D IAGRAMMES

R. G UITART
Extenseurs
Diagrammes, tome 3 (1980), exp. no 3, p. G1-G2
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1980__3__A3_0>

© Université Paris 7, UER math., 1980, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

Diagrammes, Vol. 3 > 1980.

EXTENSEURS.
R. Guitart«

Définition. On appelle extenseur dans une catégorie
la donnée

(A,E) , OÙ A *€ C
E: (X

C

et où, pour tous X , Y € C ,

> A ,X

> Y) !

a
avec les trois conditions:

p

1. (composabilité) si

>

> E a: Y — ; > A ,
•
P

> , alors E E a = E
a ;
q
q p
q.p

p
2. (ponctualité) si le carré

A, h

est un produit fibre, alors
5. (adjonction) si

faf

<

p
p.h'.h s p

et

E (a).h = E f(a.hf)f
^

>

—JJ—>

f

q.h.h = q , alors

satisfait

q
E (a.p.h') s E (EL (a.p)) .

Théorème. Dans un topos avec axiome du choix, les extenseurs
sont précisément les sup-treillis complets .
Esquisse de preuve. Si /7~^ est la monade des parties du topos,
un treillis complet est une
foncteur

(Kl/7

3

)°

P

/7"^ -algèbre, et donc un certain

> Eas . Mais, dans ce cas, Kl/7 5 est

isomorphe à HEL( « ) = : SPAI\T( «)/ =

, avec

G 2
(X<

U

5>Y) S (X<
V
M)
/
x
p
q
r
s '
1
si, et seulement si, il existe h et h
tels que p.h = r ,
1
q.h s s , r.h = p et s.h' = q (et en fait, pour (S à
lim finies, l'existence d'un adjoint à droite à
g
:> REL( (C ) équivaut à C topos avec axiome du choix).
x

N.B.-Ce théorème reste vrai si, dans
est remplacé par "carré exact".

2. , "produit fibre"

Inversement, on peut définir les carrés (A,E)-exacts par la
condition 2. , pour tout a .
- Dans des catégories autres que des topos, les structures
"treillis complet" et "extenseurs" peuvent différer notablement. Par exemple, dans un groupoïde, tout objet a une structure
canonique d'extenseur (donnée par E a = a.p" ) , mais n'a pas
obligatoirement de structure de treillis complet.