D IAGRAMMES R. G UITART C. L AIR Calcul syntaxique des modèles et calcul des formules internes Diagrammes, tome 4 (1980), p. GL1-GL106 © Université Paris 7, UER math., 1980, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 4 > 1980. CALCUL SYMTAXIicJUE DES MODELES ET CALCUL DES FOiMJLES INTERNES R. Guitart et C. Lair INTRODUCTION 1• Deux points de vue connus sur modèles et logique. Une théorie du premier ordre décrit des modèles* Ce premier point de vue nfest efficace que si: - il permet un calcul des modèles, c'est-à-dire de déduire de la seule forme de la théorie considérée (donc de ses formules) les propriétés de ses modèles, - il permet un calcul des théories, c'est-à-dire un calcul "logique" des formules. Evidemment, logiciens et spécialistes de la Théorie des Modèles se sont largement employés à développer ces calculs. Une petite catégorie S°P à limites inductives tk-pe- tites (resp. un site) décrit une catégorie essentiellement algébrique: celle, notée foncteurs Alg(S ) (resp. Pais(S) ) , des 0^ -continus, ou réalisations, (resp. des faisceaux) GL 2 de S (resp. sur S ^ ) vers Ens • Ce deuxième i>oint de vue n'est efficace que si: - il permet un calcul des réalisations (resp. des faisceaux), c'est-à-dire de déduire de la seule forme de S tés de op Alg(S ) les proprié- (resp. Fais(S) ) , - il permet un calcul des catégories à limites inductives OC-petites (resp. des sites), c'est-à-dire les constructions "formelles" de catégories de ce type à partir d'autres catégories de ce type. Bien entendu, ce deuxième point de vue est une (possibilité de) traduction catégorique du premier point de vue, dans le cas où la théorie du premier ordre considérée est algébrique, c'est-à-dire lorsque ses formules sont (équivalentes à) des équations quantifiées universellement. Le problème se pose donc d'étendre ce type de traduction à des classes plus larges de théories du premier ordre non nécessairement algébriques• 2. Quelques solutions déjà proposées. Plusieurs réponses ont déjà été suggérées ou développées: - C. Ehresmann propose en (iiJ.T.S.A.) de passer du cas projectif (où S , appelée esquisse projective, est munie de limi- tes projectives - ou plus généralement de cônes projectifs distingués) au cas mixte (où S , alors appelée simplement esquisse, est munie de cônes projectifs et inductifs distingués); - Diers généralise en (C.A.L.O.) la notion de limite inductive en celle de limite inductive locale et donc celle de foncteur 0\ -continu en celle de foncteur localement CN-continu; on GL 3 obtient ainsi des catégories localement algébriques; - Andréka-Németi (et Sain), partant directement du "point de vue du logicien" (et non de la version catégorique des théories algébriques du premier ordre) interprètent des formules d'un langage du premier ordre en termes de cônes projectifs à bases discrètes dans la catégorie des modèles de ce langage; la validité de ces cônes-formules en un modèle de ce langage est alors définie par une condition d'injectivité de ce modèle relativement à ce cône; on représente ainsi les souscatégories pleines, dites axiomatisables, de la catégorie des modèles de ce langage (voir (P.A.U.C.)); - En (i.i'.O.l?1.), Andréka-Németi proposent de généraliser le point de vue précédent en y substituant aux cônes projectifs discrets des arbres, la validité s'exprimant en termes d'existence d'une stratégie gagnante pour le jeu associé à l'arbre considère; on obtient ainsi toutes les catégories de modèles de formules du premier ordre; - Enfin, si S OÏ) est un site, plutôt que de considérer ses faisceaux dans Ens, on peut considérer ses modèles dans Ens , ou même dans un topos quelconque (voir (F.O.C.L.)). 3» Commentaires. Comme dans le cas purement projectif (systématiquement développé) le point de vue mixte de C. Ehresmann devrait permettre le calcul des réalisations (i. e. des foncteurs transformant les cônes distingués en des limites) et ce par des arguments syntaxiques, c'est-à-dire ne portant que sur la forme de l'esquisse considérée. En tout cas, il permet effective- GL 4 ment le calcul des esquisses, c'est-à-dire les constructions formelles d'esquisses associées à d'autres (voir (E.G.C.iîi.)), Cependant, faute d'exemples suffisamment développés et à défaut d'avoir explicité les théories du premier ordre ainsi traduites, d'aucuns ont pu croire arbitraire cette conception. A contrario, la proposition de Diers, notamment par ses nombreux exemples, est fort séduisante. Elle permet, premièrement, un calcul effectif et élégant des propriétés des catégories localement algébriques et, deuxièmement, un calcul des petites catégories à limites inductives locales of -pe- tites ("constructions de catégories localisables" de (C.A. L.O.) ) . Cependant, ce deuxième calcul n'est qu'une restriction du premier. On peut également observer que, malgré les nombreuses théories supplémentaires (non algébriques) ainsi récupérées, on est encore assez loin de compte par rapport à la version de Andréka-Németi-Sain qu'il est, de plus, difficile d'englober ou d'intérpèter naturellement de ce point de vue. L'optique proposée par Andréka-Németi-Sain permet également un calcul des modèles. Cependant, les conditions d'injectivité considérées apparaissent comme étant insuffisamment universelles (elles s'expriment en termes d'existence de flèches - non nécessairement uniques - par des "méta-formules" du premier ordre). La même remarque vaut pour le point de vue de (F.O.C.L.), à ceci près, cependant, que les méta-formules considérées sont en réalité des formules interprétables dans le langage d'un topos "engendré" par le site. Résumons en un tableau comparatif: GL 5 JËhresmann Diers Andréka Németi Sain Modèles de sites stricte stricte large large types de cônes quelconques discrets discrets discrets présentation des cônes abstraite abstraite concrète abstraite jeux dans des arbres langage de topos (hî. Mitchell) type d' injecti- vite outils plus généraux / / 4- Nos résultats. Dans ce texte, nous prouvons que le point de vue des esquisses mixtes d'iShresmann: - englobe naturellement celui de Diers, c'est-à-dire que toute catégorie localisable est la catégorie des réalisations df une esquisse mixte particulière dont la forme est caractérisée (Chap. I); - est équivalent au point de vue de Andréka-Németi-Sain (et, par conséquent, à celui des sites), c'est-à-dire que toute catégorie axiomatisable au sens de (F.A.U.C.) est équivalente à la catégorie des réalisations d'une esquisse mixte et réciproquement; en conséquence, la validité en termes d'injectivité (large) pour les cônes projectifs à bases discrètes est équivalente à la validité en termes universels (i. e, stricte ou en termes de limites) pour des cônes projectifs à bases GL 6 non nécessairement discrètes (Chap. Il); - permet un calcul effectif des réalisations (qu'il est justifié d'appeler aussi des modèles) d'un point de vue syntaxique (i. e. en n'utilisant que la forme de l'esquisse considérée); notamment, nous obtenons des critères syntaxiques de calcul "point par point" des limites, limites partielles et ultra-produits; nous obtenons également des critères syntaxiques d'existence (et de calcul) des limites inductives locales et des structures localement libres (dans des sens étendant naturellement et raisonnablement ceux de Diers, de telle manière qu'ils puissent s'appliquer aussi aux catégories axiomatisables: il s'agit simplement de considérer des diagrammes - non nécessairement discrets - plutôt que des familles limites locales ou localement libres); cette méthode de calcul syntaxique prolonge ainsi la méthode analogue systématiquement utilisée dans le cas purement projectif (Chap. III); - permet un calcul logique de "formules internes" (validité dans un modèle, implication sémantique ou syntaxique ... ); une formule interne à langage de S S (intuitivement, exprimable dans le et significative pour les S-préfaisceaux) est un "système inductif de cônes projectifs", c'est dire qu' on peut lui associer une esquisse mixte; l'intérêt de cette définition est de tenir compte de la réalité: en pratique, les esquisses mixtes sont découvertes "plongées" dans des catégories de modèles faibles, puis sont abstraites en utilisant des présentations des modèles intervenant dans sa description (au même titre que les variétés sont d'abord vues plongées puis abstraites, ce qui entraine un va-et-vient fécond entre le "calcul des cartes" et le "calcul intrinsèque"); GL 7 ainsi, ce calcul de formules internes précise le calcul formel (ou intrinsèque) des esquisses de (E.G.C.E.) (Chap. IV). Du Chap. III résulte que le calcul syntaxique des modèles (d'une esquisse petite donnée) est équivalent à la conjonction des deux calculs suivants: (i) celui des limites mixtes de Ens , i. e. des commuta- tions de limites dans Ens, (ii) celui des décompositions d'une catégorie petite en 2-limites inductives dans Cat et de la stabilié de ses sous-catégories dans ces décompositions. Du Chap. IV ressort que le calcul des formules internes (à une esquisse petite donnée) est équivalent à la conjonction des deux calculs suivants: (j) celui de l'exactitude des 2-carrés de Cat , (jj) celui des structures libres dans l'adjonction entre le foncteur "diagrammes" et le foncteur "produit croisé". Les calculs (i) et (j) sont équivalents, de même que (ii) et (jj). Ainsi, les techniques du calcul des modèles sont identiques à celles du calcul des formules. Cela peut ne pas surprendre vu le "méta-"principe de traduction syntaxe - sémantique, c'est-à-dire le procédé d'association dialectique de tous ses modèles à une formule et de toutes les formules qu' il vérifie à -un modèle. Mais ceci résulte plus sûrement encore des constatations suivantes: - une réalisation l'esquisse tégorie F: S ^ Ens (i. e. un modèle de S ) est aussi un morphisme particulier de la ca- des esquisses (localement petites), GL 8 - une formule interne (concrète, au sens du Chap. IV) à 1* esquisse S est aussi un 2-triangle de la 2-catégorie des esquisses. En conséquence, le calcul des modèles et le calcul des formules se déduisent des procédés de construction de morphismes dans la catégorie des esquisses. De même, l'association formules - modèles s'exprime par factorisations dans la catégorie des esquisses. Autrement dit, ces trois pratiques résultent d'une étude "générale" de la catégorie des esquisses, telle qu'elle est initiée dans (E.G.C.E.). Nota. C. Ehresmann définit précisément une esquisse comme étant un graphe multiplicatif muni de cônes distingués. Nous partageons cette conception dont la plus grande finesse est plus efficace dans certains calculs. Néanmoins, pour ne pas alourdir le présent exposé théorique, nous nous limitons à appeler esquisse une catégorie munie de cônes distingués. GL 9 TERMINOLOGIE - NOTATIONS Dans toute la suite, les catégories variables sont notées A , I , X , S ... ; leurs objets sont notés A , I , X , S ... ; leurs classes d'objets sont notées obA , obi , obX , obS ... ; leurs flèches sont notées a: A > A' , i: I > I' , x: X > X' , s: S > S' ... En général, les foncteurs sont notés F: S •> A ou encore ^ : X > A • Les transformations naturelles sont notées n: F ï> G ou encore p : T i>*\ . Si X est une catégorie et si x: X ^ X' en est une flèche, on notera X : I > X le foncteur constant sur X de la catégorie I (sur laquelle il n'y aura jamais ambiguïté) vers la catégorie X ; de même, on notera x :X P X' la tranformation naturelle constante. On notera F/G la catégorie comma de deux foncteurs F: X -> A < Y : G et F'\G' la catégorie co-comma de deux foncteurs X< A: F'j G' : A z> Y . On posera, plus particulièrement, A /G = A/G et F/A = F/A . Si S est une catégorie, on note Yon«: S ^ (Ens—) p le plongement de Yoneda et, s'il n'y a pas ambiguïté, on posera, encore plus simplement, Yoru = Yon • Si *Ç : I > A est un foncteur, on dit que (a^ A > A I = *f l)j g x (resp. (a^ *fl = Aj > A)lel] est un cône projectif (resp. inductif) sur ^ , dans A et de base I , si et seulement si, pour toute flèche i : I > I', on a *P ( i ) ^ = a It (resp. *f (i).aIf = a-j. ) . En général, on omettra de mentionner ^p et l'on parlera seulement du cône projectif (resp. inductif) (a..: A (resp. (a : A- > A ) T £ T )dans 5> A^) y £ j A de base I » la GL 10 donnée des *f (i) = A.% ^ T , étant supposée sans ambiguïté et déterminée par la seule mention I € I, $ alors que I n'est qu'un objet de I et ne varie donc, en principe, que dans obi . On ne confondra donc pas: - le cône projectif (resp. inductif) (a.: A — — — > A-)- g j (resp. (a..: A_ > A ) ^ J ) de base I , - le cône projectif (resp. inductif) (a_: A (resp. (aT: A > A )-€ ,T ^^T^iCobl , sous-jacent au précé- dent, mais de base discrète obi Si un tel cône projectif (resp. inductif) est une limite projective (resp. inductive) dans A , on notera aussi A = lim < IÊI AT = lim. *? I X (resp. < lTî A = lim A. = lim 1*1 *? i ) . "I On ne confondra pas, non plus, ces limites avec A1 = lim A 16 obi L = TT ICobl A (resp. A' = lim. A_ = IL A ) . I obi x ICobl ^ On appelle esquisse une catégorie S où sjnt distingués des cônes projectifs et des cônes inductifs. Une telle structure est notée //S// , lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité sur les cônes distingués. Si seuls des cônes projectifs sont distingués, on dit qu'il sTagit d'une esquisse (purement) £rojective que l'on préfère alors noter /S/ . Ainsi, à toute esquisse //s// est associée son esquisse purement projec- tive sous-jagente rotée /s/ , obtenue en omettant de distin- guer les cônes inductifs qui l'étaient dans //s// • On dit qu'une esquisse (resp. une esquisse projective) est petite si, et seulement si, sa catégorie sous-jacente est petite, les bases des cônes distingués sont petites et les cônes distingués forment un ensemble. GL 11 On appelle réalisation d'une esquisse /s/ ) vers une catégorie (resp. F: /s/ A , et l'on note > A ), tout foncteur //s// (resp. F: //§// F: S > A > A trans- formant les cônes projectifs et les cônes inductifs (resp. les cônes projectifs) distingués en des limites de //s// A //-// alors A— A. On note /S/ (resp. A / - / ~ ) la sous-catégorie pleine de dont les objets sont ces réalisations. Ainsi, si //S// est une esquisse et /s/ est son esquisse projective sous- jacente, la catégorie ne de A ''-/' est aussi sous-catégorie plei- A '—' . Plus généralement, on appelle morphisme (ou encore réalisation ! ) d'une esquisse //§// vers une autre //T// , et l'on note //H//: //S// > //T// , tout foncteur £. & > QI commutant aux cônes distingués. ki /§/ est une esquisse projective petite, alors on sait que: /s/ - Ens u est à limites projectives petites et elles s'y cal- culent point par point (i. e. le foncteur injection canonique Ens' — ' > Ens~ commute avec ces limites), /s/ S Ens '-* - le foncteur injection canonique *> Ens — s /s/ admet un adjoint à gauche Q: ^ns — > Ens ' — et donc Ens ' ^ est à petites limites inductives, - le foncteur TT ; s > (Ens^)°P > ( E n s ^ ) 0 * est P ~ Yons 4° une réalisation de /s/ , - cette réalisation TT : /s/ Xuiis'-') op en ce sens que, naturellement en tout objet de sùns ' ^ , on a Hom(TÏS,P) «J F(s) , est canonique F: /s/ > iiiis GL 12 - enfin, TTop : S o p —>> Ens - ^ d i t , n a t u r e l l e m e n t en t o u t o b j e t Ens ' ^ F: / s / ?> Ens de , on a F dans e s t d e n s e , autrement = lim^ ^^(S) s"Tl op t e F(S) Ens /s/ De mê^ie, s i //s// e s t une e s q u i s s e , l e f o n c t e u r é v a - luation / /o / / 7 v v( E n s " - ' ;) > Ens ev: S S » »(evq: E n s ^ / b F \ est esx également egaxemenx une une réalisation. reaiisaxion. Cette réalisation > Ens ) * FS //s V ev: //§// > Ens ' est di- te hyper-canonique . Rappelons que, à des questions de taille près (voir (F.O.S.A.)), si A est une catégorie, pour qu'elle soit es- quissable (resp. projectivement esquissable), autrement dit, pour qu'elle soit équivalente à une catégorie 7 7 (resp. Ens - ) , il faut et il suffit que A Ens —^ soit équivalen- te à la catégorie de réalisations Ens //**» "// où //Ens — // (resp. iUns ^ ° P / ) , (resp. /A° p / ) est obtenue en distinguant les limites projectives et inductives (resp. les limites projectives)• GL 13 CHAPITRE I CATEGORIES LOCALISABLES AU SENS DE DIERS ET CATEGORIES ESQUISSAbLES AU SEItfS D'EHRESMANN 1• Esquissabilité des catégories localisables. Dans tout ce §1 , on désigne par lier et par A une catégorie &* un ordinal régu- OC-localisable. Par définition, ceci signifie donc que (voir (C.A.L.O.)): (L1). A est à limites inductives petites d -filtrantes, (L2). A est a limites inductives locales ci -petites, (L3)« A possède un ensemble générateur propre formé d'ob- jets crf -présentables. Si nous notons A^ la sous-catégorie pleine de dont les objets sont tous les A ot -présentables, nous savons également que: (P1). A^ est petite et dense dans (P2). Ag est à limites inductives locales et le foncteur inclusion A , j: A ^ <* -petites y A com- mute avec ces limites inductives locales, (P3). Aop > Ens- ^ Aop 18 le foncteur A Tr-^ ""* — .op Yoneda ^ j est à valeurs dans la sous-catégorie pleine GL 14 Aop (Ens — * ). , des foncteurs qui sont locale'loc-cont ^ ment *-continus et sa restriction A op > (Ens - * ) loc-cont A est une équivalence. Dans ces conditions, nous notons S. la sous-catégorie A — pleine de Ens — dont les objets sont: - les foncteurs représentables Hom(A,-): A > E n s , dès que A est objet de A ^ , - les foncteurs rTri) Hom A ( T)>"") » ^ s 4 u e (A_ > A^ ) /T _\ ^ _. ^ le oi -petite dans A ^ , - les foncteurs .lim 161 est une limite inductive loca- Hom(A ,-) (A 5> A-.)/- T\ ^ T ^ le Ot -petite dans A ^ • , dès que est une limite inductive loca- De cette construction, nous déduisons tout d'abord: Lennie 1.1. La catégorie S est petite. Preuve. D'après (P1), la catégorie A ^ est petite. Il en résulte que la classe (2 des cônes inductifs 0( -petits (AT > - O T - T de A ^ est également petite. Par conséquent, la classe des limites inductives locales o( -petites (Aj > A I ) )( I D ) g j x D d e à ol qu'elle s'identifie à une partie de sion. // De même, nous obtenons: est aussi Pe^te, puisd ( w ) 0 D'où la conclu- GL 15 Lemme 1.2. Dès que (Aj > ^ ( i D) e I x D est ^6 lLiite inductive locale tf -petite de A ^ , il existe un isomorphisme canonique Jl Hom(A ,-) H^MSL Hom(A^,-) Un DfeD fTl dans S. • Preuve. D'après (P5), pour tout objet A' de A , le foncteur A °P * * est localement > A op > Ens Hom(-,A') & -continu. On a donc par définition (voir (C.A.L.O*) ) une bijection, naturelle en A' , ii. Hom(A^A') D £D ^ CL ^ l i m Hom(A ,A') . I€ I Comme les limites petites se calculent point par point dans A // Ens — , on conclut. // Nous munissons S notée //§.J/ d'une structure d'esquisse petite, , en distinguant dans la catégorie petite S^: - l'ensemble des limites projectives lim 161 Y Hom(AT,-) Ot-petites , X - l'ensemble des sommes petites il D €.D Hom(A^,-) D dès que (Aj > ^ ( j D ) 6 I x u parcourt l'ensemble des limites inductives locales ¢( -petites de A ^ . Il est alors trivial de constater que: GL 16 A Lemme 1.3« Le foncteur injection une réalisation de S *> Ens — est //§.// . Dès lors, nous sommes en mesure d'établir le théorème d'esquissabilité suivant: Théorème 1.1. Si rie c* est un ordinal régulier, toute catégo- 0( -localisable est esquissable à l'aide d'une esquisse petite où ne sont distinguées que des limites projectives QÇ-petites et des sommes petites (plus précisément, A et /7577 Ens — sont équivalentes ) • Preuve. Si A' est un objet de A , nous lui associons le foncteur P: S A £ — > Ens - C'est bien une réalisation de > Ens . évaluation A' //S.// car S c est, en vertu du lemme 1.3 , une réalisation de l'évaluation en A' en A =7 Ens //S // et commute aux petites limites qui se cal- culent point par point dans Ens — . Inversement, si 5> Ens est une réalisation de P: S //S // , nous lui associons le foncteur P : A°p< > S. Il est évidemment localement > par A^ > S. . oi -continu, en vertu du lemme 1.2 . Comme, de plus, tout objet de p c Ens S qui n'est pas image d'un objet de la catégorie A^ est à la fois (à un isomorphisme près) sommet d'une limite projective distinguée et sommet d'une limite inductive distinguée, on conclut à l'aide de (P3)« // GL 17 2» Localisabilité de certaines catégories esquissables. Nous supposons encore que 0^ est un ordinal régulier. Nous désignons, de plus, par //s// une esquisse 0^- locale , c'est-à-dire une esquisse petite où ne sont distingués que des cônes projectifs à bases (^-petites, des cônes inductifs à bases discrètes (et petites) et contenant une sous-catégorie pleine P telle que: (E0) . les cônes distingués de //s// sont des limites dans S , (E1). pour tout objet P de P , le foncteur Hom(P,-): S est une réalisation de (E2). tout objet de S > Ens //S// , est isomorphe à.une limite projec- tive ot -petite et à une somme petite, distinguées dans //S// et de bases dans (E3). tout diagramme U -petit de P , P possède une limite projective distinguée dans //s// • Etablissons, d'abord, les trois lemmes qui suivent: Lemme 2.1. La catégorie (petite) P p tives locales Preuve. Si I U -petites. T :I ^ Pp est petite, le foncteur — est à limites induc- est un foncteur pour lequel V : I° P — •—r—v* P c ^op => S — — possède, en vertu de (E3), une limite projective distinguée dans (P][: S > H,(l))l6lop //§//, En vertu de (E2), l'objet S est GL 18 alors sommet d'une somme petite tinguée dans > s)Dç.]j (q : P^ dis " //s//. Dans ces conditions, on vérifie facilement, en utilisant (El), 7 S que (qD.Pl : V I > V(l,D)€ I x D eSt ' P dans P° j une limite inductive locale. // p Lemme 2.2. La catégorie (Ens —) _ . des foncteurs localement OC -continus de P vers Ens est ok -localisable. Preuve. Ceci résulte de (C.A.L.O.) • // Lemme 2.3* Si A ^ désigne la sous-catégorie pleine de p A = (Ens — ) 1 . dont les objets sont les & -présenp tables , alors les catégories A ^ et P sont équivalentes. p Preuve. Comme A = (Ens — ) . . est, d'après le lemme 2.2, d -localisable, la sous-catégorie pleine limites inductives locales est à ci -petites. Le théorème 7*1• de (C.A.L.O.) affirme alors que les catégories A op (Ens — * ) Ao( A et sont équivalentes. Le théorème de (C.A.L.O.) prouve donc que P et A °P 7-3^0. sont également équivalentes. // Nous en déduisons: Théorème 2.1. Les catégories de réalisations d'esquisses d(locales sont tf -localisables. p Preuve. La catégorie A = (Ens — ) . . étant, en vertu du • — 'loc-cont lemme 2.2 , (X -localisable, on sait, en reprenant les notations du §1 et en vertu du théorème 1.1, que A Ens ~ sont équivalentes. Pour prouver l'assertion, il suffit (d'après (E0)) d'établir que lentes . et SA et S sont équiva- GL 19 D»après le lemme 2.3, il existe une équivalence G: P >A°P . — —d On peut d'autre part, en vertu de (E2), choisir pour tout objet S de S une limite projective fc -petite (Pl: s >P I ) I e I et une somme petite < V PD ^ D S D à bases dans P , triviales si S est objet de P , isomorphes à des limites distinguées (choisies) de //§// sinon. Posons donc G(s) = lim G(P ) , en choisissant une telle i ICI limite dans S. • On définit "Hom par Hom" un homomorphisme de graphes orientés G: S • -> S , prolongeant G , en constatant que, pour deux objets quelconques S et S' de S , on a: Hom(S,S') £ Um lim Hom(P ,P' ) P I^i I' DVD° ^ *± Ji» I'6I' Jim D€D° P Hom(GSfGS') Hom(GP ,GP' ) V L . Il est alors facile de vérifier par un pur "jeu de limites" que cet homomorphisme est aussi fonctoriel, i. e. que G est bien un foncteur définissant une équivalence (grâce à (E3) ) . / / 3« Remarques. 3.1 • Des §§1 et 2 , on peut conclure que pour qu'une catégorie A soit oC -localisable, il faut et il suffit qu'il GL 20 existe une esquisse Ens ''-/' M -locale //S// telle que A et soinet équivalentes. On dispose ainsi de deux conduites pour prouver qu'une catégorie est ¢( -localisable: - la première, sémantique, consiste à montrer qu'elle vérifie les propriétés (L1) à (L3) du §1 , - la seconde (descriptive, ou syntaxique) consiste à la présenter (i. e. à présenter ses objets et ses morphismes) à l'aide de réalisations d'une esquisse 0(-locale conve- nable • 3.2. Comme cas particulier de la remarque 3«1> on déduit que, pour qu'une catégorie de réalisations d'une esquisse petite //S'// soit Ens ' — '' ^-localisable, il faut et il suffit qu'il existe une (autre) esquisse ¢(- telle que Ens' ' ^ ' soient locale //S// et Ens''-'' équivalentes (et, en général, //s// n'a pas de raison d'être équivalente à //S'// ) . Dans ce cas, la méthode descriptive de 3«1 devient une méthode syntaxique de "modification de //s// en //S 1 // " . 3«3« On montrera au Chap. III que la possibilité d'esquisser par certains types d'esquisses (en particulier par des esquisses Q^-localea) permet de retrouver les pro- priétés des catégories de réalisations ainsi obtenues (en particulier, les propriétés des catégories localisables). GL 21 CHAPITRE II CATEGORIES AXIOMATISABLES AU SENS DE ANDREKA-NEMETI-SAIN ET CATEGORIES ESQUItSABLES 1. Esquiasabilité des catégories axiomatisables. Désignons pax A une catégorie localement petite et > *" e -(Gx -(a xD : *x V D e p^x € x m e fa" mille petite (i. e. indexée par l'ensemble projectifs de la catégorie A , de bases X ) de cônes IL. petites et discrètes. En (F.A.U.C.)* on dit qu'un objet A C de A valide si, et seulement si: (VAL)• pour tout élément a: A„ de X et toute flèche z> A , il existe un objet et une flèche aix X a': A^— D de D„ 5> A tels que l'on A C a .a^-p. = a • Il est facile de vérifier que: Lemme 1.1. Pour que l'objet A de valide faut et il suffit que, pour tout élément X , il de X , on ait Hom(Av,A) s ,^im Ho»(A™ ,A) X * Dr.TtM(Dx) ^ 1 ' Hom(Ax,A) où M(Dy) est la catégorie telle que: x Hom(A)Œ) ,A) Hom(Ax,A) n GL 22 - ses objets sont _1 es mots, D. ... D , de longueur finie non nulle tels que a— D<* ... < Aj > ^ Dn , formés avec les objets de IL. (muni d'un ordre total choisi arbitrairement), - sesmorphismes sont les tels que i„ ... i : D. ...D. 1 n i. i 1 n 1 < i < ... < i < m . ^ 1^ ^ n ^ Notons > D„ ... D 1 m Val ( S ) la sous-catégorie pleine de A dont les objets sont ceux qui valident £ • On dira de Val ( G ) qu'elle est axiomatisable au sens de AndrékaNéifieti-Sain (explicitant, ainsi, la terminologie suggérée en (F.A.U.C.)). Cette appellation est justifiée par l'exemple suivant,signalé en (F.A.U.C.): Exemple 1.1. Désignons par A la catégorie des modèles d' un langage du premier ordre. Alors, une famille de formules de ce langage peut s'identifier à une famille G> de cônes projectifs à bases discrètes de A et Val.(£ ) est, ainsi, exactement la catégorie des modèles qui satisfont (i. e. valident) ces formules: elle est donc "axiomatisable par ces formules". /s/ Supposons, de plus, que des réalisations dans tive petite /S/ A = Ens'—' est la catégorie Ens d'une esquisse purement projec- (dans l'exemple précédent, /s/ repré- sente le langage utilisé ou encore le type de similarité de la théorie considérée). Dans ces conditions, nous avons: Théorème 1.1. Si ve et si C /s/ est une esquisse purement projecti- est une famille petite de cônes projectifs à GL 23 /s/ bases discrètes et petites dans 7 Ens —' , il existe une e s - quisse petite //S * Il telle que la sous-catégorie pleine Val /Q/^^ ) — ^ 3 » axiomatisable par € , soit Ens —' / /,-, / / équivalente à Ens /s/ Preuve. Comme /s/ est petite, Ens7--' est à limites i n - ductives petites. En conséquence, pour tout à X et tout objet D ... D de X appartenant M ( D y ) , nous disposons d'un objet ^XD, ... D = hvA t "" 1 n 1 A~ t ^XD A-. n /s/ dans 7 A = Ens —' De plus, / s / . étant petite et purement projective, on dispo- se également d'une réalisation canonique TT . / g / > (Ens/S/)05 t e l l e que, naturellement en tout objet A de A , on a i t A = lim srk op TTS t 6A(S) On désigne alors par S^ la sous-catégorie pleine de A dont les objets sont: - les T T ( S ) , dès que S - les A^ , des que appartient à - les A™ _ 1 D. ... D X est objet de , dès que X S , X , appartient à X et n est objet de Enfin, on distingue dans M(D). Sc : (i) les cônes inductifs (qui sont des limites) duaux des images par /s/ , Tï" des cônes projectifs distingués dans GL 24 (ii) les cônes inductifs (qui sont des limites canoniques) (qt: TT(S) > A = s lip g Q p TT(S) ) s fi gop teA(s) tel(s) lorsque: + A = A« et \ appartient à X , j. + A = A™ D X 1 ... D n , X appartient à X n est objet de M (IL) t et "*À (iii) le cône projectif (qui n'est pas nécessairement une limite) ^PXDi ... D : ^X 1 n (où >A X D , ...D V . . . D € M(D v Y) 1 n 1 n —X' p^ _ = coproj.a^ , pour un quelconque 1 ° n i 1 ^ i ^ n ), lorsque X est élément de X et ## D ...D est objet de M(lL) . Par dualité, on obtient bien une esquisse petite / / S - / / et le lemme 1.1 permet alors de conclure. // 2, Axiomatisabilité des catégories esquissables. Supposons tout d'abord que A est une catégorie loca- lement petite, à petites limites inductives et que C = ( V AQ > en est un cône projectif de base petite AI)I6I I non nécessaire- ment discrète. Nous désignons alors: - pour tout entier non nul zag type" n , par z la catégorie "zig- GL 25 ->3 1 <- pour tout couple (l,If) d'objets de l'ensemble des zigzags de I l'ensemble des foncteurs z: z z(l) = I et 2n 2n-1 reliant I , par Z ITf (l^ I à -î> I n -S>2n+1 , I' , i. e. , tels que n > 0 , z(2n+l) = I' , - pour tout couple A II» = A + I la somme fibrée dans A - pour tout zigzag I , par (l,I') d'objets de A I' des objets z: z $> I A- et A_v , par , A z = li£ A (p) p & z. n n la limite inductive dans A z(l)<_ A du zijzag de z(2) _ > A z ( 3 ) — - pour tout couple > I z: z A A Z(2n-lf~ (l,I') d'objets de appartenant à l'unique morphisme de A Z A I , (i) , par >(2n) et tout zigzag d : A..-, ——> A rendant commutatif le diagramme coproj coproj *i - A z(2n+1) " A I ' \ coproj par ->Az(2n+l) D(C) = (aT: A 0 'I € obi GL 26 de base (évidemment petite) discrète obi , - pour tout couple DlII(C) (l,I') d'objets de I , par > Az)z g = (dz: A ^ , le cône projectif de base (petite, car I crète ZIII(I) est petite) dis- ZTT,(I) • Dans ces conditions, on vérifie facilement que: Lemme 2.1. Si A est un objet de A , pour que Hom(A ,A) = lii£ Hom(AJ,A) dans Ens, il faut et il suffit.jgue A valide (au sens du §1) la fajnille de cônes projectifs de bases petites et discrètes (D(c),(Dir(C))(l>I,)g o b I x o b I ) dans A . Supposons maintenant que //s// te et notons /s/ est une esquisse peti- son esquisse purement projective sous-ja- cente. Alors, nous avons: Théorème 2.1. Si //S// une famille petite C est une esquisse petite, il existe de cônes projectifs de bases petites et discrètes dans fins '~* ne Val telle que la sous-catégorie plei- / « / ( * - ) ⣠Ens'-^ , axiomatisable par C , soit équivalente à Ens''-'' • Preuve. Comme /s/ est purement projective et petite, on dispose de la réalisation canonique GL 27 -> (Ens^) 0 1 1 TT : /S/ telle que, naturellement en tout objet S de S tout objet A de A = Ens'-' , on ait: et en A(S) £ Hom(Trs,A) De plus, toute réalisation de //s// étant, a fortiori, une réalisation de /s/ , la catégorie Ens''-'' est bien sous-catégorie pleine de Ens'-' . On vérifie trivialement que ses objets sont exactement les objets A de A tels que: Hom( TT S,A) = lim Hom( TCS ,A) iel pour tout cône projectif ( TT Sj : "^S de A , dual de l'image par TT (s-j.: S I > S)Ie z ^ " ^ I ^ I €• I o p dfun cône inductif distingué dans //s// . Pour conclure, il suffit alors d'appliquer (à ces cônes) le lemme 2.1 . // 3. Remarques. 3.1. Sous les hypothèses du théorème 1.1, on peut remplacer S £ par la plus petite sous-catégorie S'g Val A (£ ) Ens — telle que: de - elle contient l'image de S par le foncteur S Val ( C? ) S >(Ens£)0p 3>Ens(EnS"">= Ens^ > Ens ± *rï Yoneda restriction GL 28 - les images par > A op Re :S ^ ^ , Val.( S ) > Ens^ => Ens Yoneda restriction des cônes distingués dans S * (qui sont certainement des liC Val A (£ ) mites dans Ens — ) sont des limites dans S 1 Sn distinguant dans S U ces limites, on obtient une réalisation (restriction de R ^ ) : >//S'c// , //R^//: / / S e / / dont on vérifie facilement qu'elle induit une équivalence: //R'e// Ens //s'e// : Ens //âe// > Ens 3.2. Le théorème 1.1 est également valable si l'on suppose seulement que A = Ens —' est une cptégorie de réalisa- tions d'une esquisse petite non nécessairement purement projective. Dans ce cas, pour construire l'analogue de S' (car S ^ n'a plus de sens), il suffit de raisonner dans la catégorie Ens— évaluations et de substituer aux TT (S) les foncteurs ev.: Ens' ' —' ' > Ens en les objets S de S. 3.3» Le théorème 2.1 montre en quoi la remarque 3«2 n' est pas essentielle: une catégorie A = Ens '' —'' est toujours de la forme Val ( 6 ) , où A = Ens'-1' et /S / —1 est purement projective. Par conséquent, une catégorie de la forme Val A (£ ) est bien toujours de la forme Val JL ( C? p ) , où ^ . = (^, £ j et est la catégorie des réalisations d'une esquisse purement projective. 3.4» Sous les hypothèses du théorème 1.1, supposons de GL 29 plus que les cônes CL. de la famille G Aj. et des objets de base A™^ ont des sommets "petits" au sens de (F.A.U.C.). Ceci signifie qu'ils sont finiment présentables, au sens de (L.P.L.G.), O U encore qu'on peut les écrire: (ii)' A= lim (où A = A^ , A _ TT (sT) , I. finie, ... , dès que X est objet de X et L est objet de IL. ) . On peut alors substituer à //Sg // l'esquisse petite / / S " ^ // , construite de la même manière, en remplaçant les cônes canoniques distingués en (ii), de la démonstration du théorème 1.1, par les cônes de (ii)'. On peut également substituer à ///§."(> III //Sff£» // 9 de aiême catégorie sous-jacente, en y distin- guant, de plus, pour tout objet X et D' l'esquisse de D de X et tous objets D , les duaux des cônes inductifs (qui sont d1 ailleurs des sommes fibrées) ^XDD1 3.5» Un site est une catégorie S possédant des limites projectives finies et pour laquelle, pour tout objet S , on a distingué des cônes C = (sT: S î> S) ^ T S de inductifs de bases discrètes , appelés familles couvrantes de GL 30 Un modèle d'un site sur teur S dans un site sur S1 est un fonc- z> S' , commutant aux limites projectives finies F: S et préservant les familles couvrantes. En particulier, si S' est un topos pour lequel les familles couvrantes sont des familles épimorphes effectives, un foncteur S F est un modèle si, et seulement si, pour tout objet de S et toute famille couvrante C = (sT: S *> S ) î Ç I de S , on a (voir (F.O.C.L.)): (Mod). F(S) = V 3 16 1 (p(s )) K J I Dans le cas encore plus particulier où S' = jSns, il est clair que la condition tion (Val) du §1 (Mod) précédente est équivalente à la condi(où C? est la famille de toutes les fa- milles couvrantes de tous les objets S de S ) . En consé- quence, la catégorie des modèles ensemblistes d'un site est esquissable. 3.6. Le théorème 2.1 permet d'appeler légitimement les réalisations, dans Ens, d'une esquisse les modèles de cette esquisse. 3.7. Les propriétés (par exemple: de stabilité par ultraproduits, sous-objets .o. telles qu'elles sont étudiées en (F.A.U.C.)) des catégories axiomatisables sont évidemment associées au type d'axiomatisation utilisé. De même, les propriétés des catégories de modèles (ensemblistes) de sites dépendent de la forme de ces sites. Ce sont aussi, en vertu du théorème 1.1, des propriétés de catégories esquissables. De ce point de vue, elles sont associées aux types de cônes projectifs et inductifs distingués dans les esquisses considérées, comme nous le montrons précisément au Chap. III. GL 31 CHAPITiU III CALCUL SYNTAXI^Uti DES hODEL&'S 1. Calcul des limites point par point. Supposons que 31 //S// est une esquisse petite et notons (resp. "T ) l'ensemble des catégories indexant les cônes projectifs (resp. inductifs) distingués de Désignons par Comm TE (resp. Comm *J //§// • ) la classe de telles que les X"^^m^*es toutes les petites catégories X inductives (resp. projectives) commutent dans Ens avec les Y -limites projectives (resp. inductives) dès que Y tient à JL appar- (resp. TJ" ) . Un calcul point par point montre immédiatement que (voir aussi (F.O.S.A.)): Proposition 1.1. La catégorie Ens"—'' Comm 3T -limites projectives, les possède les Comm IL -limites inductives et elles s'y calculent point par point. Supposons, de plus, que les cônes projectifs distingués dans //S// sont des limites projectives de S et désignons par Proj//s// dont les ob- jets P - la sous-catégorie pleine de sont les projectifs de Hom(P,-): S S //s// , i. e. vérifiant: > niïis est une réalisation de //§// , c'est-à-dire transforme les cônes inductifs distingués en des limites inductives de Ens * Notons également /§/ l'esquisse projective sous-jacente à GL 32 //8// et U: E n s / / ^ -> E n s ^ > Ens^0^''^' (resp. V: Ens''^' ) le foncteur injec- tion canonique. Nous pouvons énoncer: Proposition 1.2. Le foncteur V commute aux limites projectives petites (susceptibles d'exister). Si //S// est limitée (c'est-à-dire: si tout objet S de S est isomorphe au sommet S' d'une limite projective :> P T ^ I G I (S' - triviale sjL S' est projectif, distinguée dans //s// non - de base dans Proj//S// ), le foncteur si- U commute,..aus* si aux limites projectives petites (susceptibles^d'exister). Preuve. Supposons que X est une catégorie petite et que le foncteur T :X > Ens' ' —' ' admet une limite projecti- ve F: //S// z> Ens. Naturellement en l'objet projectif P , nous avons V(F)(P) A> Hom(Homa(P,-),F) Cï Hom(HomQ(P,-), lim 2- - ï lim Hom(Hom ( P , - ) , T X) X^X Af lim V( H>(X))(P) , ^X) X*£x CL lim ^ ( X ) ( P ) xîx xH x d'où la première affirmation, les limites projectives petites se calculant point par point dans Ens Supposons, maintenant, que //§// jet S , nous avons, P T J//-// e est limitée. Pour tout ob- étant projectif, V commutant aux li- mites projectives petites, celles-ci se calculant point par point dans Ens ro^'' —'' et T(x) étant une réalisation de //S// : F(S) 0£ lim i^i F(P T ) L Cl lim IVI lim xtx f (X)(P) GL 33 lim XXX lim f(X)(P T ) AJ l i m f(x)(S) X 1^1 X^TX et l'on conclut, car les limites projectives petites se calculent aussi point par point dans Ens'-/ . // 2. Calcul des limites partielles point par point. Si IK est une classe de petites catégories, si i :X > A est un foncteur et si ^fî K > A est un autre foncteur pour lequel K est élément de la clas- se IK , nous dirons que IK-diagramme limite Y est un projective (resp. inductive) partielle de 4* si, et seu- lement si, naturellement en tout objet A de A , on a: U m Hom(A, f X) A; lim Hom(A, 4* K) X €X K€ K (resp. ^Lm Hom( H* X,A) Ç lim Hom(VK,A) ) . X 6 Xop K*Ê K ° P Evidemment, ceci équivaut à écrire que les foncteurs .op A Hom(-, f - ) : X — — ^ Ens^ (resp. Hom( ^ - , - ) : X o p -H>Ens^) .op * et Hom(-,y-): K > Ens^ (resp. Hom( ¥ - , - ) : K ° P -3>Ens^) ont même limite projective • Exemple 2.1. Les limites projectives locales de (C.A.L.O.) sont des IK -diagrammes limites projectives partielles où IK = C D e s"t la classe des petites catégories discrètes. On aura soin, par contre, de ne pas croire que les limites inductives locales de (C.A.L.O.) sont des CD -diagrammes limites inductives partielles (voir le §4). Supposons maintenant que //s// est encore une esquisse petite pour laquelle nous utilisons les notations TT , TT , GL 34 Comm JL et Comm T du §1 . Il est alors trivial de constater que: Proposition 2.1. Si *f ' : X' > X est un foncteur ini- tial entre catégories petites et si s. (où k: K 1 ^ Kp varie dans la petite catégorie est une 2-limite inductive dans - K est élément de la classe fixée - pour tout objet K de Cat K) telle que: IK de petites catégo- de K , la catégorie X R est objet S* : X admet Comm T » alors, tout foncteur 1 (lim S*. f . p ^ ) ^ ^ ^ 5> Ens' ' —'' (qui est bien défini en vertu de la proposition 1.1 ) pour lK -diagramme limite pro.iective par- tielle dans Ens''—'' . Dualement, on a bien entendu: Proposition 2.2. Si f : X* entre catégories petites et si $> x est un foncteur final GL 35 (où k: K. >> K p varie dans la petite catégorie est une 2-limite inductive dans - K K ) Cat telle que: est élément de la classe fixée H< de petites catégo- ries, - pour tout objet de K de K , la catégorie 2¾ est objet Comm IL , —^ > Ens//-'' alors, tout foncteur *f : X (lim "f. f'.p-J^c (qui est bien défini en vertu de la «^ v K K C K proposition 1.1) pour ro£ tielle dans Ens admet iK -diagramme limite inductive par- ^JJ - Sous les hypothèses des propositions précédentes (i. e. XJL élément de Comm If ou de CoijgnTC ) , il est légitime de dire que les limites partielles considérées sont calculées point par point. 3. Calcul des ultraproduits point par point. Rappelons tout d'abord que (voir, par exemple, (O.C.U.C.)), si ^f : D discrète > A est un foncteur d'une catégorie petite et D vers une catégorie filtre de parties de l'objet de A et si D , on appelle ultraproduit de lim D'TU fyL°v ( *f , U ) A , s'il existe: UlPr('f , U ) = où tL est un ultra- "TT 0P D€ Vf(D) , ^' désigne la duale de la catégorie (dont les objets sont les parties D' de D ensemble ordonné ( IL , C ) . appartenant à % ) associée à 1' On dira d'un tel ultraproduit que c'est un si, et seulement si, *U- est un tr -ultraproduit cr-ultrafiltre , c'est-à- GL 36 dire est stable par intersection dénombrable (l'existence de tels ^T-ultrafiltres est évidemment équivalente à l'existence de cardinaux mesurables convenables). Une catégorie A sera dite à ultraproduits (resp. à qr- ultraproduits) si, et seulement si, tout couple tel que ( \ 9 ^L ) (resp. où iL est un T-ultrafiltre) admet un ultraproduit• Enfin, si A' est une sous-catégorie pleine de A , on dit qu'elle est stable par ultraproduits (resp. par Ens est évidemment à CT-ul- GL 37 traproduits et ils y commutent avec les limites projectives finies puisque ce sont des ultraproduits particuliers. Désignons par J une catégorie dénombrable. Notons J catégorie obtenue en lui adjoignant un objet final X tout foncteur z> Ens F: J la (alors est un cône inductif de Ens , parmi ceux-ci il y a donc les cônes-limites inductives) -v> (Ens- ) p et notons, pour simplifier, Yon: J le plongement de Yoneda. Supposons, de plus, que *f : D 3> Ens— jet D tif ^p (D): J est un foncteur tel que, pour tout ob- de la catégorie discrète petite D , le cône inducy" Ens soit une limite inductive. Enfin, donnons nous un T-ultrafiltre *U. sur D • Posons : - L = UlPr( *f , U, ) (il existe et se calcule point par point dans la catégorie Ens— ) , - L, - (qui se calcule également point par = ' ' D G D' 4* D j+ point dans la catégorie Ens— ) , pour tout objet D' de 1'ultrafiltre U, . jfour établir le lemme, il suffit de prouver que: lim L .T = lim a ) . Soit x té par un x T : Yon J Hom(Yon J ,L) ^ un élément de w(x) = x,*Yon(J z> L L .T .11 est représen- auquel nous associons y £ ). On vérifie facilement que ceci définit bien une application b ) . Pour montrer que lim Hom(Yon Z ,L) CL U ^ ) • w w: lim L .T —y* L(2T ) . est injective, supposons qu'on dis- pose du diagramme commutatif GL 58 Yon(J') L ï) Yon(j) Comme Hom (Yon K,L) = lim Hom (Yon K,L-r) , pour tout objet K de J (les limites inductives petites se calculant point par point dans Ens— ) et comme U, ° P est filtrante, on en déduit qu'il existe un élément L1 de *U. et un diagramme commutâtif Par conséquent, en "composant" ce diagramme par proj^: L^, ^ T (L) et en constatant que l'nypothese impose "" lim f (D) , T = lim Hom(YonJ,^D) = Hom(Yon ^ , ^ D ) ? lJ -* J^J il existe, pour tout objet D de D' , un zigzag ^ j' GL 39 dans ( J et un diagramme commutatif V YonX Yon J Pour tout zigzag z: Jde J , notons maintenant D' l'ensemble des objets D de — —•z D' pour lesquels il existe un diagramme (* ) de la forme z —• précédente. Ceci définit une fanille au-plus dénombrable (car J couvrent est au-plus dénombrable) de parties de D' (car, pour tout objet D de D' qui re- D' , il existe ) ) . En conséquence, *U, étant un CT-ultraD filtre, il existe un z tel que D' appartient à TA, et, par conséquent, il existe un diagramme commutatif au-.aoins (* Z Yon J' Yon"£ S- Yon J GL 40 Ceci suffit à conclure que présentés par vérifient xT et x = x* , dès que x x T , ) appartiennent à x . c). Montrons, maintenant, que w Si w(x) = w(x') = x : Yon 21 et x 1 (relim L. j et est surjective. ' ' ^ L , il existe un diagramme commutatif Yon 21 coproj^ car L = lim L_, se calcule point par point dans Ci ê~%°P j+ Ens— . En particulier, on a donc: Hom(Yon^ ,L) CL L ï % ~ 11m lim 1^,( £ ) Hom(Yon 2 , ¾ . ) op j2'"T'U Il existe donc, pour tout objet D de F , un diagramme commutatif Yon Z V^ Yon(JD >2) D S/ Yon J Pour tout objet J de 'D D J , notons D'T l'ensemble des ob- GL 41 jets D de D' pour lesquels il existe un diagramme (**j) de cette forme. On définit ainsi une famille au-plus dénombrable (car J est au-plus dénombrable) de parties de D' D' (car, pour tout objet D de f D qui recouvrent , il existe au-moins (** ))» JÈn conséquence, Ii- étant un > Span J est un choix de spans de J J J —0 —0 — tels que A (jQ,J£) : JQ*C—j— Pour — 0 * ô "~jT~> J^ tous objets J0 et - pour tout objet J J^ et une flèche J On appelle de L , de J , il existe un objet J^ de î> JQ • A-catégorie connexe finitaire toute tégorie connexe On appelle J' (JfJ^ A ) où L A> -catégorie (resp. /^-ca- est finie. A -catégorie finitaire) tout ( J= IL JX , (Jr J 1 0 , \ ) 1 € L ) 1 vr L où (J-, ,J-. ~, A _ ) _ _ _ est une famille petite (resp. une —1 "1 U 1 1c L famille finie) de A -catégories connexes (resp. de catégories connexes finitaires). Lorsqu'il n'y a pas risque de confusion, on dira que c'est J Dans ces conditions, si A -catégorie (resp. une J est une A-catégorie finitaire) et si la A-catégorie. T :J ^ A est un foncteur admettant une limite inductive A = nous dirons que une limite A A lim J e J Y (J) » en est une limite -inductive finitaire) si, et seulement si: - pour toute composante connexe J0 et J' A -inductive (resp. de JJ 0 J. de J et tous objets , le diagramme ci-dessous est un pro- duit fibre de A y (J o * Ji' T (¾) V(JJ) A ~ oproj , J 0 GL 43 Alors, nous avons: Lemme 3^4» Les ultraproduits commutent dans fins avec les limites A -inductives finitaires. Preuve. On peut raisonner composantes connexes par compo- santes connexes puisqu'on en admet qu'un nombre fini et qu' on dispose du lemme 3*3« Ceci revient donc à supposer que (j^J^yA) est une A -catégorie connexe finitaire. Alors, il suffit de raisonner comme dans la démonstration du lemme 3.2, en remarquant que tout élément un représentant jet de de : Yon J n JQ U de lim L» T •> L , où Jn admet est ob- U J^ . Ainsi, dans la démonstration de l'injectivité w , on peut toujours supposer que sont objets de de xT x J1 = J' et J = J~ J^ . Par conséquent, pour tout objet D' , on peut prendre comme zigzag z D (indépendant de D ) le zigzag J ^0 yS J o*Jô \ ^ ^0 J o ô (puisque Hom(Yon Z, f D) Hom(Yon J ,f D) x Hom(Yon J.'-.fD) , U U Hom(Yon J0>J^,i»D) par hypothèse). Ceci permet de conclure à l'injectivité. Dans la démonstration de la surjectivité, on se borne à considérer J_ , qui est fini, plutôt que obJ . // GL44 Supposons, enfin, que et désignons par //§// est une esquisse petite /s/ son esquisse projective sous-jacente. Par application immédiate des lemraes 3^1 et 3«2, nous avons: Proposition 3*1 • Si les cônes projectifs distingués dans //s// sont finis et si les cônes inductifs distingués sont /g / dénombrables, alors Ens'-' est à ultraproduits, ils s'y calculent point par point et Ens''—'' gorie stable par est une sous-caté- e 0 -ultraproduits. Enfin, par application du lemme 3«4* nous avons également: Proposition 3»2. Si les cônes projectifs distingués dans //s// sont finis, si les cônes inductifs distingués sont indexés par des A -catégories finitaires, si est l'ensemble de ces catégories et si, pour tout J appartenant à ^- , tout (j ,J') d'objets de gué (s-: S T 1 J.. n appartenant à L , tout couple et tout cône inductif distin- > S)T-£ T J le cône projectif est distingué dans //§// , alors Ens"—'' est une sous/g / catégorie stable par ultraproduits dans .fins'-' (cette dernière étant à ultraproduits d'après la proposition 3•1)• GL 45 Preuve. En effet, les conditions de l'hypothèse assurent que les cônes inductifs distingués sont nécessairement réalisés dans Ens en deslimites A-inductives finitaires. // 4» Calcul des structures localement libres et des limites inductives locales. Supposons que U: A' ï> A et sont deux foncteurs. On dira que V lement libre sur l'objet A turellement en tout objet ^ K est un diagramme loca- A si, et seulement si, na1 A' de •> A' A , on a: ™ Homûf( ^K,A') Cf HomA(A,UA') KTK°P Si de \ sK - - est petite, on dira que localement libre sur ^ A . Si K est un petit diagramme est astreinte à appartenir à une classe fixée de petites catégories IK , on dira que A admet un IK -diagramme localement libre. Exemple 4-1• les familles localement libres de (C.A.L.O.) sont des IK -diagrammes localement libres, où l^ = vD est la classe des catégories petites et discrètes. Lenge 4.1. Si jet de A U: A' î> A est un foncteur, tout ob- admet un diagramme localement libre dans Preuve. Il suffit de poser K = A/U (catégorie comma des foncteurs "U —r5-v> A < — ^ r — A' ) et (projection canonique de vers A/U A' Y = proj A'). // Plus précisément (et moins trivialement) nous avons: Lemme 4.2. Si U: A' est un objet de Y* : K A y A/U $>A est un foncteur et si A tel qu'il existe un foncteur initial , où K est petite (resp. appartient GL 46 à la classe IK de catégories petites), alors A possède un petit diagramme (resp. un iK -diagramme) localement libre dans A1 • Preuve. En vertu du lemme 4*1 et du fait que le foncteur Y,QP : K ° P > (A/U)°P est final, nous avons Hom.(A,UA') & & lim (A"fA—>iÎA') e "* 1» ™ K^K°P M (A/U)°P Hom ,(A",A') ± HomAf(H^K,A') , - 4* : K *7 A/U r> A' . D'où la conclusion. // 1 - u>l ' ' proj Supposons que *P : X ^ A' et V : K ^ A' sont deux foncteurs. On dira que ^ est un diagramme limite inductive locale de H* si, et seulement si, naturellement en tout objet A' de A' , on a: où lûn On dira que *f Hom AI (^K,A') fii lim Hom f (^X,A') admet un IK -diagramme limite inductive locale si l'on astreint K à appartenir à une classe fi- xée IK de petites catégories. Si |K est la classe de toutes les petites catégories, on parlera de petit diagramme limite inductive locale. Enfin, si X est petite, on dira diagramme (resp. IK-diagramme, petit diagramme) li- mite inductive locale petite. Exemple 4.2. Les limites inductives locales de (C.A.L.O.) sont des IK, -diagrammes limites inductives locales, où IK = C D est la classe des catégories petites et discrètes. On a immédiatement: Lemme 4.3. Si A1 est une sous-catéfforie pleine de A , si A est à limites inductives petites et si tout objet GL 47 de A possède un IK-diagramme localement libre dans A' , alors A' est à IK -diagrammes limites inductives locales petites. Si U: A' > A est un foncteur injection d'une sous-catégorie pleine A' de A vers A , nous dirons que la flèche a: A 5> A' , de source l'objet A de A et 1 de but l ' o b j e t A de Af , admet (Y: K (où A° : K =>A 5* A»; «L: A° > ï ï V , Ima: IlY—5>A»°) et A'°: K 5> A sont les fonc- teurs constants sur A et A') pour petit diagramme image relative (à A') locale et que, pour tout objet K de K , Qa^. est un quotient relatif de - K est petite , Y A si, et seulement si: est un foncteur, Qja et Ima sont des transformations naturelles, - Ima^ est un monomorphisme de A , pour tout objet K de S , - Ima.Qa = a (transformation naturelle constante sur a ), - pour tout diagramme commutatif de A A >A' a' où A" est objet de A1 M A" -"*" et a" est un monomorphisme de A , on a: + il existe un objet K de K et un > A„ t e l q u e ai.ah _ I m a ^ 9 h : vpK + si K' est un autre objet de K et h': f K' > A" est tel que a" .h' = Ima^,, GL 48 il existe un zigzag de K K1 K' et vin diagramme commutatif 4> K * Y \ „ . i/y NYK' Supposons, maintenant, que //s// est une esquisse pe- tite. Nous dirons qu'un cône inductif distingué (s : S > S)TÊ T est monomorphique si, et seulement si, pour tout objet J de est distingué dans //S// (alors, toute réalisation de transforme les en des monomorphismes). sT J J , le cône projectif de S //s// Dans ces conditions, nous avons: Proposition 4.1. Si //S// est une esquisse petite où tous les cônes inductifs distingués sont monomorphiques, alors toute transformation naturelle n: F réalisation vers une réalisation P: /s/ ^ Ens -£> G allant d'une GL 49 G: //s// >> Ens admet un petit diagramme image relative locale dans Ens''— ' Preuve. Pour tout foncteur H(L) v>Ens , désignons par la catégorie comma des foncteurs - ^ — 7 3 - ^ Ens < - r — S et .par z> S proj: H(L) - les objets de tient à la projection canonique. Ainsi: H(L) sont les (x,S) tels que x appar- L(S), - les flèches de ((x,S),s: S que L: S H ( L ) sont les >S',(x',S»)): (x,S) >(x',S') tels F(s)(x) = x' . Comme /s/ n: P est purement projective et petite, la flèche >> G de Ens'—' admet une image n': P' £> G /s/ dans Ens'—' Pour prouver la proposition, il s'agit donc de saturer convenablement H(P') en des sous-catégories H(P') K dans qui soient effectivement de la forme H(Lp.) H(G) pleines (de ce point de vue, on travaille dans un "déploiement" de G). Pour ce faire, nous désignons par C< un ordinal régulier majorant les cardinaux des catégories indexant tant les bases des cônes projectifs distingués que les bases des cônes inductifs distingués de //s// . Pour tout cône inductif dis- > S)jç j tingué (s : Sj — et tout Ind(x) l'ensemble (des indices de x) des objets tels qu'il existe Xj € G(Sj) vérifiant (pour J fixé, un tel G(sT) est un monomorphisme de Pour tout ordinal Xj x £ G(s) , on note J de J G(SJ)(XJ) = x , est unique, s'il existe, car Ens par hypothèse). Q < &> , tout cône inductif distingué GL 50 y> S) £ T (sT: S T au choix d'une partie et tout Indg(x) x 6 G(S) , on procède alors de Ind(x) , non vide si ^ n'est pas ordinal limite, vide sinon. Relativement à ce choix, noté ch , on construit la suite donc H(F')ch>^ = ^ H(*") c h ) ( a > pleines de H(G) contenant On pose , de sous-catégories H(F'), de la manière qui suit. H(F') Q h ^ 0 = H(F') Si (5<<£t< est un ordinal admettant un prédécesseur si H(F') I est défini, on note d'abord AI contenant et telle que: (i) pour tout cône projectif gué,et tout alors et H-,0?*)^ -¾ la plus petite sous-catégorie pleine de H(G) H(F') ^¾ (py: S x £G(S), vérifiant > S )_ ^ T , distin- (G(pIT)(x),S )(x),s 6orâ )6o^r) (P*)^ T) I rt«.> dh>p (x,S) € o b H ^ F ' ) ^ p (ii) si (s.: S T tingué, si >* S) T £ , (x,S) est un cône inductif dis- est objet de H(F') , fi» , alors est objet de H.(F') dès que (XJ,SJ) J ^ Ind- (x) et G(SJ)(XJ) = x . On note alors H(F') h A l a plus petite sous-catégorie pleine de H(G) contenant (iii) si (x,S) est objet de H (F1) . A s: S - >S' objet de H(F»)ch>^ Si fi^** H (F') , - est flèche de S , alors et telle que: et si (G(S)(x),S') est est un ordinal limite tel que K(F') , défini pour tout ordinal (¾1 *C G> > on pose ftl est GL 51 H ( F ' ) chu * > ^ = a ^ (3'

( F f ) cuh <*• >p On vérifie facilement que, pour chaque choix ch , Il(F') correspond bien à une réalisation F' . . : //s// —5>Ens et que le diagramme des inclusions des F' . (correspon- dant aux inclusions des choix) est bien un petit diagramme image relative de n dans Ens''—'' . // Etablissons, maintenant, que: Proposition 4•2. Sous les hypothèses de la proposition 4•1> pour toute réalisation F: /s/ 1 ^ Ens , la classe de suotlents relatifs dans * J W t B ^ Preuve. Avec les notations de la preuve de la proposition 4.1, on se convainc facilement que chaque H(F') ^ est engendré en quotientant par des relations convenables un graphe orienté H(F')— , "de générateurs" que l'on cons- truit formellement comme suit. Pour tout ordinal fb < û< , non limite, et tout cône inductif distingué (s_: S tie non vide ch(j) de obJ , si J n'est pas vide. Posons > S) - € T , on choisit une par- H(F')— =H(F') . en, u i Si ji <• <* est un ordinal admettant un prédécesseur si H ( F ' ) ~ ^I est défini, on note d'abord ^(F')™ (S et A le graphe contenant H(F')—r «i et obtenu en lui adjoignant: (i) des objets formels ( ( X J ) T e M > s ) e t d e s flèches formelles s)j (((X } I I e obi » Pr(xrsi))- ((¾^ e obrd) > (¾.¾) pour tout objet I de I , dès que (pT: S > S ) -_ est un cône projectif distingué et 7j : Im >H(F')-r- ^, \ est un homomorphisme de graphe*orientés vérifiant: GL 52 + 7J (i) = (xT,S ) , pour tout objet I de I , + # (i) = ((xI,SI);Si;(xI,,S][t)) , pour toute flèche i: I > I' de I , + "X n'admet pas de prolongement s* J i " > = ^ , p1 I (où if" est le graphe obtenu en adjoignant à un objet initial de la forme 0 ) pour lequel "X (0 y i) soit ((x,S);p ;(x ,S )) , (ii) des objets formels (x ,S ) et des flèches formelles > ( ( X J J S J ^ - S J K X J S ) ) : (XJ,SJ) objet J de 1 ch(j) : dès que (sT: S (x,S) , pour tout > S) _ _ est un cône inductif distingué, (x,S) est objet de H(F')— ~% et s'il n1existe pas d'objet H ( F ' ) — ^. pour lequel flèche de H(F')-r 'ch, „. Ç> ((x ,3j) ;sJf-(x,S)) soit une On note alors H(F!)*-r ^ et obtenu en lui adjoicocjit: (ïïi) des objets formels (x',S ) de 1 le graphe contenant H-jQ*11)^ ft (sx?Sf) et des flèches formelles ((x,S);s;(sx,S')): (x,S) — — - — > (sx,S') , dès que (x,S) est objet de ^ ( P 1 ) — ^ . , s: S > S' est flèche de S et s'il n'existe pas d'objet (x',S!) de H (F')—A pour lequel ((x,S);s;(x',S')) soit flèche i en, Y* de H i£fÊ ' Si (¾ £ c* est un ordinal limite tel que Hep')-— A ' défini pour tout ordinal H(F')-r 'oh, r\ p 1 ^¾ Ens de Ens'—' localement libre dans Ens -^ possède un petit diagramme • Preuve. D'après le lemme 4*1 > on sait que F possède le diagramme (non petit) localement libre > E n s " ^' pro j : F/U //s// /s/ (où U: Ens''—'' ^ Ens'—' est l'injection canonique). On vérifie facilement, en utilisant les constructions des propositions 4.1 et 4-2 et notamment le fait qu'un dia- gramme image relative est filtrant, que la sous-catégorie pleine (F/U) relatifs de F de F/U dans dont les objets sont les quotients Ens"—' ' est initiale dans D'après la proposition 4.2, (F/ÏÏ) F/U . est petite, le lemme 4.2 permet alors de conclure. // Corollaire 4.1. Sous les hypothèses du théorème 4*1, Ens" — est à où IK |K-diagrammes limites inductives locales petites, est la classe de toutes les petites catégories in- dexant les diagrammes petits localement libres du théorème 4*1 précédent. Preuve. Il suffit d'appliquer le théorème 4.1 et le lemme 4.3. // Théorème 4.2. Si //s// est une esquisse petite où les co- GL 54 nés inductifs distingués sont A .bases discrètes » tout ob.iet -^ Ens de Ens'—' possède un petit diagramme Ft / S / discret localement libre dans Ens/ Preuve. Notons //§//' (resp. /s/' ) l'esquisse (resp. 1' esquisse projective) obtenue en distinguant tous- les. cônes projectifs et inductifs (resp. tous les cônes projectifs) distingués dans !/§// et, pour tout cône inductif distin- gué (s : S > > s ) j € j de de plus les cônes projectifs: Alors, E n sy/s//"— §// et Ens, / / —' //§// > e n distinguant sont équivalentes car les co-projections vers -une somme sont, dans Ens , des injections. En conséquence, le théorème 4*1 s'applique au -^ Ens/ § / • foncteur inclusion Ens"—"(y Ens//s//' Gomme, de plus, le foncteur injection canonique >> Ens'—' admet un adjoint à gauche ("théoEns/s/' rème du faisceau associé"), on conclut que tout objet de /s/ Ens'— possède effectivement un petit diagramme localement libre dans Ens''—'' D'autre part, Ens — " est à petites limites projectives connexes (proposition 1.1), ceci permet d'affirmer que chaque composante connexe d'un tel diagramme petit localement libre possède un élément initial. La famille (petite) GL 55 de ces objets initiaux en constitue donc une sous-catégorie discrète initiale. Le lemme 4*2 permet alors de conclure. // Corollaire 4.2. Sous les hypothèses du théorème 4.2, la catégorie Ens''—'' est à petits diagrammes discrets limi- tes inductives locales petites. Supposons, pour conclure, que //s// est une esquisse petite où, pour simplifier, les cônes projectifs distingués sont des limites projectives de S . Même sans toutes les hypotnèses du théorème 4.1 (ou 4*2), on peut encore conclure à l'existence de petits diagrammes localement libres Ils// /s/ dans Ens''—'' pour certains (au-moins) objets de Ens' — Pour ce faire, pour tout objet S ev'o Ens''—'' 5> Ens de S , nous notons le foncteur évaluation en S Alors, il est clair que: Proposition 4.3. Si P est un objet projectif de (i. e. si Hom 0 (P,-): S > Ens transforme les cônes in- ductifs distingués en des limitesL inductivesLJLe foncteur ev : E n s " — " libre TT^P) S2£ 1 Preuve. Il suffit de poser Notons Proj//S// > Ens //S// Ens), le possède une structure TT^P) = Hom(P,-) . // la sous-catégorie pleine de S objets sont les projectifs de dont les //s// . La proposition 4*3 permet de construire un foncteur V : Proj//s// p ,. > (Ens7/^/)01? y, Hom(P,-) Dans ces conditions, nous avons: Proposition 4.4. Si S au sommet S' est un objet de d'un cône inductif (Pj //S// isomorphe ^> S')j g j GL 56 distingué dans //s// et de base_._da.ns Proj//s//, alors le foncteur ev : Ens''—" £>Ens admet ( T T ^ P T ) ) . pour petit diagramme localement libre sur 1• =»' ' mmm/ ' ! •• III • ~3» U'MO n /~J m /¾ «*- f IT f LJ I l Preuve. En effet, on a, naturellement en tout objet F ,w7I// . QT-J de Ens F(S) /v F(S') £ lim F(P T ) AJ lim HomCT^P^F) . // Notons, enfin, /s/ l'esquisse projective sous-jacente à //S// . Désignons par U: E n s " ^ ' —-> Ens 7 - 7 le foncteur injection canonique et par TT : /S/ z> (Ens' — ' ) p la réalisation canonique. Evidemment, TT ^ est plein, fidèle et dense* De même, il est facile de vérifier que: ' I PTOJ//S// Nous pouvons alors affirmer: Théorème 4»3« Si //S// est colimitée (i. e. si tout objet S de S est isomorphe au sommet S' d'un cône inductif (P • 5> S ' ) T g T - trivial si S est projectif, distingué sinon - de base dans Proj//S//), alors g (i) TT' ° P ; (Proj//S_//)op — — > E r a / ^ est plein, fidè- le et dense, (ii) pour tout objet S de S , le petit diagramme (TT'P-) p Top est localement libre sur TT(S) Preuve. (i)« Evidemment, E n s " — " est une sous-catégorie pleine de Ens'^ . Donc U est plein et fidèle. Comme Proj//s// est une sous-catégorie pleine de S et puisque T T est plein et fidèle, T T est également I Erod//s// plein et fidèle. On conclut également à la densité de TT GL 57 qui est une restriction (à des sous-catégories pleines de ses source et but) de TT" qui est dense. (ii). Il suffit de constater que, naturellement en tout objet P de .Ens''—'' , on a: Hom(TTS,UF) = Hom(TfS,F) £ . FS _^FS' __t Ôi lira T lim FPT Hom(TTPT,F) . / / J "HP T 5« Applications. 5.1. En vertu du théorème 1.1 du Chap. I , une catégorie û( -localisable sations vers A Ens est équivalente à la catégorie des réalid'une esquisse 0( -locale, c'est-à-dire d'une esquisse petite //S.// où les cônes projectifs distingués sont des limites projectiles tf -petites et où les cônes inductifs distingués sont à bases discrètes. De cette seule forme particulière, on déduit immédiatement les propriétés (autres que (L1), (L2) et (L3) du §1 du Chap. i) de la catégorie A : - de la proposition 1.1 résulte que A est à limites projec- tives connexes petites (puisqu'elles commutent dans Ens avec les sommes petites), - des propositions mites inductives A 1.1 et 1.2 résulte aussi que les li- $-filtrantes existent et commutent dans avec les limites projectives petites (susceptibles d'exis- ter) et en particulier avec les monomorphismes, - de la proposition 4.1 (adaptée au cas des cônes inductifs distingués de bases discrètes, comme dans la preuve du théorème 4.2) on déduit que A est à peu de sous-objets et à peu GL 58 d'objets quotients forts, - du théorème 4«2 résulte que les foncteurs injections cano- //s A // niques A £! Ens A & Ens — /â A / > — v> Ens — Ens — et admettent des adjoints lo- caux (au sens de (C.A.L.Oo)), - du corollaire 4«2 , il vient que A est à limites inducti- ves locales petites. Nous laissons au lecteur le soin de se convaincre que les constructions de catégories localisables de (C.A.L.O.) s'interprètent en termes de constructions d'esquisses i ^ est une famille petite de cônes projectifs de bases finies et discrètes objets de bases A„ T I^ ^ ) x € £ * A = Ens'—' , de et dont les sommets A^ et les sont finiment présentables dans Ens'^ (au sens de (L.P.LoG.)). En vertu du théorème 1.1 et de la remarque 3-4 du Chap. II, , ///3¾ /// N on sait que Val.ÇC ) est équivalente à Ens Comme, par construction, les cônes projectifs distingués de lllti"g /// son t tous finis et les cônes inductifs distingués sont A "inductifs, la proposition 3.2 s'applique. En conséquence, Val ( C ) est stable par ultraproduits dans A . 5«5« Supposons, maintenant, que /s/ est une esquisse petite purement projective et que >\z\ C = (¾ = (¾.^ e iA £ x est une famille petite de cônes projectifs de pour lesquels les a^I A = Ens'-' sont des épimorphismes de A . On construit facilement une nouvelle esquisse petite Ils ///s e /// telle que Ens Ai Ens ///S- /// /I L "C Oi Val A^ *~ ^ ^ Voir le théorème 1.1 du vJhap. Il) et pour laquelle inductifs distingués dans sont monomorphes. ///s ^ /// les cônes Par application du théorème 4«1* on en déduit que toute réalisation F: /s/ ment libre dans î>Ens porsède un petit diagramme locale- Val,(C ) . â Par application du corollaire 4»2, on voit aussi que Val (*/n2)) n 6 H » Alors, Val.((S ) A est la catégorie des anneaux unitaires __ commutatifs de caractéristiques non nulles et IL le petit diagramme - non discret - admet localement libre consti- tué par la sous-catégorie pleine de Val, (C ) dont les objets ^ In & sont les ( n ^ 0) . 6. Remarques. 6.1. L'hypothèse faite parfois (aux "!§1 et 4) que les cônes projectifs dist.-gut'c dans projectives de 3 //S/'/ sont des limites n'est destinée qu'à simplifier la défi- nition formelle des objets projectifs de //s// . Elle n' est nullement restrictive car, si tel n'est pas le cas, on peut s'y ramener en substituant a P S la sous-catégorie plei- ne T de (Ens'£')° dont les objets sont les TT(S) , dès que S est objet de S (et en désignant par T\ /s/ distingue dans les images par T T des cônes distingués dans US II (Ens'-') ' la réa- lisation canonique T > 01 , on obtient une esquisse ). Si l'on //T// dont on véri- fie sans peine que: - les cônes projectifs distingues sont des limites projectives , - les catégories Ens"^' et Ens''-" sont équivalentes. GL 61 6.2. Au §4 apparaissent naturellement les notions de diagrajumes localement libres ou limites inductives locales. Ce sont des généralisations, aux cas de diagrammes non discrets, des notions analogues de (C.A.L.O.). Elles ne sont nullement gratuites comme l'application 5«5 précédente le prouve. En tout état de cause, on voit aussi comment leur considération est imposée par les formes possibles des esquisses que l'on peut être amené à considérer. Remarquons, d'autre part, que dans (C.A.L.O.) les propriétés universelles (discrètement) locales dans A' sont interprétées comme des propriétés universelles usuelles dans la catégorie ParnA' des familles d'objets de A1 . Par contre les propriétés universelles (non discrètement) locales du §4 ne sont pas des propriétés universelles usuelles dans la catégorie J) A'(resp. D ^ A' ) des diagrammes (resp. des l|<-diagrammes) de A' . Elles s'expriment, cependant, en termes de carrés exacts (voir Chap. IV ,§§ 2,3 et 6) Il est a noter, également, que D A' (resp. Jl^ A' ) apparaît en (D.E.LoJ.) comme étant une 2-complétion (resp. une K -2-complétion) convenable de A' ; ceci suggère que ce sont les propriétés 2-universelles locales (dans une 2-catégorie A' ) qui s'interprètent correctement comme des propriétés 2-universelles usuelles dans D A' (resp. 6.3o Soit X 1 = 2-lim XA une 2-limite inductive dans Cat, comme dans les propc itions 2.1 et 2.2, et A une ca- tégorie . Trivialement, pour que tout foncteur z> A Xf possède une limite inductive (resp. projective) dans il suffit que: A , GL 62 - tout foncteur K ^ A (resp. projective) dans A , - pour tout objet K , tout foncteur X± K de possède une limite inductive 5* A possède une limite inductive (resp. projective) dans A . La proposition 2.2 (resp. 2.1) est un affaiblissement ap- proprié de cet énoncé. D'autre part, cet énoncé est la version discrète (triviale) d'un "2-critère" (moins évident) d'existence de lax-limites inductives (resp, projectives) dans une 2-catégorie (voir (D.E.L.G.)). Aussi, les propositions 2.1 et 2.2 suggèrent d'en énoncer un analogue prenant en compte d'éventuelles conditions de commutations de limites. 6.4- On peut généraliser la notion d'ultraproduit comme suit: - on suppose que (où k: EL — • ^Kp varie dans la petite catégorie K ) est une 2-limite inductive dans Cat, - on suppose que V : X ! ^ A est un foncteur (où A est une catégorie à petites limites inductives et projectives), _ on appelle alors limite mixte de lim Y Y l'objet = lim lim *P PT(Xf) GL 63 On retrouve bien la notion d'ultraproduit lorsqu'on suppose que K est la catégorie associée à l'ensemble ordonné ( *IJL, C ) f où *Ux est un ultrafiltre sur l'ensemble I) , les Xil : %xr ^ 2LJ- étant les inclusions des par- ties appartenant à i*- (voir aussi la remarque 6.3 du §6 du Chap. IV). On peut d'ailleurs rapprocher cette notion de limite mixte de celle de limite partielle du §2 (et cette remarque de la remarque 6.3). De manière analogue au §3, il est clair que l'existence de telles limites mixtes dans une catégorie de réalisations d'une esquisse petite //§// dépend essentiellement de la forme de ses cônes distingués. 6.5. On a déduit le théorème 4*2 du théorème 4«1 en "modifiant" //s// en //§//' , i. e. en constatant que les sommes dans Ens sont toujours monomorphiques. On aurait pu le démontrer directement, sans modifier //s// , à partir d'une analogue de la proposition 4*1• Pour ce faire, il suffit de modifier la preuve de la proposition 4^1 en y supprimant purement et simplement le rôle du choix n'est pas limite, on prend certainement ch (si |â Ind A (X) = Ind(x) car on a Card Ind(x) = 1 ) . Il faut aussi modifier la preuve de la proposition 4.2 en remplaçant le choix de parties objets ch'J € obJ chJ C obJ par un choix d' (ou, si l'on préfère, on a toujours Card chJ = 1 et chJ = ^ c h ' j } ) • Ceci prouve, dans ce cas, que l'on dispose d'images relatives indexées par ^0 , ou encore que les diagrammes petits localement libres sont discrets. On obtient ainsi une explication précise et syntaxique (ou conceptuelle) de ce qui n' GL 64 apparait en (C.A.L.O.) que comme des techniques heureuses 6. 6. Le théorème 4*1 est encore valable si l'on dispose d'un moyen permettant d'affirmer que, pour tout cône inductif distingué (s : S toute réalisation partenant à G: //s// c 5>Ens //s// , pour et tout x ap- G(S) , on a: (*) (où £> S) ^ _ de Card G(sj)~1 é c est un cardinal donné)• Ainsi, le rôle des cônes inductifs distingués monomorphes est justement de permettre de s'assurer syntaxiquement que l'on peut prendre c = 1 . Nous ignorons si un procédé syn- taxique analogue permet d'imposer la condition des c strictement supérieursà 1 • (*) pour GL 65 CHÂPITiffi IV CALCUL DES FORMULES INTERNES 1. Motivations et exemples. Implicitement au Ciiap. I, explicitement au Chap. II et constamment en pratique, on rencontre la situation suivante; - /s/ est une esquisse projective petite, - t ' = (¾ = (F£ - j — > P^J)J € j op ) y ^ Y 1J """I est une fa- """ mille, indexée par un ensemble Y , de cônes projectifs pe- /s/ tits de iiîns — "" (à bases non nécessairement discrètes). Dans ce cas, on considère la sous-catégorie pleine, notée Val / Q / ( C ) des objets F de E n s ' ^ i. e. vérifiant: validant £' , (VC) (validité en termes de continuité) pour tout objet Y de ~" Y , on a Hom(F',F) = —lim Hom(P' ,F) . 1 >T 1 JT T J e Jy Constatons d'abord que: Proposition 1.1. La condition (VC) est équivalente à la conjonction des deux suivantes (validité en termes d'injectivité stricte): (VI 1) pour tout objet Y de Y et toute flèche f : P' y P , il existe un objet J de J Y et une flèche f ' : F^j > F tels que f ' .f y j = f , GL 66 (VI 2) pour tout objet Y de Y , pour tous objets J et J ' àë. 1Y e t "Pour toutes flèches f : F' > F f et f": F£j, ~ >> F telles que f = f'.fyj = "«fYj« il existe un zigzag dans Jyop ^ I? et un diagramme commutatif dans .tins/s/ Preuve. C'est immédiat en calculant dans Ens la limite inductive figurant dans (VC). // Ensuite, nous avons: Théorème 1.1. Il existe une esquisse petite //S // telle //â r ,// e ' Val /cw( C 1 ) et Ens ^ soient équivalentes Ens'1^ preuve. Elle est tout à fait analogue (et pour cause) à celle que du théorème 1.1. du Chap. II . /s/ On note S *i° P objets sont: la sous-catégorie pleine de Ens —' dont les GL 67 - les TT(S) , dès que par "TT : /s/ S est objet de >> Ens —' S (si on désigne la réalisation canonique), - les F' , dès que Y est objet de Y , - les F' , dès que Y est objet de Y de et J est objet J_Y . On distingue ensuite dans S ^i : (i) les cônes inductifs (qui sont des limites) duaux des images par TT des cônes projectifs distingués dans /s/ , (ii) les cônes inductifs (qui sont des limites) (^(S)_> F (qui présentent les F = ^ ^ -^(c) ) s ^ coirme limites inductives canoniques dans /s/ Ens7—' , des TT (S) ) lorsque: J- F =- F ' et Y appartient à Y , + F = F' jet de ,Y Jy (iii) les cônes projectifs appartient à Y et J est ob- , (U , dès que Y est objet de Y. On conclut facilement. // Remarque 1.1. Il se peut que les objets cônes C' F' ou F' des soient présentés comme des limites inductives,non nécessairement canoniques dans ce cas, on peut remplacer petite) //S"^| // Ens —' , des TT(S) • Dans //S g»// par une esquisse (plus en substituant ces limites aux limites canoniques de (ii). Ces considérations recouvrent bien celles des Chap. I et II, comme les exemples qui suivent le montrent. GL 68 Exemple 1.1. Au Chap. II nous avons effectivement prouvé que la validité, au sens de l'injectivité "large" utilisée en (F.A.U.C.) (relative à une famille C de cônes projectifs à bases discrètes), était bien équivalente à la validité au sens de la continuité (VC) ou de l'injectivité stricte (VI 1 et 2) (pour une famille CK , associée à C , de cô- nes projectifs à bases non nécessairement discrètes). La remarque 3-4 du Chap II et l'application 5.4 du Chap. III montrent en quoi le problème de la présentation, canonique ou non, en termes de limites inductives, des objets des cônes de C? (ou C? ) est important. Exemple 1.2. Le §2 du Chap. II montre que toute catégorie Ens 7 - 77 est aussi de la forme /c/( C 1 ) Val (au sens de la Ens'ïl condition (VC)), ou CLX est simplement la famille des cônes projectifs duaux des images par TT : /s/ >> (Ens7--7 ) des cônes inductifs distingués dans //£>//• Exemple 1.5. En particulier, le Chap. I prouve que les catégories Val /Q/( ^ ) Ens'^ (au sens de (VC)). Plus précisément, si A est ^-localisable et si //S.// est l'esquisse Ok -locale associée: - A 01 -localisables sont bien de la forme = Ens — est sous-catégorie pleine de - le foncteur injection canonique A >• Ens — milles localement libres sur les ^ ( S ) , quand S Ens — , est à faest objet /s A / de S et TT : /S / >(Ens - )op est la réalisation canonique (application 5*1 du Chap. IIl). Pour tout objet S de S. , nous disposons donc d'un cône pro- GL 69 jectif rç-Off(s) >ASI))De& —S exprimant que la famille (Ag-^ £ D d'objets de A est —o localement libre sur TT(S). On vérifie alors facilement que A = Val Ens / ^ / ( ( ¾ € obS>A> — — Plus concrètement encore, on peut citer les exemples qui suivent. Exemple 1.4« Soit /s/ une esquisse projective petite. Alors, Ens 7 -^ est de la forme Val J C ) , où (2f est Ënsl'ensemble des cônes projectifs (de base ^S ) de fins— : ( (lim dès que (p_: S tingué dans /s/ ment de Yoneda). Yon S_ ) y Sj T (et Yon: s" > Yon S ) , est un cône projectif dis5>(Ens-)°P est le plonge- On remarquera que les objets de ces cônes sont présentés en termes de limites inductives non canoniques • /S/ //s1' .// 7 7 Ainsi, on a E n s - ^ Ens *~ CL Val 0 ( ^ ) , 0 autrement Ens— dit: la réalisation de données projectives s'exprime en termes de validité au sens de (VC) ou (VI 1 et 2 ) . Exemple 1.5. Soit R: S >> S 1 un foncteur tel que R Sf S Ens : Ens— >> Ens— soit plein et fidèle. Notons V g la sous-catégorie pleine de Ens— dont les objets sont les GL 70 foncteurs —î>Ens F: S qui factorisent par qui vérifient les équations supplémentaires de V = Val q ( C ) , où Ens— jectifs (de base C S (i. e. S' ) • Alors est l'ensemble des cônes pro- ^t) ) : (Yo:^(S) dès que R canonique -> Yon5!(R(S)) est objet de S • Par exemple, si G est un graphe orienté, on peut prendre S = chemins(G) ; pour S' une catégorie ayant phe sous-jacent et pour R: chemins(G) teur "composition dans S' " . ^S G 1 pour grale fonc- i&i tout état de cause, il apparait que: la réalisation d'équations s'exprime en termes de validité au sens de ou (VC) (VI 1 et 2 ) . Exemple 1.6. Bien entendu, la réalisation de données inductives s'exprime en termes de validité au sens de (VC) ou (VI 1 et 2): c'est ce qu'énonce le théorème 1.1 . Exemple 1.7 (d'après Diers). Soit /S/ l'esquisse des an- "~ /s/ neaux commutatifs (pour simplifier) unitaires. Dans Ens -^, on considère le cône projectif C représenté par 1CVA3 zf x » Y 3 /Xï~1 "&Û3/X GL 71 Il est clair que Val Ens/S/ (C) est exactement la catégo- rie des corps commutatifs. On peut soit considérer que les objets de ce cône sont présentés canoniquement, soit en donner une présentation explicite particulière; ainsi, le diagramme -=? *£[X,Y] / XY-1 XI—>x X h — > XY Y l — > XY TL&l présente bien "2f [X,Y] / XY-1 comme limite inductive non /s/ canonique, dans la catégorie Ens7—' des anneaux commutatifs unitaires. A cette "lecture" du cône C correspond concrète- ment la formule ("axiome des corps"): V x £ K ((x = 0) V (3y (xy=l))). Exemple 1.8. Supposons encore que /s/ est l'esquisse des anneaux commutatifs unitaires et considérons le cône projectif de base discrète représenté par: arp] XH* X 2[X,Y] / XY = 1 XI—>X 2/£X,Y3 / Y(I-X) = 1 GL 72 Les anneaux commutatifs unitaires qui valident, au sens de l'injectivité "large" de (F.A.U.C.), ce cône sont exactement les anneaux locaux. D'après le §1 du Chap. II, ce sont aussi les objets de Ens'—' qui valident un cône projectif, de ba- se non discrète, associé. La comparaison de cette nouvelle base avec la base discrète du cône projectif de l'exemple 1.7 précédent mesure exactement la différence entre anneaux locaux et corps. Exemple 1.9. Il suffit de reprendre l'exemple cité à la fin de l'application 5.5 du Chap. III (anneaux unitaires commutatifs de caractéristiques non nulles). Exemple 1.10. Désignons par /s/ l'esquisse telle que: - sa catégorie sous-jacente est représentée par - elle possède les deux cônes projectifs distingués S" : / \ / \ S" S" f N j j s Evidemment, Ens'^ est équivalente à la catégorie telle que: - ses objets sont les ensembles munis d'une relation binaire, notés (E,r) , GL 75 - ses morphismes sont les h: (E,r) >>(E',r') , où h: E ^ E 1 est une application compatible avec r et r' Notons C' le cône projectif (de base S$ ) de Ens'-' re- présenté par i 11—> i -> 2 Il est clair que Val /../(Cl) est la sous-catégorie pleine Ens 7 Kn-/S/ de Ens'dont les objets sont les (E,r) tels que r soit une relation fonctionnelle. Si nous notons, maintenant, C' le cône projectif (de base non discrète) représenté par: 1 > 2 > 5 >4 GL 74 on vérifie facilement que les objets de Val /a/(Co) Ens'^ 2 les son * (E,r) tels que: - pour tous x , y , z , t appartenant à E f on a (r xy A r yz A r zt) = > (r xz A i r yt) V (~| r xz A r yt) V Exemple 1.11. Soit J (r xz A r yt A r xt) J+ une catégorie petite et la catégo- rie obtenue en lui adjoignant un objet final. j+ Dans Ens — de J , on dispose du cône projectif dual de l'image par le plongement de Yoneda Yon: J + Evidemment, un objet P: J* > Ens > Ens — de Ens— + (au sens de (VC) ou (VI 1 et 2)) le cône Yon(j ) seulement si, c'est une limite inductive de valide op si, et Ens (c'est évi- demment cet argument qui a été utilisé au §3, lemme 3*1> du Chap. III . Exemple 1.12. Soit //S.// une esquisse petite et S^ une catégorie petite. On construit facilement une esquisse petite //S// = //8^// S S2 telle que: S. 2 //¾// ~ (Ens ) //s// Ci Hns'/S// 1 Les cônes projectifs de Ens'*-*' tions à imposer aux foncteurs S décrivent donc des condi5>Ens —' En par- ticulier, ils décrivent des conditions à imposer sur les mor- //¾// phismes de Ens lorsque l'on prend S p = 3tt Ainsi, considérons, -ar exemple, le cône projectif (de base GL 75 par le carré commutatif: >0 ) représenté dans Ens -> F^ F„ c f' \ V ——!y F1 Un objet f : F -5> F' de la catégorie Ens//s// (i. e. //S,// une flèche de Ens ' ) valide ce cône (au sens de (VC) ou (VI 1 et 2)) si, et seulement si, pour tout carré commutatif •>V\ F. S. «1 F •^ F' il existe un unique carré commutatif ? [2 ————— >F'2 e\ Sr * F tel que -?»F' g2.f« = &1 et gj.fj = g' Lorsque f1 = f • , fg = f J = Idj, , ceci signifie exacte- ment que f est orthogonal à f. , (et si S = ^ , f ^ * 2—>1 , on caractérise les monomorphismes de Ens = Ens ). Lorsque fr 2 f f 1 " f î " I d P' et S 1 s "U t ceci ca- ractérise les applications constantes de Ens = Ens , GL 76 si l'on suppose de plus que tion de 2 vers f p = f' est l'unique applica- 1 . On remarquera, également, que des conditions analogues de "factorisation non nécessairement unique" s'expriment soit en termes de validité large relative à ces cônes projectifs, ou encore (comme cela résulte du §1 du Chap. Il) en termes de validité stricte (VC) ou (VC 1 et 2),relativement aux cônes projectifs de bases non discrètes associés. Des considérations générales du Chap. II et des exemples précédents ressort qu'il est justifié d'appeler une famille ^ de cônes projectifs d'une catégorie £222!ii£ u (° Ens' —' une conjonction de formules élémentaires que sont /g / les cônes projectifs) interne à Ens'—' ou, par extension, interne à /S/. Il est également légitime d'appeler les réalisations de /S/ validant C des modèles (de /s/, cf. la remarque 3 »4 du Chap. Il) satisfaisant la formule interne C , ou plus simplement des modèles de C 1 (ce sont aussi, au sens de la remarque 3 «4 du Chap. II, des modèles de //§."01 // ••• ce //S gi// ou Q.'ui est donc une terminologie cohérente). On peut aussi considérer que /s/ est un langage dans lequel G * est exprimable (c'est très exactement ce sens que recouvre le qualificatif "interne"). Enfin, il est essentiel de se souvenir (cf. les exemples 1.7, 1.0, 1.9 et 1.10) que, de la manière, canonique ou non, dont sont présentés en termes de limites inductives des ~TT(S) les objets des cônes de C* , dépend aussi bien la traduction concrète de G (sous forme d'une formule usuelle du premier ordre) que l'esquisse //S" gi// (ou //S g»//) qui lui est associée, i. e. le type de calcul syntaxique possible sur ses modèles. GL 77 Dans les §§ qui suivent, il s'agit de donner une présentation équivalente de ce point de vue qui permet un calcul "logique" des formules. Les §§2 et 3 sont destinés à fixer quelques notations et rappeler certaines méthodes. 2« Diagrammes et cônes. Soit S Nous notons une catégorie petite. D (S) la catégorie des diagrammes petits de S , i. e. la catégorie ayant pour morphismes de P1 les 2-triangles de Cat , notés P^ vers (P,p): Pp ** P* > qui sont de la forme P Dans ces conditions, on dispose: - du foncteur injection i(S): S s >^D (S) , > (Sc. 4 > s) , - du foncteur injection j(S): (Cat/S)op (p. ç î> S) I > £ (S) > (P: D 5> S) , - du foncteur l i m i t e projective lim 5 < g (S) (P: ç > s) \ =5> (Ens£)° P > lim(D *> S >(Ens^)° p ) P Yo"S GL 78 - des foncteurs fibrations discrètes h(S): (Ens^)°P > (Cat/s)op (F: S — > Ens)1 5> (h(S)(F): H(S)(F) -S> S) h»(S):(Ens-)0p >(Cat/s) 0p et h(s) (H(S)(F) est la 2-limite inductive dans Cat -$> Ens F où dis *> D (S) j(S) du foncteur > Cat dis est le foncteur discret - voir aussi la preuve de la proposition 4*1 du Chap. III). Notons maintenant CAT la catégorie des catégories lo- calement petites. Soit S' une catégorie localement petite. On note C (S') la catégorie de ses cônes inductifs petits, i. e. la catégorie ayant pour morphismes les 2-triangles de CAT, notés (G,g): P -> Q , de la forme -,+ 5>y+ tels que: y Y - X et Y sont petites, G: X - X (resp. Y + ) est la catégorie obtenue en adjoignant à X (resp. Y ) un objet final et G respectant ces objets. G" est un foncteur, est le prolongement de GL 79 Ainsi, nous disposons d'un foncteur base (des cônes): -> Cat (P: X + > S') t > X Clairement, à tout foncteur (J): Z v* C (S ' ) , où Z est une catégorie petite, est associé un foncteur soudage; V(S')($): *(S')(0) où 2£(S')( 0 ) foncteur es-t l a >S« 2-limite inductive dans Cat du C (S1) > (j) , -> ~ -> Cat, -> Cat ( )+ b(S') On dispose alors d'un 2-triangle de CAT s(S')(J» -> Z (§•)(• ) p(â')( «r(s->(<» (où s(S')(è) est le foncteur "sommet" et p (S1 )(<(>) est le foncteur "image des bases" ) . 3. Carrés exacts. Dans la 2-catégorie CAT des catégories localement petites, on dit qu'un 2-carré g G X S/ , représenté par >Y V -5>Y GL 80 est un carré exact (voir (R.E.C.E.)) si, et seulement si: de X1 (EX 1) pour tout objet X' et tout objet Y Y , l'application canonique induite par Homy(GX,Y) lim (X,X' —S> LX) € X/L de g > Homy^G'XSL'Y) est -une bijection. Ceci équivaut à: (EX 2) dans la catégorie Blh des bimodules, la flèche > G 1 0 B L' g: L B G ° est un isomorphisme. Ainsi, les carrés exacts se composent. Exemple 3«1» Les carrés commas et co-commas de exacts. Par conséquent, si T r X" g CAT sont est un carré exact et si ^*X' est un foncteur, le carré composé G T/L 5> X **Y comma / X" T S/ - G' "P Y' est encore exact. La réciproque est évidemment fausse; ainsi, si g est un 2-carré et si le carré composé ci-dessus est encore exact, nous dirons que g nous noterons T j= g . ex Kxemple 3.2. Un carré de la forme est exact en T et GL 81 G •»1 e V ->Y' G' est exact si, et seulement si, G de est G'-adjoint à gauche L' . Exemple 3*3 • Soit U: A' — — 5 > A un foncteur entre caté- gories localement petites • Le foncteur ¥ : X (où X jfr A' est localement petite) est un diagramme localement libre sur l'objet A de A (voir Chap. III, §4) si, et seulement si, il existe un carré exact de la forme X - £>A' U -0 Exemple 3«5» Si S ->A est une catégorie petite (restriction apportée pour de simples raisons de commodité d'exposition), le lemme de Yoneda prend les deux formes équivalentes suivantes : (YON 1) le carré -(S) -*> 2 (s) lim canonique — > (Ens£)°P Yonc est exact, GL 82 (YON 2) l e carré commutatif îiSL_> (cat/S)op (EnsS)0p lim Sxop (BnaS) (iâns^) o p est exact. Supposons, maintenant, que que ô : (R Un 2-carré de ^* CAT OR est "une 2-catégorie et est un 2-foncteur. [pi de la forme A. -> A, v* s/ 1 A A 1 -=>AÎ 2 est appelé carré 0 -exact si, et seulement si, il est transformé par en un carré exact de CAT. 9 En particulier, si [R est à Hom £R(A,-) -exact, pour tout objet A dans CAT , un carré de îR , sera dit exact fort. Dans CAT , l'exactitude et l'exactitude forte sont équiva- lentes. Il n'en est pas ainsi en général. Notamment, dans la 2-catégorie (fcsq des esquisses petites, il convient de distinguer, en particulier: - la © -exactitude, où Q : [Esq ^Cat est le 2-fonc- //s// est une esquisse teur "catégorie sous-jacente" , - l'exactitude forte, - la Esq(//S//,-) -exactitude, où petite fixée. GL 83 4. Formules internes et validité. En toute généralité, si l'on dispose d'un 2-triangle de CAT de la forme G X où X et Y mule. Si T: S >>Y sont petites, on dira que g > S' et F: S est une S'-for- > E sont deux foncteurs (entre catégories localement petites), on dira que F valida S ZÎâ T et l f ° n n o"t era F *= g (ou plus simplement T F 1= g , si aucune ambiguïté n'est à craindre) si, et seulement si: ext F possède une extension de Kan projective, notée (F) , le long de - le diagramme de T , CAT ->Y ext o proj y/ F V < / ^ / E *xt T (F) GL 84 présente ext ext _ (F).Q, comme extension de Kan inductive de (F).P le long de G . Dans ces conditions, nous dirons que deux S'-formules g et g' sont isomorphes, et nous noterons g & g' si, et seulement si: - il existe un diagramme commutatif de G X — — - — De même, nous dirons que deux équivalentes via F 1= g teur F: S de la forme ~>Y S'-formules g et g' sont /V g1 (T,E) ^ s'il n'y a pas d'ambiguïté) (T,E) et nous noterons (ou plus simplement g <^g' si, et seulement sis - CAT g si, et seulement si, F 1= g', pour tout fonc- ->E . Bien entendu, si l'on a g jygf , on a nécessairement g ^ g1 f la réciproque étant fausse en général. Dans la suite, nous n'étudierons que les cas particuliers (justifiés par les considérations du §1) qui suivent, où S - est une catégorie petite: S' = (Ens^) 0p dans ce cas, une , E = Ens et T = Yon&: S > (Ens-)°P, S'-formule sera appelée formule concrète GL 85 interne à S - S' = D (S) , E s Ens ce cas, une ne^ à S - , et T = i(S): S ;> D (S) , dans S'-formule sera appelée formule abstraite inter- , S' = (Cat/S)°P , E = Ens T : et > (Ens^)°P s Yon g > (Cat/S)°p , h(S) dans ce cas, une S'-formule sera appelée formule abstraite stricte interne à S De plus, nous appellerons formule scindée interne à S tout foncteur (j) : Z > C ( I) (S)) . Cette terminologie est justifiée car, à une telle (j)| , on associe la famille petite ( ^),7 ~ ,n de formules abstraites internes à S ->>0 <|>(Z): ^ £ D (S) Si F: S >Ens est un foncteur, on note alors F |= <|) si, et seulement si, F fc= *fz pour tout objet Z de Z . De même, il est facile de définir l'équivalence de deux formules scindées tera encore (j) et (j)' internes à S , ce que l'on no- C ( D (S)) est une formule scindée interr — -^ ^ . — ne à S . Il lui correspond la formule abstraite interne à S; s(JD (S))(4>) 2 fc , p (£(s))(4»\ ->£(J> (s))($) n = ab"(/*(<£ (â))(4>) GL 87 Inversement, si g est la formule abstraite interne à S représentée par: G >Y X J> (S) on obtient, naturellement en tout objet Y ne inductif de D (S) , noté de Y , le cô- è(Y) , représenté par: ^>^ G/Y ? (a) c'est-à-dire un foncteur (D: Y > C ( D (S)) Les équivalences de formules de (ii) et (i) résultent de (iii) Celles de (iii) sont claires car les extensions de Kan inductives se calculent point par point dans Ens L'isomorphisme de (i) résulte de l'égalité: lim . h'(S) = Id <- ~ „ nr) (Ens^)°P Il Les extensions de Kan inductives se calculant point par point dans Ens , on déduit donc du théorème 4 *1s Corollaire 4.1. Si S est une catégorie petite, si au: (Ens%° P est une formule concrète interne_à S et si F: S 5> Ens est un foncteur, on a: - F }= s £i, et seulement si, pour tout objet l'application canonique induite par - > Y) (X,G3i Hom „(PX,F) Ens- Y de Y , g - > Hom SUY,F) ulns— € G/Y est une bijection. Corollaire 4.2. Si S est une catégorie petite, si X > Y aU <£ & (resp. (Cat/S)0p ) est une formule abstraite (resp. abstraite stricte) interne à S et si F: S — > Ens est un foncteur, on a: GL 89 - P |= g si, et seulement si, pour tout ob.iet Y de Y . l'application canonique induite par g lim (X,GX—>Y) € G/Y lim Hom 2-6¾ q(P(X)(D),P) Ens2- > 1 im Hom D'çjD£ q(Q(Y)(D' ),F) Snsr- est une bi.jection, (où l'on a posé P(X): D x >S et ^(Y): û£ :>§.). Corollaire 4«3» Si S est une catégorie petite, si è :Z ^SLSIQ fë)) est une formule scindée interne à S et si P: S > Ens est un foncteur, on a: - F ^= (j> si, et seulement si, pour tout objet Z de Z , lim U m Hom q(P7(X)(D) ,P) -^-> U m Hom ,.(^(1 )(D' ),P) , X C X , ïJeD„„ Ens- ^ D'TDl Ens* * •z ^ ¾ — - Z (où l'on a posé; fo(Z) : * \ D"(§) et ^(1):¾ >S , PZ(X): D^ >S). Du corollaire 4*1 et de la définition d'un carré exact résulte aussitôt: Théorème 4.2. Si S est une catégorie petite, si X g vt >Y > /Q (Ens% op GL 90 est une formule concrète interne à S et si -^>Ens F: S est un foncteur, on a; - F |= g si, et seulement si, le carré composé Fc/P ->I ->* S \^ -U ^ Q A(^s%° comma P P >(Ens£)° F^ est exact; autrement dit, on a F |= g L.©, si, et seulement si, F" 1= g ex au sens du §3 . Corollaire 4.4. Sous les hypothèses du théorème 4*2 , on a P *= g si, et seulement si, dans la catégorie modules, que (PC)° (P )°. g BIM des bi- est un isomorphisme. Ceci revient à dire "iso-co-égalise" le diagramme; X y 71 ëT"Si (Pc)o > «Q -I * - > (Ens% 0 p Q De même, en utilisant le corollaire 4.2, on a: Théorème 4.3. Si S est une catégorie petite, si X >Y (Cat/S)op est une formule abstraite stricte interne à S , si GL 91 F: S >>Ens est un foncteur et si h(S_)(F): H(S)(F) — i > S est sa fibration discrète associée, alors ; - P t= g si» et seulement si, le carré composé h(S)(F)C/P >X > Y Q S f/ comma V >0 ^ ~> (Cat/S)op (Cat/S)op h(S)(F)' est exact; autrement dit, on a h(S)(F) C 1= g F 1= g si, et seulement si, on a , au sens du §5 • ex 5. Esquisse associée à une formule interne et calcul de f l implication. Supposons que //§// X est une esquisse petite et que G . >Y est une formule concrète interne à S . On note alors Val la sous-catégorie pleine de //o// (g) Ens"^7 les objets sont les réalisations F: //s// que F |= g . Dans ces conditions, on a: Ens // - / v> Ens dont tels GL 92 Théorème 5.1. (i). Il existe une esquisse petite / / S / / et une réalisation //R // : //s// -> //S // telles g g e ->EnsIls/1 induit une équique Ens 0 • TP.n.a Ens valence . Autrement dit, naturellement en toute réalisation //y/ nui ^ : /!§// >* Ens , il existe une réalisation, unique à équivalence près, F : //S // ?> Ens telle que: F . R /\J F g g (ii)» Il existe une esquisse petite //s(g)// et une réalisation //R(g)//: //S// > //S(g)// telles que Ens//K^>// : Ens//^>// se à droite > vj®I P : Ena^-^ > W ^ admette un înverg ^ tel que P . Ens'' ^g''' soit équivalent à l'identité. Autrement dit, naturellement en toute réalisation F: //§// >> Ens, il. existe une réalisation F(g) : //S(g)// que à équivalence près, telle que > Ens , uni- F(g).R(g) = F Pr euv e. (ii) résulte de (i) en prenant dans Œsq l'iso-cocomrna //a// R -> ll*j-l iso-cocomma) llyl H(ff) 3>//â(er)// Pour définir la catégorie sous-jacente S à l'esquisse g du point (i), on procède comme suit: //S // ""S" GL 93 - on c o n s t r u i t t o u t d ' a b o r d l e co-comma (dans (Dat ) : X — G -> Y W, co-comma "A X W 1 - on en d é d u i t un unique f o n c t e u r W: XSG t e l que \/ >X\G > , (ïlns^)°P W w= g , - on construit ensuite le comma: W W/Yonc -> s comma W' Yon, w'y? S/ XNG ->(Ens^)°P , W - enfin, on construit le co-comma: ->â w/YonQ W W' 2 co-comma Wn 7? W" 2 W!? -5>s XNG Pour définir l'esquisse (j) on distingue dans //S // , on procède comme suit: S les cônes projectifs de la forme GL 94 ->"tl S S lorsque ->/0 est un cône projectif distingué dans (jj) on distingue dans pour tout objet P //s// > S les cônes pro; projectifs o -vu de X\G , GL 95 (jjj) ° n distingue dans S les cônes inductifs ""g ->/o est un cône inductif distingué dans //§// , (jv) on distingue, enfin, dans S les cônes inductifs o yfl G/Y „c comma -^ G \ / >Y X W, 1 \ — >^ XNG W" *1 * s pour tout o b j e t Y de Y / 'W, 2 GL 96 On conclut facilement en utilisant le fait que les extensions de Kan inductives se calculent point par point dans Ens (i. e. essentiellement le corollaire 4.1 du §4)« // Vu le théorème 4.1 du §4 , on peut aussi supposer, dans le théorème 5*1 précédent, que g (resp. g ; (!) ) est une formule abstraite (resp. abstraite stricte; scindée) interne à S ; dans ce cas, il suffirait de raisonner avec la formult concrète ciée à g cc(g) (resp. cc(abf(g)) ; cc(ablf((j))) ) asso- (resp. g ; (j) ) , mais la remarque 1.1 du §1 mon- tre que l'on peut construire une esquisse nettement plus petite (voir aussi la remarque 6.1 du $6 suivant). Supposons maintenant que R: S ^ S' teur entre catégories petites et que formule concrète interne à g (resp. g') S (resp. S' ) . Si est un foncteur, nous noterons ext D F: S' tension de Kan projective de le long de F est un foncest une F: S — > > Ens ^Ens l'ex- R . Alors, nous avons : Théorème 5.2. Si l'on dispose dans 0E"sq d'un carré exact (aux sens du §5) ^5> S' R //y/ exact , //y// "xi / R' IfcJI a l o r s , pour tout foncteur - (F 1= g) > / F: S ( ext V >/%J! > tàns , on a: F t= g' ) . ]feeuve. Ceci résulte évidemment du théorème 4*2 du §4 et du fait que les extensions de Kan projectives et inductives se calculent point par point dans Ens . // GL 97 6. Remarques. 6.1. Plus généralement qu'au §2 , on peut définir D (s) même lorsque S n'est que localement petite. Alors D (S) est encore localement petite. Ainsi, on dispose d'un foncteur: d : CAT ~~ S 1 5> CAT/Cat > (d (S): D (S) «<~ - <- >Cat) . ~ On montre en (R.M E.S.) que ce foncteur admet un adjoint à gauche: K : CAT/Cat >> CAT (R: X — £ > Cat) t — > K (fi) , appelé foncteur produit croisé; on note alors: k(R):K(H) >X la fibration scindée associée à R . Au §2 , C (Sf) a été définie lorsque S 1 tite et l'on dispose donc du foncteur: c : CAT g. est localement pe- > C A T / Cat , _ > ( j^(S'): 0^(S') 4 (X' " Il admet un adjoint à gauche: Z% : CAT/Cat —> (R: X défini, à partir de k — > CAT P Cat) I • 5>X co-comma ^j £ (R) (en posant k = -l/ -> Z (R) , par les carrés co-comma: K (R) ( k( (-)°P ) ) o p ). >^R) > Cat) > S t — > X1 ) f GL 98 Ce foncteur adjoint à gauche, que l'on appelle foncteur produit soudé permet, ainsi, de définir le foncteur soudage du §2. Enfin, si S — est localement petite, on note Fam (S) la sous- ^— — catégorie pleine (dite catégorie des familles de S ) de dont les objets sont les P: X -^ S , où X D (S) est discrète. On dispose donc du foncteur: f : CAT • s 1- -> CAT/Ens -> ( f (â) : Fam (S) —*> Ens ) (X > S) J > X Ce foncteur admet également un foncteur adjoint à gauche: H î CAT/Ens > CAT (R: X — > > Ens) I on note alors sociée à h (R): H (R) > X > H (R) , la fibration discrète as- R • En particulier, la restriction: 0 (h S )°P : (Bri^) » *" |Ens^ est le foncteur fibrations discrètes Dans ces conditions, si F: S — - -> (Cat/S)0p h(S) du §2. -5> Ens est un foncteur et si l'on pose F = lim . D (F) , on a un diagramme d' (iso-) exten<— ^ — pesions projectives: S c* -> (Ens^) op Hom s(-fF) Ens— GL 99 qui permet de vérifier que les constructions et les propriétés énoncées dans les théorèmes 4.1 et 5*1 reposent essentiellement sur les adjonctions K —* d ,5"' — t c et H — \ f . J <£_ <££> ~* 4«Supposons, en particulier, que G: I ->Jb (S) est un foncteur . Vu l'adjonction K —I d qui est aussi une 2-adjonction, ce foncteur détermine une extension projective -> I G où (a^jb^) est le span associé à G par adjonction. Gr Gr Ainsi, dans le théorème 5.1, si g est donnée sous la forme g = cc(abf,((())) , où (j): Z ^ ,£!(£(£)), l'adjonction ! £ _i c détermine un G: 1 = ^ 1 (T) > D (S) . On peut —> -s» - t^ el(S) . Par exemple: - si S est une catégorie partiellement monoïdale et si S est un objet de S , on peut munir S du foncteur partiel S 38 - ; GL 100 - si s: S >> S 1 est une flèche de S , on peut munir S de l'opération partielle "produit fibre le long de s " (quand il existe); - si /s/ est l'esquisse petite (purement projective) des monoïdes, dont on note les objets 1 , S , SxS , (SxS)xS et Sx(SxS) , on peut munir S des opérations partielles Sx- et -xS (en imposant entre elles les équations usuelles); alors C un morphisme de cette ébauche dans O- , munie des opérations de compositions avec les foncteurs C ^ C , s'identifie à une monade sur la catégorie C • C'est pour rendre fonctoriel el et l'étude des algèbres d'une ébauche que l'on a introduit, dans (R.M.E.S.), le foncteur D^ = (D ( (-) op ) op . Ainsi, el(S) C * D (S) et toute ébauche s'identifie à une machine, i. e. à un foncteur I — (ainsi appelée car, si ^ I et S — sont des monoïdes est remplacé par son sous-foncteur 5> D (S; —^ et JD Fam , on retrouve les ma- chines de Mealy)• De même, une esquisse petite purement inductive //S// s'identifie à une machine ^ >i^(â) (où ^ est discrète et représente ... l'ensemble des cônes inductifs distingués de //§// )• U n e constatation duale vaut pour les esquisses petites purement projectives. Remarquons, également, que si S a un élément final, on dis- pose évidemment d'un plongement de D (S) dans C (S) de sorte que toute machine I > D (S) induit un foncteur p — ^ """ A I > c (S) c'est-à-dire un I -diagramme de S -cônes in~ -* - "" ductifs . En particulier, les ébauches et les esquisses purement inductives s'interprètent comme tel et sont donc des cas particuliers de formules scindées internes à S . GL 101 Signalons, enfin, que: - la donnée d'un tel ^-diagramme de S -cônes inductifs équivaut à la donnée d'un diagramme (où k p est associé à P dans l'adipnction K —l d ), - C est une sous-bimonade de D (-) et sa bicatégorie de kleisli est donc décrite par produits fibres 6.3* Les ultraproduits définis et calculés au §3 du Chap. III et, plus généralement, les limites mixtes de la remarque 6.4 du Chap. III, se définissent aussi comme suit: - on dispose d'un foncteur ^ :X teur ^> : Y 7> JD ($ , - lim (V) = lim (lim . D (V). f )• D1 autre part, si F: S dans > A et d'un fonc- (Ens—) T> Ens est de la forme F = lim F T Je J J , où: - pour tout objet J de J , Fj est objet de A (S) , - A est un sous-foncteur de D (par exemple, & être le foncteur Cat/- ou le foncteur Fam ), F sera dit peut & -représentable. Des calculs de modèles du Chap. III et des remarques 6.1 et 6.2 précédentes, il résulte que la classification des formules internes, c'est-à-dire la classification de formules du premier ordre (voir le Chap. Il) est équivalente à la classification des types de représentabilités (ou spécialisations de machines, d'à- GL 102 près (D.E.L.C.))j résulte de l'étude des commutations de li- mites dans Ens . 6.4. En (R.E.C.E.) on trouvera de nombreux critères d' exactitude pour les 2-carrés de CAT . Y figurent aussi de nombreux exemples de carrés exacts dans CAT ou dans d'autres 2-catégories. Signalons, notamment, que les carrés exacts de Ab sont les carrés exacts de Hilton. En particulier, les suites exacts sont les carrés exacts de la forme A >> 0 // X Il est également facile d'interpréter les propriétés des §§ 4 et ^ en termes de calculs de carrés exacts. Il en est ain- si de tout calcul de limites ou d'extensions de Kan et inversement -un calcul de carrés exacts s'intérpète en terme de commutation de limites. 6.5« Dans la preuve du théorème 5»1> les diagrammes des points (jj) et (jv) font apparaitre, naturellement, plutôt que des cônes (à distinguer pour obtenir une esquisse) des cylindres, à savoir: W/Yorig X\G (jj) 1\ I/ S -g GL 105 et ±>Y (jv) Ceci peut conduire à généraliser la notion d'esquisse, i. e. de catégorie munie de cônes projectifs et inductifs distingués, en celle de catégorie munie de cylindres (i. e. d'extensions de Kan) projectifs et inductifs distingués. Ce point de vue semble adapté lorsqu'on désire réaliser dans des catégories qui ne sont pas à petites limites (i. e. où les extensions de Kan ne se calculent pas nécessairement point par point) ou bien si l'on veut envisager une théorie des esquisses enrichies (voir aussi (G.M.E.N.)). 6.6. Nous avons choisi de présenter la notion de formule sous la forme très générale du début du §4 pour ne pas privilégier l'un quelconque des aspects sus de D (S) ) et abstrait (travail au-des- concret (travail au-dessus de (Ens—) au contraire,, cette présentation souligne la dialectique ); abs- trait - concret qui résulte, en fait, de l'adjonction h(S) —I lim . Plus intuitivement, si traite interne à interne à de g S g est une formule abs- S , il faut voir la formule concrète associée à g comme étant la table de vérité . Ceci explique en quoi la validité de de la validité de cc(g). cc(g) g ne dépend que GL 104 BIBLIOGRAPHIE C.A.L.O.) Y. Diers, Catégories localisables, Thèse, Paris, 1977. D.E.L.C.) R, Guitart et L» Van Den Bril, Décompositions et lax-complétions, Cahiers de Top. et Géom. Diff., XVIII,4 > 1977. E.G.C.E.) C. Lair, Etude générale de la catégorie des esquisses, Esquisses Math. 23, Paris, 1975. C. Ehresmann, Esquisses et types de structures algébriques, Bul. Instit. 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GL 105 SOMMAIRE INTRODUCTION page GL 1 1# Deux points de vue sur modèles et logique GL 1 2. Quelques solutions déjà proposées. ... GL 2 5. Commentaires. GL 3 4. Nos résultats ••• GL 5 TERMINOLOGIE-NOTATIONS GL 9 CHAPITRE I: CATEGORIES LOCALISABLES AU SENS DE DIERS ET CATEGORIES ESQUISSABLES AU SENS D'EHRESMANN GL 13 1. Esquissabilité des catégories localisables GL 13 2. Localisabilité de certaines catégories esquissables GL 17 3. Remarques GL 19 » CHAPITRE II: CATEGORIES AXIOMATISABLES AU SENS LE ANDREKA-NElv.ETI-SAIN ET CATEGORIES ESQUISSABLES GL 21 1• Esquissabilité des catégories axiomatisables. GL 21 2. Axiomatisabilité des catégories esquissables GL 24 3. Remarques GL 27 CHAPITRE III: CALCUL SYNTAXIQUE DES MODELES .. GL 31 1. Calcul des limites point par point. .. GL 31 2. Calcul des limites partielles point par point GL 33 3. Calcul des ultraproduits point par point GL 35 GL 106 4» Calcul des structures localement libres et des limites inductives locales .. « 5 • Applications. 6. Remarques page GL 45 ..... ..... ••••.. ••.... • CHAPITRE IV: CALCUL DES FORMULES INTERNES GL 65 1. Motivations et exemples 2. Diagrammes et cônes 3. Carrés exacts. ......0.. 4. Formules internes et validité 0.0 GL 65 0....,0....... GL 77 GL 79 o .....o 5* Esquisse associée à une formule interne et calcul de l'implication 6. Remarques ...••• ••..... • BIBLIOGRAPHIE GL 57 GL 60 GL 83 GL 91 GL 97 GL 104