D IAGRAMMES C. L AIR Conditions syntaxiques de plongement. II. Prolongements de faisceaux et faisceaux associés Diagrammes, tome 3 (1980), exp. no 1, p. L1-L29 © Université Paris 7, UER math., 1980, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 3 $ 1980. C0NDITI01E SYNTAXIQUES DE PLONGEMENT. II. PROLONGEMENTS DE FAISCEAUX ET FAISCEAUX ASSOCIES. C. Lair. Introduction. En (P.F.E.K.), lorsque R: A > B est un foncteur dfune catégorie petite vers une catégorie localement petite, nous avons établi une condition nécessaire et suffisante (C), ne portant que sur foncteur Ens tout foncteur canonique F S au soit fidèle, autrement dit pour que, pour F: A u_: F le long de R > pour que l'adjoint à gauche R • • > F > Ens , la transformation naturelle de F vers son ex+onsion de Kan suit un monomorphisme. Nous supposons ici, plus généralement, que R définit un homomorphisme entre catégories munies de limites projectives. Précisément, nous distinguons dans B une classe de li- mites projectives petites: on munit ainsi B d'une struc- ture de prototype localement petit (E.T.S.A.), que l'on note /B/ . On appelle réalisation de note F': /B/ /B/ vers > Ens , tout foncteur Ens , et on F» : B > Ens qui transforme les limites projectives distinguées de en des limites projectives de Ens. On désigne par /B/ L 2 Ens'-/ la sous-catégorie pleine de Ens- dont les objets sont ces réalisations. Nous distinguons aussi dans A un ensemble de limites pro- jectives petites: on munit A petit que l'on note encore /A/ • Si R: A > B d'une structure de prototype transforme les limites distinguées de /A/ en des limites distinguées de / B / , on dit qu'il défi- nit un homomorphisme > /B/. Il induit alors /R/: /A/ Ens' R ' : E n s ^ un foncteur restriction de > Ens'-* qui est une Ens Dans ces conditions, nous recherchons une condition syntaxique (i. e. ne portant que sur gauche S à /fl/ ) pour que l'adjoint à Ens' ' , s'il existe, soit fidèle, autrement dit pour que l'on ait la propriété de plongement: (P) • Pour toute réalisation formation naturelle canonique F: / A / > Ens , la trans- u_: F •> SF.R est un mo- nomorphisme. /R/ En général, on ne peut affirmer que Ens7 ' possède un adjoint à gauche. Cependant c'est certainement vrai lorsque l'extension de Kan F de vers / A / vers F , le long de Ens est encore une réalisation de Ens , c'est-à-dire quand S : on dit alors que cette partie R , de toute réalisation /R/ S /B/ possède une restriction est un homomorphisme clos. Dans II , nous étudions le problème précédent du plongement dans ce seul cas. La définition d'un homomorphisme clos étant sémantique, pour donner quelque consistance à une condition syntaxique permettant d'affirmer que /R/ vérifie (P) , il est tout d'abord souhaitable de disposer de critères également syntaxiques propres à assurer que 1'homomorphisme /R/ L 5 est bien clos. Au §1 nous prouvons que c'est le cas si les limites distinguées de /B/ sont toutes à bases «.-petites (resp. finies et connexes, finies et discrètes) et si, alors, /A/ est "complet" pour ce type de limites. On généralise ainsi une propriété bien connue, valable pour les homomorphismes entre théories de Lawere ou types de Bénabou (voir (S.A.A.T.) par exemple). Au §2 nous établissons trois conditions suffisantes de plongement: intuitivement elles signifient que ver dans /A/ la connexité de /R/ doit rele- /B/. La première est très for- te: c'est exactement la condition (C) de (P.F.E.K.). La deuxième, plus faible, est la plus pratique et d'utilisation la plus courante. La dernière est, en un certain sens, également nécessaire comme nous l'établissons au §3: précisément, si le prolongement de convenables de /A/ /R/ et à des complétions projectives /B/ vérifie (P) alors elle vérifie nécessairement cette troisième condition. Les §§4 et 5 sont consacrés à des applications et à des exemples. Nous prouvons tout d'abord que, relativement à un foncteur d'oubli d'une catégorie algébrique (i. e. localement présentable au sens de (L.P.L.G.)) vers Ens , tout ensemble se plonge dans la structure libre qu'il engendre, dès que ce foncteur n'est pas constant sur 1 (à l'iso- morphisme près). Ensuite, nous avons choisi de re-démontrer le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt (plongeraent d'une algèbre de Lie dans son algèbre enveloppante, pourvu que l'anneau de base soit à entiers non nul inversibles) en utilisant une des conditions suffisantes du §2. Cette démonstration se trouve simplifiée de beaucoup, elle a également l'avantage d'isoler et d'exhiber explicitement le seul résultat technique propre aux algèbres L4 aux algèbres de Lie et aux algèbres associatives unitaires dont on se sert, parmi beaucoup d'autres, dans la démonstration classique (voir par exemple (R.B.W.T.)). Nous pensons que l'exemple choisi du théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt (dans le cas où l'anneau de base est à entiers non nuls inversibles) est caractéristique tant de la commodité d'utilisation que de l'efficacité des résultats de ce travail. Bien entendu, ces résultats s'appliquent aussi au théorème de Stone (plongement de toute algèbre de Boole dans une algèbre de Boole complète qui se trouve être atomique) et au théorème récent de plongement de toute catégorie double dans une catégorie double de 2-carrés d'une 2-catégorie (voir (M.FJM.C.)). Cependant, dans ces cas, la présentation à en faire est un peu plus longue et technique, c'est pourquoi nous ne les avons pas incorporés à ce texte. 1. Exemples d'homomorphismes clos. 1.1. Montrons que: (Cl 1 ) . Si /B/ est clos. Supposons, en effet, que F: /A/ > Ens est une L5 réalisation. Il s'agit de prouver que F est encore une ré- alisation du prototype /B/ vers Ens. Pour ce faire, supposons que B s lim( ^f : I. > B) est une limite projective distinguée de /B/. Notons la limite projective canonique de des familles F.*? : c'est l'ensemble -> F.*? I)- (Yz: 1 pour toute flèche i: L > I' ,- telles que, de I , le diagramme ci- dessous commute: J F. ^ I -> F. ? I1 I F.f i Evidemment, il existe une unique application telle que, pour tout objet I de g: FB — > L I , le diagramme ci-des- sous commute: Fpr^j Montrons que éléments de FB g est injective. Soit y et y1 deux : en vertu de la construction de F (rap- pelée en (P.F.E.K.), dont nous reprenons les notations) y et y' objets sont les composantes connexes respectives de deux (b,A,x) et (b',A',x') de il existe alors, pour tout objet 1/F/B . Si g(y) =:g(y»), I , un zig-zag L6 ZT: z I > 1/F/f I "bel que: nj z n_ :—•> "l/F Z T -> ' •1'/*P'/»f I" canonique ' ' » nannnimis 1 > > ay-1 » ' (A,x) > (A',x«) et n_ Z_ ' '» canonique 1I »» ——î> 2a,.+1 « — — • Soit J" (proJ I1 .b , ,A') la catégorie obtenue en identifiant à un même ob1 des catégories et en identifiant à un mime objet fc« les différents "derniers" objets 2n_+1 alors un unique foncteur tout objet Comme I également ve (projj.b.A) -> jet les différents "premiers" objets z ' des catégories z^ Z": J" tel que, pour > A . Il existe I , le diagramme ci-dessous commute: est est infini, J" est possède une limite projecti- /A/ . Comme F est une réalisa- L7 tion, il existe une unique application telle que, pour tout objet I x": 1 et tout entier > FA" 1 ^ p ^2n_+1 , le diagramme ci-dessous commute: -> FA" (où l'on a posé: -> I/P/ 4> i -> 1/P canonique -> i — P En particulier (pour p = 1 ou x I.P p = 2n_+1 ) , le diagramme ci-dessous commute: (*) FA I' , le diagramme ci-des- L 8 RA" Rproj ca RA' projp.b' Donc, si pour tout objet I on pose V j = projj.b.Rproj1 = projj.b' .Rproj^ il existe une unique flèche b": RA" > B , de B tel- le que le diagramme ci-dessous commute: b" RA" En particulier, ceci assure que le diagramme ci-dessous commute: RA" (**) L9 De la commutation de (*) et (**) 0 n déduit que (b,A,x) et (b',A',x') sont dans la même composante connexe de donc que y s y1 . Ceci signifie bien que g Montrons, maintenant, que suffira à établir que g g est une bijection et donc que FB F. *f est encore une réalisation de /B/. (yx: 1 est injective. possède une section, ce qui est une limite projective de Si 1/F/B , > F. ^ I j j 6 o b I , autrement dit que F est élément de L , par construction on peut choisir: - pour tout objet I , un objet L x-: 1 et une flèche bji HAj > FA- de A , une application ^fl de B tels que le diagramme ci-dessous commute: RAj » FHAj u. ,Ai > F.fl = Fb. - pour toute flèche i : I > I' , un zig-zag > 1/F/ *f I' t e l que: Z. : z i n n. Z. i 1 ->i/p/^ r -> 1/F canonique i *- 2n.+1 >• > X, "> x jt i et -a 1 Z l »- 2^+1 *- •>i/p/1)r i :—-> R/?r canonique L 10 Désignonc par J la catégorie obtenue en identifiant, pour tout diagramme I . > I' objet v au "dernier" objet ° 1 de z„ ••. t > I" de i: I 2n,+1 i de z n. .11 i Z: J — — > A existe donc un unique foncteur toute flèche I , le "premier" tel que, pour > I' , le diagramme ci-dessous commute: injection Comme I est C^-petite et ment C<. -petite et distinguée dans vers Z I' > FA et tout en- 1 ^ P 4* 2n.+1 , le diagramme ci-dessous commute: -> FA Fproj iiP ^ l^ FZ.p i^ (où n. i P *- K > ^M f i' Z. i /à/ r~-> 1/F canonique ifP L 11 En particulier, pour tout objet I , le diagramme ci-dessous commute: > FA 1 Des raisons claires de connexité assurent aussi que, pour toute flèche i: I > I' , le diagramme ci-dessous com- mute: -> ?I RA Rprojj, -> f I On en déduit qu'il existe une unique flèche de B rendant, pour tout objet > B I , le diagramme ci-dessous commutatif, où l'on pose b'^. = bj.Rprojj RA -> B >V£ b: RA kî prc proj1 fi : L 12 Ainsi, on a construit une application g': L > FB : c'est celle qui associe à la famille (y T ) T « hT t appartenant à L , la composante connexe de (b,A,x) ~dans 1/F/B . Par construction, on vérifie facilement que g' est bien une section de g . 1.2. Dans la démonstration précédente, on remarque que, si I est une catégorie finie connexe non vide, les foncteurs Z" et Z possèdent des limites projectives dans A qui se calculent par une succession (finie) de produits fibres. Même si ces limites ne sont pas distinguées dans / A / , elles sont nécessairement transformées en des limites de Ens par toute réalisation F: /A/ > Ens , dès lors que les produits fibres sont distingués dans /A/ (voir aussi la remarque 3*1 du §3) • En conséquence, nous pouvons également affirmer que: (Cl 2 ) . Si A est une catégorie petite à produits fibres (resp. à produits fibres et possédant un élément final), si /A/ est une structure de prototype petit sur A pour lequel les produits fibres (resp. les produits fibres et cet élément final) sont distingués » si B est une catégorie localement petite, si /B/ est une structure de prototype sur B pour lequel les limites projectives distinguées sont indexées par des catégories finies connexes non vides (resp. des catégories finies et connexes), alors tout homomorphisme /H/: /A/ > /B/ est clos. 1.3« Remarquons, enfin, que dans la démonstration de 1.1 , si I est discrète et finie, alors I = J et il suffit que A soit à produits finis, distingués dans /A/ , L 13 pour que Z possède une limite projective et donc pour que g: FB > L admette une section. Dans ce cas, on adapte facilement l'argument qui permet aussi d'affirmer que g est injective, afin de n'utiliser que des produits finis de A . Autrement dit, on retrouve la condition suffisante bien connue (voir, par exemple, (S.A.A.T.)) que nous énonçons sous la forme: (Cl 3)* Si si A est une catégorie petite à produits finis. / A / est la structure de prototype obtenue en ne distin- guant que ces produits finis. si lement petite, si /B/ B est une catégorie loca- est une structure de prototype pour lequel seuls des produits finis sont distingués, alors tout homomorphisme / R / : /A/ > /B/ est clos. 2. Conditions syntaxiques suffisantes de plongement pour les homomorphismes clos. 2.1. Si / A / est un prototype petit, si totype localement petit et si /R/: /A/ /B/ est un pro> /B/ est un ho- momorphisme clos, une première condition suffisante assurant que la propriété (P) de plongement est vérifiée s'énonce (en reprenant les notations de (P.F.E.K.)): (C 1 ) . Pour tout objet fermé en A de A , tout zig-zag A , est image par le foncteur canonique d'un zig-zag R.Z de que B/RA X de A/A , fermé en B , fermé en >B R de A , A/A -"—">A 1. , dès que le zig-zag RA , est image par le foncteur canoni- d'un zig-zag Y de Ceci est^évident: si 1'homomorphisme le foncteur Z B/RA , fermé en 1 /R/ vérifie . (C 1) , vérifie la condition (C) de (P.F.E.K.); l'ad- L 14 R — joint S à Ens est donc fidèle et sa restriction S également, ce qui assure bien que (P) est satisfaite. 2.2. La condition (C 1), rappelée ici pour mémoire, est évidemment trop forte en pratique: S peut être fidèle sans que S le soit. Nous devons donc établir une condition sus--ceptible d'être plus facilement utilisable. Ainsi, si /À/ est un prototype petit, si /B/ est un prototype localement « petit et si /R/: /A/ > /B/ est un homomorphisme clos, une deuxième condition suffisante assurant que la propriété (P) de plongement est satisfaite s'énonce: (C 2 ) . Pour tout objet A de A , tout zig-zag Z de A . fermé en A , et tout zig-zag Y de B/RA , fermé en 1-^ , d'image R.Z par le foncteur canonique B/RA > B , il existe une limite projective A = lim(^ : ,1 > A) distinguée dans /A/ et, pour tout ob.iet I de I , il existe >v?1 , > A . un zig-zag X. de A / ^ I f fermé en proj-: A d'image Z par le foncteur canonique A / ^ I En effet, supposons (C 2) vérifiée et soit F: /A/ > Ens une réalisation. Comme /R/ est clos, F est construit comme en (P.F.EJC.) dont nous reprenons les notations. Soit A un objet de A et x,x' : 1 > FA deux éléments de FA tels que u-A(x) S UpA(x'). Par construction, il existe un zig-zag Z': z > 1/F/RA tel que: - le zig-za* Y: z^ — r » mé en 1-RAA , */** V^/RA canonique> 1/F/RA 1 I canonique > > ^ x 2n+1 1 > x1 - on a zn — > est fer- L 15 Posons Z: * n — y * 1/P/RA ^ ^ il existe une limite projective ^ 1/P . Par hypothèse A = lim( ^? : I — ->A) <— distinguée dans /A/, et pour tout objet I le zig-zag X_: z > A/^f I . Par connexité, on en déduit que, pour tout objet I , le diagramme ci-dessous commute: P.*fl Comme F est une réalisation, on sait que FA = lim F. En conséquence x s x' et u-A est bien une application in- jective. D'où notre affirmation. 2.3» Concrètement, il est très souvent commode de tester si (C 2) est vérifiée ou non, de plus, les cas où elle l'est sont nombreux. De ce point de vue pratique (C 2) est donc assez satisfaisante. Cependant, on ne peut s'en contenter complètement: lorsqu'on énonce une condition suffisante, on souhaite évidemment qu'elle soit, sinon nécessaire, du moins "la plus proche possible" d'une condition nécessaire; ce n'est pas le cas de (C 2). Nous allons donc énoncer une troisième condition suffisante (qui, elle, est "nécessaire par passage aux types de /A/ et /B/ " , comme nous le montrons au §3 )• A cet effet, si A (resp. /A/ ) est une catégorie peti- te (resp. un prototype petit dans lequel on peut toujours supposer que les objets sont des limites projectives triviales distinguées), nous notons Cat//A (resp. Cat// /A/ ) la L 16 catégorie pour laquelle: - les objets sont les foncteurs j : I > A (resp. les foncteurs \ :I > A possédant au-moins une limite projective distinguée dans /A/ ) , où I est une catégorie petite, - les flèches sont les couples (V,v): (^>: I > A) > (^': V tels que V: I. ' > I est un foncteur et v: ^ .V est une transformation naturelle. > A) > Y' Dans ces conditions, nous notons Lim: Cat// /A/ > A un foncteur choix de limites projectives distinguées dans le prototype /A/ . En adaptant convenablement la preuve de la suffisance de la condition (C 2) , on prouve facilement que, si /A/ est un prototype petit, si /B/ est un prototype localement petit et si /R/: /A/ ^ /B/ est un homomorphisme clos, une condition suffisante assurant que la propriété (P) de plongement est satisfaite s'énonce: (C 3)« Pour tout objet A de A , tout zig-zag Z: z —•> A fermé en A , et tout zig-zag Y: z > B/RA , fermé en IRA et d'image R.Z par le foncteur canonique B/RA ^ B , il existe un zig-zag W: z > Cat//z , il existe une " m n " limite projective A = lim( ^f : I, :> A) , distinguée dans /A/ , et pour tout objet I de I il existe un zig-zag Xx: z > kl I , fermé en projT: A •> \ I , tels que: —* . • i •• -1 on ma W 2 y Cat//z m n i « -> co - T ~ > zn) 2n»1 » > C î 2nTT> V> L 17 - le foncteur z -77—*> Cat//z m W " n rr: composition par est à valeurs dans Z Cat// /A/ . - le foncteur z .. > Cat//z m W " n rrr> Cat// / À / 7-7—•> A composition " ' —' Lim — par Z est, pour tout objet > Cat//A "— <-* I , égal au foncteur z — >A/fl m X—' 3. Remarques. • >A canonique — 3.1. Si /A/ est un prototype, on dit qu'une limite projective de A est contrainte par /A/ si, et seulement si, toute réalisation F: /A/ *> Ens la transforme nécessairement en une limite projective de Ens. Evidemment, les limites projectives distinguées dans /A/ sont contraintes mais l'inverse n'est pas toujours exact: ainsi, les objets de A sont des limites projectives (triviales) nécessairement contraintes; de même, une limite projective de A qui se calcule par une succession de limites distinguées dans /A/ est contrainte. Dans ces conditions, on peut systématiquement remplacer, dans les énoncés (Cl 1), (Cl 2) et (Cl 3) du §1 et dans les énoncés (C 2) et (C 3) du §2 , "limites projectives distinguées dans /A/ " par "limites projectives contraintes par /A/ " , ce qui donne des conditions plus L 18 faibles et parfois plus pratiques. Par contre, il n'est d'aucune utilité d'opérer cette substitution pour le prototype /s/ • 3.2. La condition (P) peut s'affaiblir en la condition (P.) , relative au seul objet A (P.). Pour toute réalisation lisation S(F): /B/ > Ens fixé dans F: /A/ A , suivante: > Ens , la réa- en est un prolongement lo- cal en A , c'est-à-dire que u_A: FA >S(F)(RA) est un monomorphisme . Lorsque /fl/ est clos, il est clair que les conditions (C 1), (C 2) et (C 3) du §2 se relativisent en autant de conditions (C 1 ) , (C 2 .) et (C 3 ) (que nous laissons au lecteur le soin de formuler) suffisantes pour que (P.) soit vérifiée. Notons aussi que, lorsque Lawvere dont A /A/ est une théorie de est l'objet "générique", les conditions (p) et (P.) sont équivalentes. De même, les conditions (C 1) et (C 2) le sont aussi. 3«3» Soit E une catégorie complète et co-complète. On dit que l'homomorphisme /R/: /A/ ^ /B/ est E~ clos si, et seulement si, /A/ est un prototype petit, /B/ est un prototype localement petit et l'adjoint à gauche S- à E possède une restriction S E : E'-' > j/—'. Dans ces conditions, on vérifie sans difficulté que, si E est à petites limites inductives séparantes (au sens de (P.F.E.K.)) et si /R/: /A/ > /B/ est E-clos, les conditions (C 1), (C 2) et (C 3) sont également suffisantes pour que: L 19 ( P m ) . Pour toute réalisation E lisation associée S E (F): /B/ F: / A / —5> E > E , la réa- en est un prolonge- ment. 3.4« Supposons que A' et B' sont deux catégories pe- tites 0<,-complètes, où /A'/ et les (X-limites projectives. On dit alors que /B'/ sont des Si /B'/ C/v est un cardinal infini. Notons les prototypes obtenus en distinguant toutes /A'/ et 01-types petits. /R'/: /A'/ > /B'/ est un homomorphisme, il est nécessairement clos en vertu de (Cl 1), Supposons que l'adjoint à gauche tion de l'adjoint à gauche que /R'/ S' de ./*•/ S' de Ens 7 " ' (restricR' Ens ) soit fidèle, i.e. vérifie la condition (P). Alors R' est fidèle, car le diagramme ci-dessous commute: A' Yoneda -> (Ens^'Z)05 R1 S« o p B' Si Z et Y Yoneda sont des zig-zags de dans (C 3) * le foncteur Z: z mite projective A extrêmes L dans R' A' et B'/R'A comme •^ A1 possède une li- pour laquelle les projections ,proJ1 , proJ 2 n + 1 : L[ sont égales, car ->(W^/)op •> A = Z(1) = Z(2n+1) est fidèle et, par connexité, le diagranme ci-dessous commute dans Bf: R'proj R'proj 2n+1 H'A Si, maintenant, on pose: - zA W: -> -> 3 ) ' ( V > ('Û Cat//z n -> z < n U) 4 - A = lira (A: O > A») , - -> A'/A X. 0" "1 ( 1< 2 -> 3 ) J z Ar n prox ->(A<- proj 2n+1 ->A) = / v =°h proj 2n+1 V 1A AU (où 0 est l'unique objet de A *U ) , on prouve donc que (C 3) est nécessairement vérifiée par tout homomorphisme entre Ck -types petits qui vérifie (P). I» 21 Si /R/: /A/ > /B/ est un homomorphisme entre prototypes tous deux petits et si (X est un ordinal régulier "suffisamment grand", nous notons A' (resp. B' ) la duale de la sous-catégorie pleine de la catégorie E n s ' ^ (resp. /B/ Ens — ) dont les objets sont les objets C/\-présentables (au sens de (L.P.L.G.)). Alors A1 (resp. B' ) est petite et 0< -complète: elle détermine donc un 0<.-type /A'/ (resp. /B'/ ) et l'on dispos? d'une réalisation canonique y/A/- /à/ > /Af/ (resp. y / g / : /B/ > /B'/ ) , qui est une restriction du plongement de Yoneda, telle que J /B/ Ens Ens7 (resp. Ens '—' ) est une -> W équivalence. Enfin, /R/: /A/ -—•^ /B/ se prolonge en un 1 homomorphisme /R /: /A'/ /B'/ : c'est une restricop 05 tion de S : ( E n s ^ — > ( E n s ^ ) 0 * et il rend le diagramme ci-dessous commutatif : /i/ ->/B/ /H/ 7V 7B/ /A»/ /R'/ ->/2»/ Dans ces conditions, si /R/ vérifie (P), 1 'homomorphisme /R'/ est clos et vérifie (P), donc il vérifie aussi (C 5 ) , d'après précédemment : cette condition est donc bien nécessaire par passage aux Ck-types (pour &. oonvenable) des prototypes fkj et /B/. 3*5* Bien entendu, les différentes remarques précédentes peuvent être combinées simultanément. L 22 4« Applications. 4«1» Soit / A / = 'Q le prototype obtenu en ne distin- guant aucune limite projective particulière sur la catégorie ^Q . Supposons que /B/ est un autre prototype localement pe- tit pour lequel les seules limites projectives distinguées sont finies connexes et non vides. Si de B est un objet fixé B , il détermine un unique homomorphisme tel que R(o) = B et, alors, est le foncteur évaluation en Ens' ': Ens'-^ /R/: 'Û > /B/ AJ Ens > Ens B . D'après (Cl 2) , affaiblie par la remarque 3.1, /R/ est clos, de plus (C 1) (ou (C 2)) est trivialement vérifiée. Nous pouvons donc énoncer: - si /B/ est un prototype localement petit où seules des li- mites projectives finies connexes et non vides sont distinguées, tout ensemble se plonge dans la structure libre de type /B/ qu'il engendre relativement à tout foncteur d'évaluation de Ens 7 —' Ens. vers 4.2. Soit /A/ SS / N o p / le prototype obtenu en distin- guant tous les produits finis dans la duale de la sous-catégorie pleine N de Ens dont les objets sont les entiers. Ce prototype est une théorie de Lawvere et, bien entendu, les ca/ N op/ tégories Ens et Ens7 — ' sont équivalentes. Supposons aussi que /B/ est une autre théorie de Lawvere: il existe alors un unique homomorphisme /R/: / N p / — — > /B/ qui préserve les objets (i.e. les entiers). Evidemment, /R/ /B/ / N op/ Ens' ' : Ens'^ y Ens7 — ' *J Ens est le foncteur d'ou- bli canonique et, en vertu de (Cl 3)> /R/ est clos. Soit Z et Y deux zig-zags comme en (C 3 ) • Posons L 23 1 =5 lim (z op —> n ~> 7°P N r> Ens) ; c'est, bien sûr, — canonique un ensemble fini dont on peut toujours supposer que c'est un entier. Alors on vérifie facilement que 1 mite projective contrainte de P la remarque Z dans / N ° / , au sens de 3«1 . On en déduit, par connexité, que le dia- gramme ci-dessous commute dans B : proj Si R est une li- 2n+1 Nop est fidèle, ce même diagramme commute aussi dans et la condition (C 3)> affaiblie par la remarque 3*1» est vérifiée. Comme R est fidèle si, et seulement si, 1 est pas isomorphe à - si /B/ 0 dans B , nous pouvons énoncer: est une théorie de Lawvere pour laquelle n'est pas isomorphe à 0 n' (i.e. si tégorie des ensembles de cardinal Ens7—' 1 n'est pas la ca- 1 ) , tout ensemble se plonge dans la structure libre de type /B/ relativement au foncteur d'oubli canonique de qu'il engendre Ens 7 — 7 vers Ens . 4.3* Le résultat de 4*1 est établi pour fournir une classe d'exemples élémentaires d'application de (C 1) ou (C 2) L 24 Il suggère l'énoncé 4*2 qui est son analogue dans le cas des théories de Lawvere. On remarquera, cependant, que celui-ci ne peut s'établir à l'aide de (C 1) ou (C 2): on prouve ainsi l'aspect également pratique de (C 3) $ dont l'intérêt théorique a été établi en 3 A * Cependant ces deux résultats sont aussi des conséquences indirectes d'un résultat plus général qui se démontre exactement comme en 4.2 et que nous allons énoncer maintenant. Soit C* un cardinal infini. On désigne par /A/ le C^-type (voir 3»4) obtenu en distinguant toutes les /B/ tel que R(l) = B 7 7 7 7 7 et Ens : Ens — > Ens —'ru Ens est le foncteur évaluation en B . Alors: - tout ensemble se plonge dans la structure libre de type /B/ qu'il engendre relativement à tout foncteur d'évaluation de Ens 7 -' vers Ens , pourvu que l'objet en lequel on évalue ne soit pas final dans B . 4«4* Il est clair maintenant que, par analogie avec 4*3 et en vertu de la suffisance de (C 3) et de sa nécessité aux types (voir 3«4)> nous pouvons énoncer: - (test standard de plongement) si <& est un ordinal régulier, ai cft et (8 sont deux catégories localement C^présentables (au sens de (L.P.L.G.)) et si S: ofr !> ** L 25 est un foncteur préservant les ob.iets mettant un ad.ioint à droite S soit fidèle (i.e. plonge dans oC-présentés et ad> c%* , pour que T: v3 pour que tout objet P de Cfk se T.SP ) il faut et il suffit que sa restriction aux sous-catégories pleines de ob.iets les objets cJ£ et tfo ayant pour (X-présentés soit fidèle. 5. Exemples. 5«1» En particularisant le prototype /B/ utilisé tant en 4.1 qu'en 4»2 , on obtient nombre d'exemples élémentaires pour lesquels les critères (C 1) ou (C 2) et (C 3) sont d'application immédiate et facile. 5.2. Plus significativement, re-démontrons le théorème de Poincaré-Birhoff-Witt: (P.B.W.). Si nant Q H est un anneau commutatif unitaire conte- comme sous-anneau commutatif unitaire, toute gèbre de Lie se plonge dans son H-al- H-algèbre associative uni- taire enveloppante (voir par exemple (R.B.W.T.)), Il nous faut, tout d'abord, traduire dans le cas particulier qui nous préoccupe les considérations générales qui /R/ 7 concernent tout foncteur algébrique (i,e. de la forme Ens Pour ce faire, pour tout entier n € N , on note B H-algèbre associative unitaire libre à n générateurs la x x p , ... , x ), 1 . Ses éléments sont donc les polynômes non com- mutatif s mais associatifs, à coefficients dans déterminées 7 x , x- , ... , x H , en les in- . D e même, on note algèbre de Lie libre à n générateurs A la x 1 , x^ , • • • » x H. Ses L 26 éléments sont donc représentés (mais non canoniquement) par les polynômes non commutâtifs et non associatifs (i. e. munis de parenthèsages), à coefficients dans nées x , Xp , ... , x H , en les indétermi- . Plus suggestivement, plutôt que d'utiliser des parenthèses pour écrire ces polynômes, nous utiliserons évidemment- des crochets. Si <$• (resp. (¾ ) désigne la catégorie des gèbres de Lie (resp. des la théorie de Lawvere Lie (resp. des H-al- H-algèbres associatives unitaires), /A/ (resp. /B/ ) des H-algèbres de H-algèbres associatives unitaires) est telle que A (resp. B ) de cfè (resp. Ch ) les B ) . Si n ' <& U: est la duale de la sous-catégorie pleine dont les objets sont les > (B A (resp. est le foncteur " H-al- gèbre associative unitaire enveloppante associée", la restriction de U p /R/: /A/ > /B/ à A et B définit un homomorphisme Ens7 7 pour laquelle est le foncteur "H-algèbre de Lie associée" , qui est adjoint à droite de Dans ces conditions, si me de Q: A — — > A U. est un morphis- <& , il est entièrement déterminé par ses valeurs Q(x.) = Q. , lorsque 1 £ i ^ n . Chacun des Q. est donc représenté par (au-moins) un polynôme non associatif et non commutatif (que l'on choisit) noté Q. T x, , ... , x "\ i - De même, si P: B > B n il est déterminé par les P. i 43 > m P(x.) = P . ,si 1 £ i £ n . Ces sont des polynômes associatifs et non commutatifs notés P.(x. , ... , x ) . Enfin, lorsqu'à tout A m- est un morphisme de est associé son développement xx'-x'x sait associer à chacun des polynômes son développement Tx , x'J. dans B de , on Q. £ x. , ... , x J Q.(x. , ... , x ) ; ainsi: i l m - ceci définit, pour tout entier m , une représentation li- L 27 néaire r : A m m > B m i i - si le morphisme Q: A l a famille n , ... , x 1 (Q £ X i 9 ——————> l est représenté par m ). x m est représenté par la famille A - , alors U(3) i ^ i -¾. n (¾. (x , ... ,x )). . . . Outre ces considérations qui se bornent à interpréter, dans le cas particulier considéré, les généralités propres à tout homomorphisme entre théories de Lawvere (ou même entre prototypes) rappelons maintenant le seul résultat attaché à 1'homomorphisme particulier choisi /R/ que nous allons uti- liser dans la suite et que l'on démontre facilement de manière purement combinatoire (voir par exemple (A.L.E.N.)): (L)• Pour tout entier non nul q , il existe une unique ap- plication H-linéaire entier non nul p t :B î> A telle que, pour tout et toute application ait: VXI(D ••• X 1: p > q on KP)} p'=p S (-0^(^)-^.)- 1 x c*l(s(1)) Pfp (ce qui a bien un sens car l'anneau admet â ^.u? f commutatif unitaire H comme sous-anneau commutatif unitaire). où l'on a posé: - pour tout a £ A et toute famille La-j> ••• »ap-* = -si s , Ta3 = a (a.)„ M . . i 1< i^ P et, pour tout entier d'éléments de semble des intervalles Jp^p'+I* , q LC a -|» ••• »ap_-)3 »ap-i est une permutation de A p > 1 * S1, ... ,p^ ••• tP"^ de , C est l'en- ^1, ... ,p*} L 28 s(p') < s(p!+l) £ ... £ s(p") tels que - si s est une permutation de , 4.1, ... f p$ f D est l'ens semble des éléments maximaux de C , s f - G f est l'ensemble des permutations de telles que Card D = p' . Alors, pour tout entier q non nul, on a Ceci permet de définir un foncteur inverse à gauche de R: A *> B R' : B : £1, ... ,p} t .r = 1. . q q q ~> A qui est - si P: B > B est représenté par la famille n m (P.(x. , ... , x )). y . . , alors R'(P): A > A v ix 1 ' ' nr'1 < i ^ n ' ' n m est représenté par la famille (t (P.(x„ , ... > x )))* s - s m i l On en déduit, évidemment, que /R/ vérifie m i^i^n (C 1) • La présente démonstration du théorème de PoincaréBirkhoff-Witt (sous sa forme de propriété de plongement) est réellement syntaxique, malgré les apparences. Elle n'utilise comme seul résultat attaché en particulier aux algèbres de Lie et aux algèbres associatives unitaires que la propriété (L) • Dans les démonstrations classiques, cette propriété (ou certaines de ses variantes) est utilisée ... mais avec nombre d'autres: ces dernières sont donc inutiles; plus exactement, elles ne sont qu'une traduction (involontaire) des considérations syntaxiques des §§ 1 et 2. Bibliographie. (A.L.E.N.) J. Dixmier, Algèbres enveloppantes, Cah. scient., fasc. XXXVII, Gauthier-Villars, Paris, 1974. (E.T.S.A.) C. Ehresmann, Esquisses et types de structures algébriques, Bul. Instit. Polit.,-Iaçi, XIY, 1968. L 29 (L.P.L.G.) P. ïïlmer, Locally o^-présentable and locally oC-generated catégories, Lect. Notes in Math. 195» Springer, 1971. (M.P.M.C.) A. et C. Ehresmann, Multiple functors IV, Cah. de Top. et Géom. Diff. XX,1 , Amiens 1979. (P.P.E.K.) C. Lair, Prolongement de foncteurs I , Diagrammes 2 , Paris, 1979- (R.B.W.T.) P. M. Cohn, A remark on the Birkhoff-Witt theorem, Journ. of the London l'iath. S o c , 38, 1963« (S.A.A.T.) F. W. Lawvere, Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic théories, Lect. Notes in Math. 61, Springer, 1968.