse ; on p r o u v e comme dans Q ] q u e si p e ft, les s u c c e s s e u r s immédiats de pb dans
m
Aj sont les nombres p b m + X , avec X < c, et X e A (récurrence s u r p ) et q u e les
c o m p o s a n t e s d'un y = p b + x avec x < b sont données p a r :
m
m
^

- 122 -

y

et

y

Ck] = x [k] p o u r K " J

[j] = P b m + x[j]

•'

deux cas se présentent alors concernant fi :
1er cas

: fi ^ U ; alors on prend a

A

m+1
2ème cas : fi = XsJ ; alors on prend a
m+1

„.b
A = a
m+1
m+1 m
= °° et la démonstration de la récurrence

= sup (fi) + 1 e t b

est achevée (les vérifications des points i ) , ii) et iii) au cran m+1 sont triviales).

•

Remarque.
On peut fabriquer des décompositions

© A de IM pour lesquelles :
k€K K

- K est infini et chaque A

est fini,

- K est infini et chaque A

est infini,

- K est fini et un seul A, est infini e t c . .
k
Les cas où la suite (b ) est illimitée correspondent à K infini, ou bien
à K fini, avec deux facteurs au moins infinis.
Cas particulier des décompositions en deux facteurs.
Soit IM = A © B une décomposition de Xsl en deux facteurs ; on supposera que
1 £ A ; d'après ce qui précède, il existe une suite (b,. ,b ? ,... ,b ) telle que
b

2p € A ' b 2p + 1 e B e t
A

" { X • l X 2p b 2pl° * X 2p < a 2 P + 1 }

B = {X =

I X 2p + 1 b 2 P + l l ° * X 2 P + 1 < a 2 P + 2 } '

. = b A/b
; l'un au moins des deux facteurs
n+l
n+1 n
est infini ; les deux peuvent être infinis j si a n = °°, B est infini ; si
2p
a
r>„.A
= °°, A est infini ; et si la suite des a (ou des b ) est illimitée, A et
^P+i
n
n
B sont infinis. Nous pouvons énoncer la :
où on a posé, comme ci-dessus, a

123

PROPOSITION 2 - Soit (A,B) une décomposition de IM ; les noyaux d'instabilité
sont donnés par :

N A = {x e A|3y e B, y > x} et

N 0 = {x e B|3y e A, y > x} ;

en particulier (A,B) est une décomposition instable si et seulement si |A| = |B| =»

• Par définition de N A (cf. i 4.3), la condition x € N

entraîne l'existence

d'un y € B satisfaisant y > x ; réciproquement soit x e A, x / 0, et y e B, y > x ;
on peut écrire x sous la forme £ x, bn. et supposer x / 0 j si b n A = °°, on
K ZK
n
2n+1
n
voit que tout y e B s'écrit

y

n^1°
V
b

2, L -7u A '• mais alors :
0 K 2K+1

" "i (a 2K + 2- 1) b2k+1 * "j ( V r 1 ) bh " b2n " b o < b2n'

ce qui contredit l'existence d'un y e B satisfaisant y > x ; donc b
< oo . alors
n
2n + 1
on considère 7 = £ ( a ^ - x ^

b 2 k ; on voit que x * x = £ a ^

b^

= £ b2k+1 e B

et comme x" e A, on a bien x € N.. A
Il ne semble pas qu'on puisse établir directement le résultat suivant, dont
l'énoncé est pourtant simple, sans utiliser la proposition 1.

PROPOSITION 3 - Tout facteur direct de IN définit une sous-précatégorie de TN
(pour 1'addition).

f Soit A un facteur direct de IM et B son supplémentaire ; on peut supposer
que 1 € A, c'est-à-dire qu'en reprenant les notations du début de ce paragraphe,
on a :

A = {X=

£X2pb2pl°*X2p<a2p+1} '

on doit prouver que si x, x', x", x+x' et x+x'+x" e A, alors x'+x" e A encore.
A cet effet, remarquons que si x = l x. b_ et x' = Y xl b 0 , avec
p ^P ZP
p 2p 2p
0

" x 2p' X 2p < a 2p+1' e t s i x + x ' € A ' a l o r s o n a obligatoirement x +x' < a
,
Vp, ce qui signifie encore que (x+x')_ = x 0 + x' , Vp.
2p
2p
2p
En effet, si on avait x + x '
^ a 2 p + i ' o n déduirait des inégalités suivantes :

- 124

a

2P+1 * X2p+X2P < 2a2P+1

l'égalité :

(xn +x' ) b_ = b« A + r b^
avec r < a
2p 2p
2p
2p+1
p 2p V B U p d2p+1
qui montre clairement que x+x' i A puisque (x+x') 2 + A = 1 et que la décomposition
de x+x' est unique. Appliquant cette remarque au couple (x,x'), puis au couple
(x+x',x"), on en déduit que pour tout p on a :

2p

2p

2p

2p+1

ceci entraîne que x'+x" e A, car (x'+x") 0 = x' +x" < a
A
2p
2p 2p
2p+1
Remarque.
Cette proposition n'admet pas de réciproque ; il ne suffit pas que A soit
une sous-précatégorie de TN pour que A soit facteur direct dans IM. Notons aussi
que si A est facteur direct dans IM, et si x £ A et x' € A, il est équivalent de
dire "x+x' e A" ou bien "(x+x') = x +x', Vn".
n
n n
Voici maintenant une caractérisation des facteurs directs de IM ; pour
A e

P

QÛN),

définissons par récurrence sur n, à partir de A

= A, les ensembles et

les nombres suivants :

Vi = A + { 0 ' x i

x

n+i

} où

vi = inf ^-v-

et en convenant de poser inf (<f>) = 0.

PROPOSITION 4 - A est facteur direct dans IM si et seulement si, Vn > 1,
A © {0,x r x 2 ,...,x n } est défini et A R contient le segment [0,x ] ; dans ce cas,
le supplémentaire de A dans IM n'est autre que B = {o,x„,x0,...,x , . . . } .
1 2
n
f Supposons d'abord que A soit facteur direct dans IM et soit B son supplémentaire ; la proposition 1 montre que B est justement l'ensemble {0,x ,x ,...,x ,...}
de sorte que A © {0,x ,x ,...,x } est défini ; il contient [0,x ] (ceci s'établit
1
n
*•
n
par récurrence par exemple).

- 125

Montrons que les conditions de l'énoncé sont suffisantes : supposons qu'il
existe un plus petit entier n > 1 tel que x = 0 ; alors IN - A A et A est bien
n
n-1
facteur direct dans IM avec { Q ^ ,x 2 , . . . ,x

} pour supplémentaire (convenir que

X Q = 0 si n = 1) ; supposons x n / 0, Vn > 1 ; alors A + {0,xA ,x?,...,x ,...}
est une somme directe et vaut

IM ; en effet, si x c IM s'écrit x = a

+ x
1

*1
a 2 + x± , avec aA et a 2 e A, il suffit de choisir n > sup ii 9± ) et d'appliquer
l'hypothèse que A e {0,x ,...,x } est défini pour voir que a. = a et x
= x
i
n
1
2
i
i '
tout x se décompose bien en a + x , avec a e A, car il suffit de choisir n assez
grand de sorte que x > x et d'utiliser l'hypothèse A D ["0,X |. A
n
n
n
Remarque.
En général, la somme A n + {0,x } n'est pas directe ; elle l'est si et seulement si x n est un élément de la base généralisée associée à la décomposition [ri,A)
donc pour une suite d'entiers, soit nA = 1, n ,...,n ,... définie par :

X

n

= b

k

2k-1' G n

SLJ

P P ° s a n t i c i que 1 c A ; les autres éléments de H

sont don: Jonnés par :

x

r.nK+p

Vr e [0,a
2K-1

= r.x

nk

+ x
p

[, Vp e [0,n.[ ; remarquons que x
/x
- a
k
n k + 1 nK
2K-1

5.3, LES DÉCOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES DE IN*.
•

IM

,

= l\l - 10} est muni de sa structure de monoïde multiplicatif.

Soit & l'ensemble des ensembles finis de nombres premiers, ordonné par l'inclus
ion ; on note encore O la catégorie correspondante ; à un objet J = {p ,p
p }
faisons correspondre l'entier ordonné [r] ; soit J'

*j un morphisme ; on'suppo-

se que :

J

'= <Vq2

q } et

s

J = {p

Vp2

P }

r '

avec q1 < q 2 <...< q g , et pA < p 2 <...< p^ ; on fait correspondre à J'
l'application croissante ij, j : [s]

• [>] définie comme suit : pour

yj

-

126 -

K e {1,2,...,s}, il existe un unique entier 1 tel que p^ = q^^ ; on pose

= 1.
Définissons alors le foncteur S : â
> ÎB^» suivant ; à un objet J> il fait
Ijl
^^
correspondre IM
; et si J '
est un morphisme, l'application
correspondante est définie par :
Sj, j ( m ^ ^ m ^ , . . - =

C n ^ ^ . • ,

où, avec les notations précé-

dentes, n^ = mj^ si 1 = ij, jCK) et n^ = 0 si 1 ^ ij r j^l^sJ] ; c'est bien un hcmamorphisme entre monoïdes.

Soit alors (B,A) une décomposition [directe et totale] de IN* ; soit
n/|
Hp
J = iP^

• •

^^ objet de &

j tout entier p^ ...p^

doit s'écrire de fai;

unique sous la forme a^b, avec a e A et b € B ; a et b sont donc de la forme
a
a = p^ -..p^^

et

b
b
b = p^ --•p^^ , avec

Ainsi à J correspond une décomposition [additive) de

' ^ ' , soit (B ,A ) - d
J

;

J

on a posé :

a.

a

A J = {(a^.a^

a^) Ip^''..

Bj = {(b^.b^

b^)

e b}

marphisme de

O ; montrons que l'application

b.

Soit maintenant J' —
Sj, J : Jn'"^ '

u

n

e A}
b

> m''^' définit en fait un morphisme dj,

• dj dans la catégorie

D,
^TS •
En effet, soit (m.,m ,...«m ) £ Bl
I ^
5
=

IJ ' I
et soit

a^) +

b^)

sa décomposition selon dj, ; 1^élément C n ^ ^ n ^ . • . . i m a g e
par Sj, J, doit se décomposer selon dj de la façon suivante :

de

(m^.m^,.••]

- 127

et

ap) < [ t V b 2

(nrn

n ) = (ara2

[a

a

r]

=

S

J',J[aî'32

â

s

b

r]

=

S

J',J[bî'b2

b

^ •'

1'a2

Cb

1'b2

en e f f e t ;
,, si
si 1
i7l
1 <
i( i

b

r3 ' °Ù

J,([s]),
C s ] ) , on
on a
a n
n n1 =
= 0
0 et
et donc
donc a^
a =
= b^
b = 0 a u s s i ; par c o n t r e

(k), alors n± = m K = a^ + b^ ; mais a^ = a 1 et b^ = b ^ parce que

si 1 = i

la décomposition en facteurs premiers est unique. Nous noterons D : L^
le foncteur qui vient d'être décrit ; si V

: TDj

D est un relèvement de S, c'est-à dire que V

>G

s 1D^^

est l'oubli naturel,

° D = S.
i®

PROPOSITION

La correspondance ainsi définie entre décompositions de IM

vement de S dans TD

est une bijection.

T II est clair qu'elle est
soit D : ^

• I)

et relè-

injective ; montrons qu'elle est surjective ;

un foncteur satisfaisant V

° D = S ; on définit la dûcompoi®

T©

sition (B,A) de I\l* suivante :
n
n
l
n
A = { P l ...p r I ( n r n 2

n
B = {p

n r ) f Aj}

n
...p^r|(n ,n ,...,n ) e B }, où

(B,,AJ = d, est la décomposition de IM' ' donnée par D(J), avec
J = {p 1 ,p 2 ,...,p p ) ;
n

tout entier n / 0 s'écrivant sous la forme p

„
1

n

...p

r

aA
a
b
b
1
r
1
r
= p ...p .p ...p ou

(n ,...,n ) = [aA , . . . , a ) + (b,,...,b ) se décompose bien en un produit d'un
1
r
1
r
1
r
n>|
n
élément de A et d'un élément de B ; si n = a.b = a'.b' = p^ ...p , avec a,a' e A
et b,b' e B, il est clair qu'en introduisant éventuellement des "exposants D" dans
l'écriture en facteurs premiers de a,d',b et b', on peut supposer que ces quatre
x

i

nombres sont de la forme p ' . p

x

7

*r

...p

-

•

et l'unicité de décomposition relative ii

d, prouve alors que a = a' et b = b' ; donc (B,A) est bien une décomposition île
U , à laquelle correspond évidemment le relèvement D de S dont on est parti. A

128 -

Ainsi le problème de la détermination des décompositions directes multiplicatives de IM

est ramené à celui de la détermination explicite des décompositions

additives des IN , pour r > 2 ; nous allons traiter le cas r = 2 par une méthode
qui,

à l'évidence, a une portée plus générale ; la difficulté pour r > 2 consiste
2
à déterminer, pour les décompositions non triviales de IM , les noyaux d'instabilité,
ce qui est un problème d'arithmétique assez difficile.

5A

DÉCOMPOSITIONS ADDITIVES NON TRIVIALES DE (N .

Cas de trivialité.
2
Soit (B,A) une décomposition de IM ; on désigne par (b_*_a) le couple d'appli2
2
2
cations de Isl dans TN correspondant ; donc, pour tout x £ IM il existe un unique
couple (lb(x) ,a[x) ) € B x A tel que x = b_(x) + _a(x) ; nous posons :
B 1 = B n CM x {0})

,

A

= A n (DM x {0}) et

B 2 = B n ({0} xTN)

,

A 2 = A n ({0} x IN) .

Il est clair que (B ,A ) est une décomposition directe de {0} x IM et (B ,A ) une
décomposition directe de IM x {0} ; ces décompositions sont naturellement

isomor-

phes à des décompositions de IM (auxquelles on les identifiera le cas échéant) ;
d'après la proposition (2) de 4.3, la remarque (3) qui suit cette proposition, et
la proposition (2) de 5.2, on est assuré que (B,A) est triviale, c'est-à-dire que
(B,A) = (B.eB^A.eA^) dans les cas suivants :

| A1 | = |B | = oo

(instabilité de ( B ^ A ^ )

|A2| = |B | = «

(instabilité de (B2.A ))

" IAJ = |B 2 | = oo
" |A2| = |B1 | = oo .
donc les seuls cas où (B,A) peut ne pas être triviale nécessitent que A,, et f\
soient finis ou bien que B. et B„ soient finis ; étant donné que A et B jouent
des rôles symétriques, on supposera dans la suite que A. et A

sont finis.

129

Cas de non trivialité.
Nous énonçons le résultat sous forme de proposition :
2
PROPOSITION 1 - Soit (B,A) une décomposition non triviale de IM , avec A
finis ; soit

et A

b. = inf {b e B.|b > A . } , i = 1 ou 2 ;
Q, le réseau engendré par (b^b^)
- C = [0,bA\

© [0,b2[ ;

alors il existe un unique u) = m b. + n b^ e fi, avec m / 0 et n / 0 , tel que
o
o i
o 2
o
o
D = IN.co ait les propriétés suivantes :
o
i) 0 est stable pour la décomposition donnée ; u) e A ;
o
ii) L = {o)' = m'b + n'b e fi|m'<m ou n ' < n } c B
2
iii) tout v £ IM se décompose de façon unique en somme de cinq éléments
particuliers :

V = C

où c . , c

£ C,

de

C

plus,

A'

CI

A + °B + : + d A + d B '
1 e L, e t

A

e t

£( x )

d ,d
=

C

A

+

£ D ;
d

A

£

A

c B ,d B ,l,c B +l,d Q +l et b_(x) = c B +d 0 +l c B ;
f
*
pour i = 1 ou 2, désignons par %. (resp. 'I\ ) l'ensemble des décompositions de. Si
ème
dont le i
facteur est fini (resp. non réduit à {0}) ; l'énoncé précédent signifie encore qu'il y a une bijection naturelle entre l'ensemble des décompositions
2
non triviales de IM et l'ensemble :

Z = ON*) 2 x U U$[) 2 x $*) ;
i
avec les notations du début de l'énoncé, cette bijection fait correspondre ù (B,A)
l'élément ( (mQ,n ), [BA ,A/] ) , (B 2 ,A^ , (BnD,AnD) ) de <*\

130

• La démonstration est établie en plusieurs étapes, mais pour chacune d'elles
2
les principes directeurs sont les mêmes : "lecture bien ordonnée" dans TN et
"unicité de décomposition" (nous renvoyons ici à l'introduction du chapitre 3 ) .

On sait que l\L = B. n [0,b [ et N

= B

n [0,b [ sont des noyaux d'instabili-

té (cf. proposition 2 de 5.2) ; soit

L Q = {(x,y) e IM |x < b,j ou y < b 2 } ,

et posons A' = A

© A

et B' = (N ©B ) u (B ©N ).

Q ] L n A = A' (= CnA) et L n B = B'.
'—
o
o
En effet P. = [0 f b 1 [ © ({0} x IM) est une sous-précatégorie de IM

sur laquelle

(B,A) induit une décomposition qui satisfait clairement les conditions de la
remarque (3) suivant la proposition (2) de 4.3 ; on en déduit que PA n A = A. © A
et que P

n B = N

© B

ve que P

n A = A. © f\ et que P

tent aussitôt puisque L
de IM

; le même argument appliqué à P
n B = B. © N

= CDM x {0}) © (~0,b [ prou-

; les égalités annoncées en résul-

= P, u P„ ; remarquons que L

est une sous-précatégorie

sur laquelle (B,A) induit une décomposition relativement triviale.

IT1 Définissons le réseau fondamental fi attaché à (B,A) par :

fi = TNbA + HMb2 ;

c'est une sous-précatégorie stable (sous-monoïde !) sur laquelle (B,A) induit encore une décomposition.
2
Considérons dans IN le bon ordre lexicographique ^ : (x =0, x.,x ,...,x ,,.. . ) ;
~

O

1

Z

pour X c IM , on désigne par X, l'ensemble des x e X satisfaisant x < x,. Nous
allons montrer par induction les deux points suivants :
(51) a(fix) c fi^ et _b(fix) c fi^ .
(52) (A) € fi, et c e C

= » ( a^io+c) = _a(o)) + a_(c)
[ b^io+c) = b_(co) + JD(C) ;

supposons que (S1) et (S2) soient vrais pour tout X < y'.

À

131

- Si l'ordinal y' est limite, alors Çl , = l_)
Œ, et les conditions (S1)
M
X<y' A
et (S2) sont évidemment satisfaites à l'ordre y'.
- Si l'ordinal y' a un prédécesseur y ; on distingue selon que x
i A u B, alors x

non ; commençons par le plus facile : si x

£ A u B ou

= ja ( x ) + b_(x ) avec

les inégalités strictes a(x ) ^ x et b(x ) < x ; posons a(x ) = 0) + c et
- y
y - y
y
- y
a
b(x, ) = ai + c', où o) £ A n fi, co, £ B n fi, c £ C n A et c' £ C n B, ce qui est
— y
u
a
b
^
loisible d'après l'hypothèse de récurrence (S2) ; on a déjà remarqué de (B,A)
induit sur C une décomposition, à savoir ( ^ © N ^ A . ô A ); ceci entraîne que c + c' e C ;
comme x -03 -03, e fi, on en conclut que c+c' = 0, soit c = c' = 0 et fi , satisfait
y a D
u
donc (S1) ; pour c £ C, l'hypothèse de récurrence appliquée à 03 + a(c) et à
a
—
03, + b_(c) prouve que ces éléments sont respectivement dans A et dans B, d'où :
a ( x + c ) = o ) + a ( c ) e t b ( x + c ) = o ) , + b(c) ,
— y
a
—
— y
D
—
et fi , satisfait aussi (S2).
y
Venons-en au cas où x
y
x

£ A u B ; regardons seulement le cas où x f A (le cas où
°
y

£ B se traite plus facilement encore ; nous soulignerons l'endroit précis où il

y a simplification par rapport au cas x

£ A) ; la condition ( S U

est trivialement

satisfaite pour fi , ; quant à (S2), il suffit de prouver que, si c £ A n C, alors
x +c £ A encore. On procède par induction dans A n C ; supposons que x +ot e A,
Va < a 1 . avec a,aA

e A n C ; si l'on avait a(x + a j < x

et bix

+a ) < x , on au-

rait :
aix

+

OLA)

= o) a + ajj

et

JbCx +a 1 ] = 03fa + Bjj,

avec 03 £ fi n A, o), £ fi n B, a! £ A n C et 8J! t B n C ; puisque a!+3! £ C, on en
a
D
i
l
1 1
conclut que x = 03 + 03, et a. = a' + &', d'où &' = 0 et (JÙU = 0, d'où
y
a
D
i
i
i
i
b
_a(x +0^) = x

+ a , ce qui est une contradiction ; donc, ou bien aix

+

et _b(x a 1 ) £ C n B, ou bien bi(x +0^) > x
cas, il n'est pas possible d'avoir a(x
aix

+

OLA)

= x

et aix

+OLA )

< x

+ot ) r

x

+a ) £ C n A ; dans le premier
+ a., sinon on trouve

+ a avec a < cxA ; mais alors aA = a + JD(X +a ) , et par unicité de

décomposition, b_(x +0^) = 0 et a = o^, ce qui contredit a < a
cas la preuve est achevée. Plaçons-nous dans le second cas :

; dans ce premier

132 -

—^Xu+0V

* x u e t —^ x u +0t 1^ € C n A

x u + f avec T -< a

s su

P P o s o n s £^xu+a>i^ ^ ° ; al °rs JJ(X +<*.) =

strictement; mais comme x +JS(T) e A par hypothèse de récur-

rence, on en conclut que bixu+ot/i ) = fcKT) ce qui est absurde ; reste l'éventualité
x +01

£ B ; nous allons voir qu'elle conduit à une contradiction ; soit

aA = a ^

+ a 1 2 , avec (0^,01^) e /\Ax/\2 ; il existe â^2 e A 2 tel que

a

€ B ; posons z = x

+ïï

x +a

+ 0^ + ôt

; si a

< a

/ 0, a

e A par hypothèse de récurrence ; alors

(.CLA+OLA-,X+OLAA)

strictement, et
et (x +a 1 ,a 1 ? )

sont éléments de B x A, ce qui contredit l'unicité de décomposition de z ; donc
a

= 0 et a. = a.. ; il existe alors a., e A

z' = x

+ a

+ a

; Cx +a 9QL ) et (a +a

tel que a.. + a., e B ; posons

,x ) sont éléments de B x A, ce qui

contredit encore l'unicité de décomposition de z'. On ne peut pas raisonner globalement avec a A + a 2 , car la somme a

+ a

+ a.. + a

n'appartient pas forcé-

ment à C, et peut donc fort bien ne pas être dans B (c'est ici que réside la subtilité du cas "x

£ A" ! ) .

En résumé, on a prouvé que (B,A) induit une décomposition directe sur fi ; tout
2
x £ IM

s'écrit de façon unique sous la forme 0) + c, avec (oi,c) e fi x C ; la décom-

position (B,A) est isomorphe au produit des décompositions induites par (B,A)
sur fi et sur C (ce fait ne peut pas être établi à l'aide de la proposition (2) de
4.3 et de la remarque (3) qui suit ; c'est ce qui nécessite la démonstration précédente, qu'on doit regarder comme une version affinée de la proposition (2) de
4.3).

3J II suffit maintenant ce caractériser (finB,finA) ; comme fi est canoniquement
2
isomorphe a EM , on est ramené au problème initial, mais avec Ta condition supplémentaire finA = finA2 = 0 ; comme (B,A) a été supposée non triviale, fi n A est
différent de 0 ; soit 0) le plus petit élément non nul de fi n A; pour l'ordre
lexicographique ; soit u> = m b. + n b_ avec m
O

O Z

O 1

/ 0 et n
o

/ 0 ; nous allons mon-

o

trer que la droite D = DM.0) est stable pour la décomposition (B,A) : c'est donc,
à un isomorphisme près, une décomposition de Xsl dont le second facteur n'est pas
réduit à 0. Plus précisément, soit :
L^

= {xb1+yb2|x<mQ

ou

y ^ } ,

on va prouver que

fi n A = D n A

et fi n B =

U
beBnD

(b+L ).
^o

133

S o i t 03' l e p l u s p e t i t é l é m e n t non n u l de fi - A s e l o n l ' o r d r e l e x . i n v e r s e
o
de < ; a l o r s o)' = 03 ; en e f f e t , s o i t oi' = m ' b . + n ' b 0 ; p a r d é f i n i t i o n de 0) e t
0 0
o
i
z
o
03', on a m' > m e t n ' < n
; a l o r s ( m ' - m )bA e t (n - n ' ) b ^ s o n t dans B ; on
o
o
0
o
1
o
2
r e m a r q u e que :

03 + ( m ' - m ) b „ = n b n + m ' b . = n b n - n ' b n + m ' b . + n ' b n
o
o 1 o 2
1 o 2
2
1
2
= (n - n ' )b
+ 0)' ;
o
Z
o

mais l'unicité de décomposition entraîne 03 = 03' ; ceci prouve déjà que L
K

bien

c o n t e n u dans

K

00

J

03

B.

est
o

Posons alors L
= l ) (pk) + L ) , cette reunion étant disjointe ; on établit
n.oi
^z
o 03
o
p<n
0
le résultat par récurrence sur n ; supposons que l'on ait :
AnL
et

n.03
o

= D n A nL
n.03
o

B n L

U
b£BnDnL

o

(b+L
,
n.03x
o

);
o

montrons que ces égalités sont encore vraies à l'ordre n+1.
Supposons
d'abord n.03 i A u B ; dans ce cas a(n.03 ) et b(n.O) ) sont éléments de
KM
o
—
0
—
0
L
; mais alors a(n.03 ) = Kp.03 avec K p < n et b(n.o) ) = (n-p).oi , a\jec K
n-p < n
n.03
—
o
o
—
o
^
o
o
aussi ; soit T e L
; l'hypothèse de récurrence entraîne Mque
(n-p)o) + T e B ;
K
03
-"^
o
o
donc les éléments n.03 +T £ n.03 +L
ont une
décomposition donnée Kpar :
M
o

a(n.03 +T)
—
o
ce Mq u i

= p.OJ
^
o

o

et

o

b ( n . o ) +T)
—
o

p r o u Hv e que A n (n.03 +L

K

03

= (n-p)03 +T ;
o

) = B n (n.03 +L
O

0 0 3

o

03

) = r<b, e t

l e s é &g a l i t é s

de

récur-

o

rence sont encore vraies à l'ordre n+1.
Supposons maintenant que n.03 e A ; comme (T,n.oi ) e B x A pour tout T £ L
0

0

03
O

, on

trouve (n.03 +L ) n A = {n.03 } et (n.03 +L ) n B = é et les égalités de récurrence
o 03
o
o 01
o
o
sont encore vraies à l'ordre n+1.
Supposons enfin que n.03 e B ; soit T £ L

, avec T / 0 ; si l'inégalité

a(n.03 +T) 4 n.03 a lieu, alors a(n.03 +T) = p.oj avec p < n ; si on avait p / 0, on
—
o
o
—
0
0
aurait 0 < n-p < n , b(n.03 +T) = (n-p)03 + T et (n-p).a) serait élément non nul
—
o
o
^ o

134 -

de B, ce qui est impossible puisque n.O) e B ; donc p = 0 et n.O) +T e B.
Reste à prouver que l'inégalité inverse, soit ^a(n.o) + T ) 3>n.03Q est impossible ;
d'abord, on aurait ja(n.O) + T ) > n.O) puisque n.oi
n.O) + TA, avec T. € L
o
1
1
0)
ne peut pas être dans A :

£ B ; posons ia(n.o)Q+T) =

et T, / 0 j on prouve par récurrence qu'un tel élément
i
supposons donc que pour T ' < T., on ait n.o)0+T' i A ;

on a vu précédemment que dans ce cas c'est un élément de B ; puisque T>J / 0,
2
l'une au moins des différences T. - b. et T. - b 2 est définie dans IM ; supposons que ce soit TA - b„ i alors n.O) + T. - b- est dans B ; ceci prouve que
I l
o
i
1
(n.O) +T„-b>1,0) ) et (o) -b^n.O) +T„) sont dans B x A et contredit le fait que
o i 1 o
o i
o i
l'élément z = (n+Uo) + T - b. a une décomposition unique selon (B,A). A
Dans [ 7 ], nous avions conjecturé que tout facteur direct de IM

était en

fait une précatégorie ; nous pouvons montrer que ce n'est pas toujours le cas ;
la proposition suivante indique justement les seuls cas où un tel facteur direct
est une précatégorie.
2
PROPOSITION 2 - Soit (B,A) une décomposition non triviale de IM , avec A. et A
finis, les notations étant toujours celles de la proposition 1 ; pour que A soit
2
une sous-précatégorie de TN il faut et il suffit ou bien que 0) / b +b~, ou bien,
si 0) = b.+b^ que A. ou A 2 soit réduit à 0 ; pour que B soit une sous-précatégorie
de IM2, il faut et il suffit que B n D = 0.
f En effet, soit d'abord 0) / b. + b« ; pour que la somme de deux éléments de
A soit encore dans A, il est nécessaire que leurs composantes situées dans C
aient encore une somme dans C ; en effet, soit x = m.O) + a et y = n.O) + a' des
o
o
éléments de A et supposons que x+y = p.o) +a e A ; soit fi le réseau engendré par
les composantes m b, et n b n de w ; la somme a + a' est dans 2.C, et la difféo 1
o 2
o
rence a + a' - a ou son opposée est donc dans 2.C n fi = 0 ; donc a = a + a' et
p = m + n, de sorte que A est isomorphe au produit des précatégories A n C et
A n D, et c'est bien une précatégorie.
Soit maintenant o) = b. + b~ et supposons, par exemple, A~ = 0 ; si
x = m.o)Q + a, y = n,(A)0 + ot' e t x + y = P , ( J L ) 0 + a ' o n v ° i t aussitôt que mb.. + nb~ =
pb 2 , soit p = m + n ; alors a = a + a* de sorte que A est une précatégorie isomorphe au produit A. x (DnA). A l'inverse, supposons A,, et A„ ¥ 0, toujours avec
o) = b. + by ; on sait que b. est un multiple entier d'un élément aA e f\A, soit
b. = P-a>.# avec p > 2 et q.a. e f\A, Vq < p (cf. la structure des décompositions

- 135 -

de IM) ; soient alors q

et q' deux entiers tels que q^ + q' = p, avec q^ et

q' / 0 ; soient de même q 2 ' q ? e t a 2 t e l s q u e q 2 ' a 2 ' q 2" a 2 e A 2 e t
(q9+q')a« = b- € B«, avec q« et q' / 0 ; dans ce cas, les éléments suivants :

q 1 . a r ^2'a29

q

î-a1+q2'a2J

q

1 " a 1 + q 2 ' a 2 ' Cq 1' a 1 + q 2 " a2] + q î " a 1 + q 2 ' a 2 = b 1 + b 2 = ^o

sont tous dans A, tandis que les éléments :

q 1 .a 1 + (qjj.a>|+q^.a2) = b/|+q^.a2

et

q2-a2+(qjj .ay|+q^.a2) = b2+qjj.a>l

ne sont évidemment pas dans A, ce qui prouve que A n'est certainement pas une
précatégorie.

Venons-en au cas de B ; si B n D = 0, alors B = L
© (CnB) ; soient
^o
x = b + B et y = b' + 3 ' , avec b et b' £ L
et 3,3' e CnB, deux éléments de B ;
alors 3 + 6 ' est encore élément de C (structure des décompositions de IM ! ) , et
donc si x+y e B, on en conclut que b+b' e L
au p r o d u i t des p r é c a t é g o r i e s L
élément n.O)

encore ; alors B est bien isomorphe
o
e t C n B. Au c o n t r a i r e s i B n D / 0 , prenons un

o
e BnD, avec n / 0 ; on s a i t que, dans ce c a s , n.O)

+

= m.b.

avec m. > m e t n > n ; tous l e s m u l t i p l e s de b. ou b n sont dans B ;
i
o
z
o
\
z
m

o b 1 ' t r T V m 0 î b i ' n 2 b 2 ' mob1 + ( m l " m o ) b 1 = m1b1 e t mob1 + ( m i " m 0 î b 1 + n 2 b 2
sont tous éléments de B, t a n d i s que m b.+n^b^ n e ^ , e s t P a s * c a r

a(m b.+n^b^) = m b. + n b n = 0) / 0 j donc B ne s a t i s f a i t
—
o 1 2 2 o 1 o 2 o
associativité et n'est donc pas une précatégorie.

rub ,

alors
=

n

"°

pas l ' a x i o m e de f o i

Considérons le rectangle fermé T? = [ 0 , ^ ] e [0,b2];le seul élément de
C - (A.eA^) susceptible d'être dans A est bA+by
contenant b.+b-, alors A^ ou A

; si A est une précatégorie

est réduit à 0 (donc b. ou b

penser cela en termes "topologiques" : posons a

= 1) ; il faut

= sup (A n C) en convenant

que sup (cj)) = 0 ; la condition nécessaire et suffisante pour que A soit une
précatégorie est que la distance 6(ot ,OJ ) soit assez grande, très exactement :
ô(a *o) ) > sup [b-.b-ï (en effet, si a

r1 Q, un calcul simple prouve que

6(a »b.+b2) < sup (b.,b 2 )). Résumons ces remarques tous forme de
2
PROPOSITION 3 - Pour qu'une décomposition (B,A) de IM soit une décomposition
en deux sous-précatégories (objet de D
) il faut et il suffit :
FA

136 -

ou bien qu'elle soit triviale,
ou bien qu'elle soit non triviale, et dans ce cas, si A. et A

sont les

facteurs finis des projections, la décomposition d'un élément x en cinq éléments
particuliers indiquée dans la proposition 1

x = C

A + CB +

1 + d

A + dB '

doit satisfaire les deux conditions : d

= 0 et si d

D

/ 0, alors
A

6(d A ,a Q ) > sup (b >] ,b 2 ).
T En effet, B n D = 0 est équivalent à dR = 0 et ô(d A ,oM est plus grand'ou
égal à ô(a ,0) ) dès que dA r4 0.

oo

A

A

5.5. 6>-STABILITÉ DES DÉCOMPOSITIONS ADDITIVES.
PROPOSITION 1 - Les décompositions de IM sont o)-stables.

T Soit (B,A) une décomposition de IM ; soit (b ) ^, la base généralisée asso&
n n elM
ciée (cf. proposition 1 de 5.2) ; à un élément x de la forme YL b ^. M
(qui est
.

T

l€l

s+2i

dans A ou B, selon la parité de s ) , on fait correspondre les deux nombres suivants

l(x) = |l| et

K(x) = s + 2 sup (I) ;

si x = aA + a 2 , avec a * * ^ € A et X e B, OU bien si x = B

+ 8 , avec

p,|,p2 £ B et x e A, alors x est de la forme indiquée ci-dessus et les nombres l(x)
et K(x) sont bien définis ; de plus, supposons x £ A de la forme ci-dessus et soit
x' £ A quelconque, alors y = b_(x+x') est tel que l(y) et K(y) sont encore définis
et satisfont : l(y) < l(x) et si l(y) = l(x), alors k(y) > K(x) ; même remarque en
échangeant les rôles de A et de B.

Soit alors x = (x ,x

,...,xA ) un chemin dans A u B ; en faisant opérer p

fois le mot y = r.r ...r _A , on obtient un chemin noté :

u x = (b
,b . ,...,b0 ,a ) ,
M
n,p' n-1,p'
2,pf p
dans lequel a^ e A et b,
e B, Vk > 2 et Vp > 1 ; le deuxième élément du chemin
P
*#P

- 137 -

r

n.<\Vx

(en partant de la gauche] e9t égal à a_(b
~"™

A

+b

n, i

; notons le â" i

n — i, i

^

d'après les remarques préliminaires, les entiers l("â ) et k("â ) sont définis ;
d'autre part, à cause de la commutativité, on retrouve "a,, à l'avant dernière place dans le chemin x^iy.. r ^ y x , de sorte que b ^ 2 = btïï^a^ ; là encore, les
entiers l(b
) et k(b^ ) sont définis et on a l(b0 0 ) < 1(7U et si
*• *

J_

1(b

2,2

)

= 1(a

)

i '

alors

k(b

2,2

2#2

) >

kCa

l

)

'

on

déflnit

de même

1

â„ = ait

+b

)

et on trouve que b ^ g = b(I 2 +a 2 ), tandis que b 3 < 3 = b 2 < 2 , par récurrence, on
établit alors que b ^ ^
a
1

= b n _ 2 ^ _ 2 = ...= b ^ ,

d'où! en définissant

n-1 "l^n-l.n-l^n.n-l ' l'inégalité suivante :
Ha

) < l(b

n-1.n-13 " 1 C b 2.2 3 * 1 ( V >

posant d'une façon générale a k = a C b ^ + b ^ ^ ) et itérant le processus amorcé
plus haut, on prouve par récurrence les inégalités suivantes :

posons u p = a p ( n _ 2 ] + 1 ; les nombres k(u p ) sont définis et forment un ensemble
borné (par exemple par x n +x p _ 1 + .. .-x,, ] , donc il existe un entier p à partir duquel
l'inégalité k(u q + 1 ) > k(uq] ne sera plus possible ; c'est-à-dire qu'à partir de
cet entier p, on aura une inégalité stricte : l(u +<J) <l(u )i alors il existe p'>p
tel que u ^ et ceci prouve que le chemin x est bien (n-D-réductible ; l'w-stabilité de (B,A) résulte alors de la proposition de 4.2. •

PROPOSITION 2 - Les décompositions de IN2 sont u-atabl

f Compte-tenu de la proposition 1 de M

es.

et de la proposition précédente, il

suffit de raisonner sur les décompositions "facteurs" (i.e. sur DJ x {o} et
{0} x IM) et éventuellement sur D = H.uQ.

comme on l'a fait ci-dessus, à

Remarque.
Le caractère de finitude de cette propriété d'w-stabilitô est bien évident ,
l'intérêt des propositions précédentes est de montrer qu'il n'y a pas d'autres
cycles irréductibles que ceux de longueur < 2.

- 138 -

BIBLIOGRAPHIE

[1]

BARR M. - Exact catégories and catégories of sheaves
L.N. n° 236 (1971).

[2]

BENABOU J. - Contre exemple à propos des précatégories bien ordonnées
(reproduit ici sans démonstration) (non publié).

[3]

BRUIJN N.G. - On number Systems, Nieuw Archief voor wiskunde (3), IV,
15-17.

[4]

COPPEY L. - Décompositions algébriques de structures en produits,
E.M. 14 (1971).

[5]

COPPEY L. - Catégories avec décompositions, E.M. 24 (1976).

[6]

COPPEY L. - Décompositions additives de 3M, E.M. 26 (1976).

[7]

COPPEY L. - Décompositions directes des précatégories. Séminaire de Maths,
de l'Université de Bremen, RFA (1976).

[8]

COPPEY L. - Stabilité de décompositions dans les précatégories, E.M. 28 (19/7).

[9]

COPPEY L. et DAVAR PANAH R. - Décompositions

et catégories de relations,

C.T.G.D., Vol. XVI, n°2 (1975).

[10]

EHRESMANN C. - Cours d'algèbre, C.D.U., Paris (1968).

[11]

EHRESMANN C. - Sur l'existence de structures libres et de foncteurs adjoints,
C.T.G.D., Vol. IX, n°2 (1967).

[12]

EHRESMANN C. - Introduction to the theory of structured catégories. University
of Kansas (1966).

[13]

FOLTZ F. et LAIR C. - Constructions et tests standard, E.M. 30 (1978).

139

[14] FOLTZ F. et LAIR C. - Produits tensoriels de structures algébriques
(à paraître).
[15] JOHNSTONE P.T. - Thèse (1974).
[16] LAIR C. - Fermeture standard des catégories algébriques II, C.T.G.D.,
Vol. XVIII, n°1 (1977).
[17]

LAIR C. - Esquissabilité et triplabilité des foncteurs algébriques,
E.M. 31 (1978),

[18] LINTON F.E.J. - An outline of functorial semantics L.N. n° 80 (1969).
[19] MANLS E. - A triple théorie construction of compact algebras, L.N. n° 80
(1969).
[20] NIVEN I. - A characterization of complementig sets of pairs of integers,
University of Oregon, pp. 193-203.

L.N. = Lecture Notes (Springer)
E.M. = Esquisses Mathématiques
C.T.G.D. = Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle