D IAGRAMMES J. P ENON Théories de catégories Diagrammes, tome 2 (1979), exp. no 4, p. P1-P54 © Université Paris 7, UER math., 1979, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, vol.2, 1979« THEORIES DE CATEGORIES, Par J.PEHDN Introduction, * Toutes les théories (au sens de la théorie des modèles) définies et étudiées jusqu'à ce jour sont des théories "d'ensembles", à l'exception des travaux du groupe de recherche "logique et catégories" à Marseille-Luminy. Nous voulons dire par là qu'un groupe, un anneau ou un espace vectoriel, par exemple, sont avant tout des ensembles. Tout cela n'est d'ailleurs pas très étonnant, vu que la "théorie des ensembles" a pour but d'être un support à la totalité des mathématiques. Aussi est-ce naturel de penser que, comme pour les autres théories, la théorie des catégories est, elle aussi, une théorie d'ensembles. Il est vrai qu'elle l'est devenue aujourd'hui, même si cela s'est fait pratiquement avec quelques difficultés (théories des classes ou axiomes des univers). On peut toutefois formuler deux reproches à la théorie des catégories considérée comme une théorie d'ensembles. - Le premier est d'ordre syntaxique. Dans cette théorie, les objets et les flèches (même s'ils sont dissociés, comme on peut le faire dans les théories à plusieurs sortes) sont traités de la même façon. Aussi, par exemple, peut-on faire indifféremment des égalités entre flèches ou entre objets. Or tout "catégoricien" sait bien, pratiquement, qu'il ne se sert presque jamais de l'égalité entre objets, l'isomorphie la remplaçant partout où il n'y a pas identité, - Le second reproche est d'ordre sémantique. Réalisons en effet, non pas dans les ensembles (qui masquent les difficultés) mais dans un topos quelconque. Quand nous voulons dire par exemple qu'une catégorie admet un objet final, deux formulations se présentent à nous: P.2 La première consiste à ajouter au langage des catégories un nouveau symbole de constante "1" de sorte "objet" puis à ajouter aux axiomes des catégories un ou plusieurs nouveaux axiomes signifiant que 1 est objet final. Dans la seconde formulation, on n'ajoute aucun symbole au langage, mais on signifie par l'apport de un ou plusieurs nouveaux axiomes à la théorie qu' "il existe un objet" vérifiant la bonne propriété. Or il est regrettable de constater que ces deux formulations ne sont pas équivalentes, l'axiome (SS) (voir o) étant nécessaire pour prouver dans le topos où l'on réalise que la seconde formulation entraîne la première. A ce niveau là, le théoricien des catégories se pose la préoccupante question de savoir si, dans la pratique mathématique, on fait ou non, plus généralement, des choix canoniques de limites (problème posé par R.Paré au colloque de New-York en 75/76). Les deux remarques précédentes, qui sont évidemment liées, devraient nous inciter à mettre en doute l'aspect ensembliste des catégories. Signalons à ce sujet que seule la première de ces deux remarques a suffit à G.Blanc et à A.Preller pour reformuler la théorie des catégories (voir 3 et 1,) en abandonnant son caractère ensembliste, leur principal guide étant la "pratique catégorique". Notre approche est différente puisque, depuis plusieurs années, nous étions en présence de "bons modèles" de la "théorie des catégories" (comme on peut parler de la "théorie des ensembles", ce qui est une façon imagée et incorrecte de parler de la théorie des univers). Ces "bons modèles" étant à n'en pas douter les 2-catégories des fibrations sur une catégorie donnée et des champs sur un site donné (voir 6). Et c'est la présence de pseudo-produits fibres et d'une pseudo-adjonction cartésienne et non de "vrais" produits fibres et d'une "vraie" adjonction cartésienne qui nous a rendus à l'évidence. Que fait-on en effet dans un produit fibre de catégories si ce n'est égaliser des objets aussi bien que des flèches. * Le but de ce présent exposé est tout d'abord de donner une définition précise et simple de ce que nous entendons par "théorie de catégories", puis, et surtout, de montrer comment on peut réaliser P.3 non plus dans des catégories comme pour les théories d'ensembles, mais dans des 2-catégories. Ainsi les langages de catégories, en véhiculant l'intuition catégorique habituelle, vont donc trouver naturellement leur terrain d'application dans l'étude des 2-catégories. Dès lors, ce ne sera plus la peine de raisonner dans celles-ci sur de fastidieux "diagrammes dans l'espace". On peut espérer aussi que les problèmes de cohérence qu'elles engendrent presque inévitablement disparaîtront du même coup. Mais l'intérêt est encore autre puisque, grâce à ces langages, il est maintenant possible de définir dans une 2-catégorie suffisamment générale toutes les structures catégoriques habituelles, comme par exemple la structure cartésienne ou monoïdale fermée, et même la structure de topos , ce qui n'avait pu être fait jusque là. * Avant de terminer cette introduction, nous voulons mettre en garde le lecteur contre une terminologie qui, s'étant voulu légère, peut toutefois prêter à confusion si on considère une 2-catégorie comme une catégorie enrichie particulière, car tel n'est pas notre point de vue: nous les traitons plutôt comme des bicatégories. Aussi, par exemple, lorsque l'on voit écrit "produit" ou "produit fibre" il faut toujours penser "pseudo-produit" ou "pseudo-produit fibre". P.4 Section 0. GENERALITES ET TERMINOLOGIE. * Soit K une 2-catégorie et f :A — ^ B une flèche de K. On dit que f est une équivalence s'il existe une flèche g:B — > A et des 2et f .g — M d - . Deux objets A et A1 de f lèches inversibles g.f —!>Id K sont dits équivalents s'il existe une équivalence A — > A f , en notation : Afc*A'. Remarque: de même que dans les catégories "tout" se fait à isomorphisme près, de même toutes les définitions et toutes les propriétés qui seront données ici seront stables par équivalences. * A et B étant des 2-catégories, un homomorphisme F:A — > B consiste en la donnée: - pour tout objet X de A , d'un objet FX de B , - pour toute flèche x:X — > Y , d'une flèche Fx:FX ~5>FY , - pour toute 2-flèche u :x —>x':X —->Y , d'une 2-flèche Fu :Fx —£Fx':FX — > F Y , - pour tout objet X de A, d'une 2-flèche inversible F x : I ^ X ^ F I d X - pour tout couple de flèches composables X -£->Y -2~>Z , d'une 2-flèche inversible F/ N:Fy.Fx ^F(y.x). Toutes ces données doivent vérifier des axiomes de cohérence "naturels". * On construit ainsi une nouvelle 2-catégorie, notée B =,qui a: - pour objets, les homomorphismes A — ^ B , - pour flèches t:F — ^ G , les données: 1) pour tout objet X de A, d'une flèche tX:FX — > G X , 2) pour toute flèche x:X — » Y , d'une 2-flèche inversible tx:Gx.tX >tY,Fx, ces données vérifiant avec celles de F et G des axiomes de cohérence. - pour 2-flèches u :t —^t':F — > G , les données: pour tout objet X de A , d'une 2-flèche uX:tX —:>tX' vérifiant avec les don- nées de t et f un axiome de cohérence. * C étant une 2-catégorie, on notera C o p la 2-catégorie obtenue en changeant le sens de ses flèches, et non de ses 2-flèches. C° P * C étant une 2-catégorie avecïïompetits, notons C = Cat = P.5 A On construit un homomorphisme (strict) (-):£ ? C en posant pour chaque objet S de C, (s)(-) » C(-,S). Lemme de Yonéda: pour tout objet F de C, le foncteur canonique y: C((S),F) ^FS défini sur les objets par y(t) = ts(ldg) est une équivalence. L'équivalence "inverse" z:FS >c((s),F) étant définie par f z(a)S'(k) = Fk(a) où a € |FS| et k : S — » S est une flèche de C. Un homomorphisme F : C o p — > C a t est dit représentable s'il existe un objet S de C tel que F « (S). Une représentation de F est alors un couple (S,s),où S € |Cjet s € FS, tel que, pour tout objet S', le foncteur canonique C(S',S) >FS' soit une équivalence. Ce foncteur n'est autre que le foncteur z(s)S'. (S,s) et (S',s') étant deux représentations d'un même homomorphisme F Ç |C(, il existe une équivalence k:S' >S telle que F k ( s ) ~ s'. * A et B étant des 2-catégories, on dit qu'un homomorphisme F:A — > B admet un adjoint à droite si pour tout objet B de B l'homomorphisme B(F(-),B):Aop—$>Cat est représentable. On construit alors (en utilisant l'axiome du choix) un homomorphisme G:B — > A et une flèche £ :F.G — > I d D tels que pour tout objet B de B , (GB, £ B ) soit une représentation de" B(F(-),B). Si G':B — > A est un autre homomorphisme et Gf:F.G' —^IdL une autre flèche vérifiant les mêmes conditions, il B -D existe alors une~"équivalence k:G' — > G dans A = telle que fc.Fk^fc'. Le ce fait on dit que G est "I'"adjoint à droite de F. A, B et C étant des 2-catégories et F:A — > B f G:B — ^ C des homomorphismes, F et G admettant des adjoints à droite, alors il en est de même de 1 'homomorphisme composé G.F:A — ^ C , et si F',G' et (G.F)' sont les adjoints à droite respectifs de F,G et G.F, on a 1' équivalence (G.F)'£> F'.G' Section U LIMITES DANS UNE 2-CATEGORIE. Dans tout ce qui suit, par souci de simplification termi- nologique, nous appellerons simplement graphe un type de diagramme. Définitions. 1°) Un bigraphe D est la donnée: P.6 - d'un graphe D = (a >a.:D4 — > D ) , o I i o - d'un ensemble Dp et de deux applications d ,d :D^ — ^ L ( D ) où L(D) désigne la catégorie libre associée au graphe D. En outre, l'application (a fa^)iL(lù) ^D xD doit coégaliser d et d . Les éléments de D »D-,>Dp s'appellent respectivement les objets, les flèches, les 2-flèches du bigraphe D. 2°) Un bidiagramme F:D ^K où D est un bigraphe et K une 2-ca- tégorie est la donnée: - d'un diagramme (F J F ^ D ^K , - d'une application FpîDp —>2-Fl(K) qui associe à toute 2-flèche u de D une 2-flèche F?u de K , conformément au schéma suivant: X,—>. X/ —f>X , u F.x. Y F X,—>. -)FX FX .F.x^ F0u FY 1 Y,—>. —»Y A m T1JFY-). — * F Y /l y m 1 m-1 o 1 o m-1 Dans la suite, on supprimera les indices o,1,2 au-dessous de F. 3°) Une flèche t:F v>G entre bidiagrammes D - pour tout objet X de D , d'une flèche tX:FX - pour toute flèche x:X tY.Fx >K est la donnée: >GX , >Y de D , d'une 2-flèche inversible tx: >Gx.tX . Ces données sont astreintes à la condition suivante: - pour toute 2-flèche u comme ci-dessus, dans D, le diagramme suivant commute dans K(X,Y), les flèches ayant une signification évidente: tY.Fxn Fx1 ^tY.Fym Fy1 m . . • i k^Gy i Gx Gx,.tX Gy,.tX n 1 m 1 4°) Une 2-flèche u :t >tf :F >G entre bidiagrammes D —>K est la donnée: - pour tout objet X de D, d'une 2-flèche uX:tX >t'X:FX >GX, P.7 c e t t e donnée étant a s t r e i n t e à l a conditirn suivante: - pour toute flèche x:X —>Y de. D , l e diagramme suivant commute: tY.Fx uY.Fx I t'Y.Fx ~ >Gx.tX ~ ^ Gx. uX >Gx.t»X On construit ainsi une nouvelle 2-catégorie, notée K =, qui a pour objets les bidiagrammes D ^K . Définitions (essentiellement dues à Street,voir 12). 1°) D étant un bigraphe, un bidiagramme indexé ( f ,F):D — ^ K est la donnée de deux bidiagrammes f :D —^Cat et F:D — ^ K . On dit alors qu'il est fini si D est fini (i.e. D tD^Dp sont finis) et si, pour tout objet X de D , fX est de présentation finie. 2°) On dit qu'un bidiagramme indexé ( f ,F):D — > K admet une limite projective si 1'homomorphisme composé suivant est représentable: Kop *>Cat i (-) =r»Cat 2 Cat >Cat Hom(f,-) "La" limite projective de ( f,F) est alors une représentation (L,l) de cet homomorphisme. En notation: L = Lim( f,F) et 1:L —>(f ,F), En d'autres termes, la limite projective de ( f,F) est un couple (L,l) formé d'un ibjet L de K et d'une flèche 1: f >R(L,F(-)) entre bidiagrammes D >.Cat, telle que, pour tout objet S de K , le fonc- teur K(S,L) ^Hem( f ,K(S,F(-))) soit une équivalence. Il résulte alors de la définition même et de la section 0 que deux limites projectives d'un même bidiagramme indexé sont équivalentes. Proposition J^. Dans Cat tout bidiagramme indexé petit admet une limite projective. * Donnons maintenant quelques cas particuliers importants de limites projectives de bidiagrammes(indexés). 1°) Limite projective de bidiagramme (non indexé). Soit F:D —^-K un bidiagramme. Alors la donnée d'un objet L de K et d'une flèche L —. c ^F entre bidiagrammes (où L désigne le bic P.8 diagramme constant sur L) est appelée la limite projective de F si, pour tout objet S de K , le foncteur canonique K(S,L) ^Hom(S ,F) est une équivalence. Ce type de limites admet lui-même plusieurs cas particuliers que l'on peut formuler de la façon suivante: a) Objet final. Un objet F de K est dit final si, pour tout objet S de K le foncteur canonique K(S,F) — ^ 1 est une équivalence. En notation: F = 1. ^) Profit cartésien. Soit A et B deux objets de K . On dit quf un span A < — P —î>B est le produit cartésien de A par B si, pour tout objet S de K , le foncteur canonique K(S,P) —>K(S,A)xK(S,B) est une équivalence. En notation: P = AxB. c) Produit fibre. Soit A —-^C<-^- B un span de K. Pour tout objet S de K , notons (AxB)S la catégorie qui a pour objets les triplets (a,b,s), où a:S — ^ A et b:S — ^ B sont des flèches et s:f .a —^g.b une 2-f lèche inversible, et qui a pour flèches (u,v) : (a,b,s) — ^ ( a ^ b ' j S 1 ) les couples de 2-flèches u:a — > a ' et v:b — £ b f faisant commuter dans K(S,C) le carré de cotés f.u, g.v, s, s'. On appelle alors produit fibre de A — ^ C < ^ - B la donnée d'un objet P de K et d'un objet de (AxB)P tel que, pour tout objet S de K , le foncteur canonique K(S,P) ^(AxB)S soit une équivalence. En notation: P = AxB . d) Inverseur. Soit t:f — ^ g : A — ^ B une 2-flèche de K. Pour tout objet S de K , notons Inv(t)S la sous-catégorie pleine de K(S,A) qui a pour objets les flèches a:S — } A telles que t.a:f.a — ^ g . a soit inversible. On appelle alors inverseur de t la donnée d'un objet I de K et d'un objet de Inv(t)l tel que, pour tout objet S de K , le foncteur canonique K(S,l) ^Inv(t)S soit une équivalence. En notation: I = Inv(t). 2°) Cotenseur. Soit A un objet de K et C une catégorie. Alors la donnée d'un objet K de K et d'un foncteur C — ^ K ( K , A ) est appelée cotenseur de A par C si, pour tout objet S de K , le foncteur K(S,K) y Cat(iC,K(S,A)) est une équivalence. En notation: K = A — . Signalons le cas particulier de cotenseur (du à J.Gray,voir 7 ) : soit A un objet de K ; alors la donnée d'un objet K de K et d'une P.9 2-flèche d — ) d :K — ^ A est appelée suspension de A si, pour tout objet S de K , le foncteur canonique 2 ~~ K(S,K) K(S,A) — ~~ ~~ est une équivalence. En notation: K = A — . 5°) Produit comma. Soit A (XA/B)U >>ca! et v:b —;>b' tels que le carré de cotés f .u, g.v, s, c: ccmmute dans K(S,C). On appelle alors produit comma de A ^ C\—^— B la donnée d'un f objet P de K et d un objet de ( A / B ) P tel que, pour tout objet S de K le foncteur canonique F(S,P) y ( A / B ) S soit une équivalence. En no- tation: P = A^B e 4°) l^l^'sateur (de deux flèches). Soit un couple u,v:f —v»g: A — ^ B de 2-flèches parallèles. Pour tout objet S de K , notons Egal(u,v)S la sous-catégorie pleine de K(S, I) qui a poux objets les flèches a:S — ^ A telles que u.a = v.a. Cn appelle rJLors _^^alisateur du couple (u,v) la donnée d'un objet E de K et dTun objet de E^al(u,v)E le foncteur canonique K(S,E) tel que , pour tout objet S de K, >Egal(u,v)S soit une équivalence. jîn notation: E = Egal(u,v) . Signalons pour finir qu'il y a encore de nombreux cas particuliers de cette notion de limites (comme l'objet des algèbres et 1' objet de Xleisli associée à une monade dans K, ou encore plus généralement les lax-limites - voir Gray en 7 et Bourn en 4 ) . * Etudions maintenant quelques propositions d'un caractère général sur les limites projectives de bidiagrammes indexés. Définitîon. Un homonorphisme h:K — ^ L entre 2-catégories préserve la limite projective du bidiagramme indexé ( f,F):L ^K si pour l'une quelconque de ses limites projectives (L,l), le couple (hL,h(l)) est une limite projective de (f , hF), où h(l) est la flèche composée de 1 et de la flèche canonique déduite de h. P.10 Proposition 2. Soit h:K — ^ L un homomorphisme entre 2-catégories, admettant un adjoint à gauche, alors il préserve la limite projective de tout bidiagramme indexé (on dit simplement, dans ce cas, qu'il préserve les limites projectives). Proposition £. Soit ( f ,F):D '^K = un bidiagramme indexé. Si pour tout objet S de C le bidiagramme indexé ( f ,VJF):D — ^ K admet une limite projective dans K , alors le bidiagramme indexé ( f,F) admet une limite projective dans K = (où Vq désigne 1'homomorphisme d'évaluation en S ) . ? Pour chaque objet S de C , choisissons une limite projective du bidiagramme indexé ( f , V J ) , soit 1S:LS — ^ ( f ,VgF) . Soit k:S — ^ S ' une flèche de C . L'existence de lfhomomorphisme composé de 1S (vu comme morphisme de f dans K(LS,-)VgF) avec K(LS,-)VkF entraîne l'existence d'une flèche Lk:LS — > L S ' et d'une 2-flèche inversible lk:K(Lk,-)VgtF.lS' >K(LS,-)VkF.lS . Soit t:k —}k f :S — > S ! une 2-flèche de C. Comme le foncteur canonique K(LS,LSf) S>Hom(f ,K(LS,-)VgfF) est pleinement fidèle il existe une unique 2-flèche Lt:Lk —:>Lkf telle que le carré de cotés K(Lt,-)VstF.lS' , K(LS,-)VtF.lS , lk , lk' commute dans la catégorie voulue. On construit de cette façon un homo- morphisme L:C — » K ainsi qu'une flèche l:f »K =(L,-)P entre bi- diagrammes par la relation suivante: (LS lX(e)S>Fx(s)) = (Lg lS(X)(e) V g P ( x ) ) ^ où X est un objet de D , S un objet de C et e un objet de f X. On vérifie alors que 1:L ^ ( ^ ,F) est bien une limite projecti- ve de (f ,F) ! Proposition 4. K étant une 2-catégorie avec hom petits, tout bidiagramme indexé petit admet une limite projective dans JE. De plus , lfhomomorphisme (-):K K préserve toutes les limites projectives. p.11 Section 2. 2-CATBGORIE FINIKEM1 COMPLETE. Soit K une 2-catégorie. Proposition J[. Les deux systèmes dfaxiomes suivant sont équivalents: (i) 1) K possède un objet final. 2) Tout span de K admet un produit fibre. 3) Tout objet de K admet une suspension. (ii) 1) K possède un objet final. 2) Tout span de K admet un produit comma. 3) Toute 2-flèche de K admet un inverseur. ? (ii) = = ^ ( i ) . Soit A —^ S < — B un span de K ; on vérifie fa- cilement que AxB est équivalent à Inv(u) où u est la 2-flèche naturelle (entre A/B et S) associée au span donné. De même, A étant un objet de K , on voit immédiatement que A— est équivalent à A/A. (i) • -Xii). Soit A — > S < — B un span de K. En considérant successivement les trois produits fibres suivant: ^s; y \ 2 X >^om. S s ¥v 2s \ cod. \ ~ > X S ,\ ?\2 V V 9^ on vérifie que P est équivalent à A/B. Soit maintenant u:f —>g:A — > B une 2-flèche de K. Considérons 2 ~~ 2 le produit fibre I des deux flèches h :A — > B - et iB:B —^B-, où h et L.. désignent respectivement (à un iso. près) les flèches coru ï> respondant aux 2-flèches u et Id-—^IdL par les équivalences K(A,B^) ^>K(A,B)- et K(B,B^) ^ K ( B , B ) ~ . On vérifie alors que I (muni de sa projection vers A) est équivalent à Inv(u)l Définition. 1) Une 2-catégorie qui vérifie l'un des deux systèmes df axiomes (i) ou (ii) de la proposition précédente est appelée finiment complète. 2) Un homomorphisme h:K >L entre 2-catégories fini- ment complètes est dit exact à gauche s'il préserve l'objet final, P.12 les produits fibres et les suspensions, ou bien (ce qui est équivalent) s'il préserve l'objet final, les produits commas et les inverseurs. Exemples. -^-Catégories finiment complètes. 1) Cat (cf. Section 1, proposition 1) 2) C = Cat = (cf. propositions 1 et 4 de la Section 1) 3) Fib(c) = 2-catégorie des catégories fibrées (non nécessairement scindées) sur une catégorie C (c'est un cas particulier du précédent) 4) FLP(C) = sous-2-catégorie pleine de Fib(c) formée des catégories fibrées localement petites sur C (encore appelées catégories localement internes dans C; voir 1,9 et 10), où C est finiment complète. Rappelons qu'une catégorie fibrée A est localement petite si, pour tout objet S de C et pour toute paire d'objets a et a1 de AS ^AS'(Ak(a),Ak(af)), où k: le préfaisceau sur C/S : Aq(a,a'): kl S' >S, est représentable (ne pas confondre avec l'ensemble AS(a,a') qui est le "hom externe). ? - L'objet final de Fib(C) est évidemment localement petit. - Soient A ^CÇ^- B un span dans FLP(C), P = A^B dans Fib(c) et p = (a,fS(a) -»gS(b),b) , p' = (a',fS(a') —>gS(b'),b') deux objets de PS (avec S objet de C). Comme dans C/S on a: Po(PfP')^ Aq(a,a') x Bq(b,b') S S Cs(fS(a),g§(b')) , et que A ^ a ^ ' ) , B (b,b f ), S * et Cc(fS(a),gS(bf)) sont représentables, il en va de même de Pc(P>Pf)i puisque C est finiment complète. - Soient u:f —>g:A — ^ B une 2-flèche dans FLP(C) et a,a' deux objets de Inv(u)S (avec S objet de C). Comme Inv(u)s(a,af) est équivalent à Ag(a,af) et que Ag(afa') est représentable, il en va de même de Inv(u)g(a,a')l 5) Champ(Cfj) = sous-2-catégorie pleine de Fib(C) formée des champs sur le site (C,j) (voir 6 ) . ? Soit S un objet de C et R un crible sur S; alors: - 1 étant l'objet final de Fib(c), il est clair que le foncteur canonique Hom((S),l) >Hom(R,l) est une équivalence. - A —->c4— B étant un span de Champ(C,J), comme les foncteurs P.13 canoniques suivant sont des équivalences: Hom((S),A) —>Hom(R,A), Hom((S),B) -4Hom(R,B) et Hom((S),C) - > Hom(R,C) et que Hom((s),A^B) —>Hom(R,A^B) est équivalent à Hom((s),A) / Hom((s),B) Hom((s),C) >Hom(R,A) / Hom(R,B), on en déduit Hom(R,C) que le premier terme de cette équivalence est une équivalence. - u:f —}g:A — > B étant une 2-flèche de Champ(C,j), comme les foncteurs Hom((S),A) >Hom(R,A) et Hom((S),B) >Hom(R,B) sont des équivalences, et que Hom((S) ,Inv(u)) ^Hom(Rf Inv(u)) est équivalent à Inv(Hom((S),u)) ^Inv(Hom(R,u)) , on en dé- duit que le premier terme de cette équivalence est une équivalence! 6) Cat(C) = 2-catégorie des catégories internes dans C, où C est une catégorie finiment complète (la preuve que Cat(C) est finiment complète est maintenant bien connue). 7) Top„ = 2-catégorie des E-topos bornés (voir définition et preuve — lit dans le livre de Johnstone, en 8 ) . Un exemple d'homomorphisme exact à gauche. C'est l'homomorphisme dit "champ associé": Fib(c) ^Champ(C,j), qui est adjoint à gauche de l'inclusion. Pour vérifier cette propriété du "champ associé", montrons le lemme suivant: Lemme. La sous-2-catégorie pleine de Fib(C)— formée des flèches bicouvrantes est stable pour la structure finiment complète. ? Pour l'objet final c'est évident. Montrons qu'elle est stable par produits commas. Soient les bidiagrammes suivant dans Fib(c): A-i-)A' B-^->B' où u,m et n sont bicouvrantes et vérifions qu'il en va de même de la flèche canonique k : A/B ^A'^f . - Notons P = A/B et P' = A 1 /? 1 . Soient S un objet de C et p 0 = (ao,fS(ao) -»gS(b Q ),b o ) , P l = (a1,fS(a1) - ^ g S ^ ) , ^ ) deux P.14 objets de PS. Comme les carrés suivant sont des produits fibres dans Ç/S : Ps(p0,P-,) A s (a o , a i ) V V V Cg(fS(ao),gS(b1)) P£(kS(po),kS(Pl)) A^(mS(ao),mS(a1)) B£(nS(bo) , ^ ( ^ ) ) C^(uS.fS(aQ),uS.gS(b1)) et que les flèches naturelles joignant les trois sommets inférieurs du carré de gauche à leurs homologues du carré de droite sont bicouvrantes dans C/S, on en déduit que la flèche joignant Pc(p ,p.) à o o f P'(kS(p ),kS(p.)) est bicouvrante à son tour. o o 1 - Soit S un objet de C et p' « (aSf'SCa») —>g'S(b f ) ,b») un objet — 0 0 o o de P'S. Il reste à montrer que le crible R , sur S est couvrant, où pour tout objet S' de C, R f(S') est l'ensemble des flèches x:S'—^S pour lesquelles il existe un objet p de PS' tel que k S ' ( p ) ^ P'x(p'). Soit R , le crible sur S où, pour tout objet S ! de C, R ,(S') est a "*" a o o l'ensemble des x:S'—^S pour lesquelles il existe un objet a de AS' tel que mS'(a ) £4 A'x(a'). On construit de même R,t . On montre alors que la flèche d'inclusion R f c — £ R ,0 R est couvrante. Mais comme les cribles R , et R,f sur S sont couvrants (m et n étant bioouvrants), il en résulîe que îe crible R f c ^(s) est couvrant. Montrons enfin qu'elle est stable par inverseurs. Soit le bidiagramme suivant dans Fib(c) : m *A' où (f ' .m i ^ > g ' .m) *J (n.f ^ > n . g ) et où m et n sont bicouvrantes, et vérifions que la flèche canonique Inv(u) — ^ l n v ( u ' ) est bicouvrante. Posons I = Inv(u) et I'= Inv(u')» - Comme pour tout objet S de C et tout couple (a,a') d'objets de IS, on a 1'isomorphisme: (I s (a 0 ,a 1 ) —^>I^(mS(a o ),mS(a 1 )))^(A s (a o ,a 1 ) —>A^(mS(ao),mS(a1))) il est clair que la flèche ci-dessus à gauche est bicouvrante. - Soit S un objet de C et a' un objet de I'S. Nous allons montrer P.15 que le crible R , sur S est couvrant, où, pour tout objet S' de C, mmt a R ,(S') est l'ensemble des flèches x:S' ^ S pour lesquelles il exisa te un objet a de IS! tel que mS!(a) 0£ A'x(a f ). Comme m:A —S>Af est bicouvrant, le crible C f sur S est couvrant, où, pour tout objet S' a de C, C ,(S') est l'ensemble des flèches x:S' — ^ S pour lesquelles mam a il existe un objet a de AS' tel que mS'(a) — A ! x(a f ). On montre alors que l'inclusion R fi • > C , est couvrante, car n est bicouvrant, a a ce qui achève de prouver que le crible R t est couvrant. a L'exactitude à gauche de 1'homomorphisme "champ associé" résulte aussitôt du lemme précédent, sachant que dans Champ(C,j) les limites projectives finies se calculent comme dans Fib(c) (voir l'exemple 5) du § précédent) et que, si A est un objet de Fib(c), B un objet de Champ(C,j) et f :A ~>B une flèche bicouvrante, alors (B,f) est le champ associé à A (voir 6,chap.II,§2,Th.dfexistence 2.1.3)! Revenons maintenant à lfétude générale des catégories finiment complètes. Proposition 2. Une 2-catégorie K est finiment complète si et seulement si tout bidiagramme indexé fini admet une limite projective. Un homomorphisme entre 2-catégories finiment complètes est exact si et seulement si il préserve la limite de tout bidiagramme indexé fini. ?? Pour cela, démontrons tout d'abord les quelques lemmes suivant, dans lesquels K est une 2-catégorie finiment complète. Lemme 1^ K es"t à produits finis. Lemme 2. Soit D = (s,b:D — ^ D 1 ) un graphe fini et A un objet de K. ——— o j. Alors, il existe un objet A i — — — jv — dans K et un diagramme d:D —}K(A ,A) tel que, pour tout objet S de K le foncteur canonique de K(S,A ) vers K(S,A) soit une équivalence. ? On vérifie que l'objet A est donné par le produit fibre dans K des deux flèches suivantes: (dom 1,cod 1):(A—) 1 — ^ A 1xA 1 et (A 5 ,A b ):A D o—>A D 1xA D 1 ! P.16 Lemme j>. Pans K , toute paire de 2-flèches parallèles admet un égalisât eux. ? Soit u,v:f —£g:A — ^ B une telle paire. Notons P le graphe "paire de flèches parallèles" type. On a donc canoniquement un diagramme P >K(A,B) et ainsi une flèche A ^B (d'après le lemme précédent). De même, la 2-flèche canonique dom — ^ c o d : B ^ B ré- pétée deux fois détermine un diagramme P — ^ K ( B - , B ) et ainsi une 2 \^ P "~ flèche B ^ B . On trouve alors que l'objet Egal(u,v) est obtenu par le produit fibre des flèches A — ^ B et B > B en cause 1 Lemme 4. Soit f,g:A — ^ B une paire de flèches parallèles dans K. Alors il existe un objet I de K, une flèche i:I -~>A et une 2-flèohe inversible f.i —>g.i vérifiant la propriété universelle évidente (la flèche I — ^ A est appelée 1'isomorphiseur de (f,g)). ? On vérifie que l'objet I est obtenu par le produit fibre des deux flèches suivantes: A ^ ! ^ O B X B et B ^>BxBI f. Lemme £. Scit A un objet de K et (B.—->A) . ^ une famille de flè- ches de but A telle que f. soit une équivalence sauf pour un nombre fini d'indices. Alors il existe un objet B de K, une flèche f:B — ^ A , une famille de flèches (B — L > B . ) . ^ isomorphismes (f..b. —£>f) . ^ de source B et une famille d' de but f vérifiant la propriété uni- verselle évidente (B est dit produit fibre de la famille (B,—^A). £ J) . ? Soit J l'ensemble (fini) des indices i de I pour lesquels f. n'est pas une équivalence. L'objet B est alors 1fisomorphiseur de la paire de flèches parallèles f,g définies par: Lemme 6. Soit C une catégorie de présentation finie, et, A un objet de K. Alors le cotenseur A— de A par _C existe dans K. ? On sait que C est alors une catégorie libre associée à un graphe fini L muni d'un ensemble fini d'équations dans D. Notons d:L ^K(A ,A) le diagramme universel et soit e l'équation géné- rale suivante: X r ->x-> -K_i>a X _Y > Y —5>Y — ^ —>Y P.17 On peut considérer les deux composés suivants dans K(A ,A): f e = (dX — > d X 1 — > . . . - » d X n - 1 - » d Y ) , g g = (dX —^dY.,—->... — ^ d Y m - 1 — > d Y ) , et prendre leur égalisateur I = Egal(f ,g) (d'après le lerame 3). e e " T\ L'objet A- est alors le produit fibre de la famille des I e —-^A , où e parcourt l'ensemble des équations voulu (cf. lemme 5) ! Lemme 2» Considérons dans K la donnée de: - trois objets A, B et C, - une paire de flèches parallèles f,g:A >B, - deux familles (u.). , 0 ^ et (v ) :B >C, 0 - deux 2-flèches u .g ^v 1 .g et u . f — > v . f , - deux familles de 2-flèches: u 1 .g — ^ u ^ f , i = 1,2,..,p-1, et v , g — ^ v j , f 9 3 = 1» 2 »"!*- 1 • Alors il existe une flèche d:T — ) A e t une 2-flèche inversible f .d ^g.d rendant commutatif le diagramme suivant: u .f.d - ^ u .g.d - > u ..f.d -^... - ^ u l .g.d - ^ u .f.d — ^ u 1 .g.d P j P P-1 ' ' j v .f.d - £ v .g.d — £ v ..f.d —^>... — ^ v .g.d - ^ v .f.d — > v .g.d qui est solution &UQ problème universel évident. ? Il suffit tout d'abord de prendre 1 f isomorphiseur (i —-î>A, f.n-^^g.n) de la paire (f,g), puis l'égalisateur T — ^ 1 de la paire (tjt1) de 2-flèches parallèles, où t = (u .f.n—^v .f.n — » v .g.n — > . . . — ^ v . g . n — > v v f . n - ^ v .g.n) t'= (u .f.n-£u .g.n - > u .f.n - ¾ . - > ^ .f.n - ) ^ .g.n - ) ^ .g.n) I Preuve de la proposition 2. Soit (f ,P):D >K un bidiagramme indexé fini; p et q étant des entiers, notons D (p,q) l'ensemble des 2-flèches d:c — ? c ' ou c et c1 sont des chemins de longueurs respectives p et q. Comme D Q , Di et D9(p,q) sont finis et que pour tout objet X de D , f X est de présentation finie, on peut considérer : P.18 1) les objets A,B,C(p,q) ainsi définis: A est le produit indexé par D G des FX f X ; B est le produit indexé par D des FY*? (X — > Y € D ) ; (p»q) est le produit indexé par D?(p,q) des F i , (c — > c f : X — ^ Y C D p ) . 2) la paire de flèches g,h : A — ^ B , définie par: Fx 3) les deux familles de flèches (u.). . ^ et (v.). . l'i = 1,2,..,p J'J = 1,2,..,q définies par: u. = (FYfx1 F/ X i-1 .Fx^i-I Fx. ^~1 .projv ) 1 où s:x .x P . ..x — } > y .y .. .y XJ; S l+i parcourt l'ensemble D 2 (p,q), et où x.:X. A — ^ X . , y.:Y. , — > Y , et X = X = YA , X = Y = Y. ii-1 i J3 J-1 0 ° ° P <1 Définition analogue des v.. j 4) Pour chaque i de 1 à p-1, l'unique 2-flèche (inversible) de \x^ ^.h vers u..g telle que le diagramme suivant commute, pour tout sCD^taq): pro j Q .u. . .h —-> PY1"X1. .FY^i .Fxf*Xi. .FxfX* .pro j .h s i+1 p i+2 x±+1 FY*X1 Y . F / X i .Fx^i. .Fx^i .Fx^i .projY FY f x iy.FY f x i-1 . F x ^ i - I . .Fx 1 **"'' .Fxf X i.proj Y proj . u . . g _~_v_fx,V f- . _ p f X i - 1 . . F x f X i - 1 . pr r o j .g ?7Y 1..FY^ x1-1 x p i+1 °x. S I 1 On trouverait de même, pour chaque j de 1 à q-1, une 2-flèche inversible de v. ..h vers v..g. 5) L'unique 2-flèche u .h ^ v .h telle que le diagramme suivant commute pour tout s €. D?(p,q) : ro fy fv p r o j g . u 1 . h - — ? F x . . . F x 1 .proJ x I proJs.vrh >Fy^X...Fy^X.proJx f>J ^, \fX >>(Fx p .. . F x ^ .proJ x i ^(Fy^.. .Fy^ .proJ x . P.19 On trouverait de même une 2-flèche u .g — ^ v .g . Par suite, il nous suffit d'utiliser le lemme 7 pour trouver la donnée d'une flèche d:T/ g.d \ —5>A et d'une 2-flèche inversible ?h.d qui rende le "bon diagramme" commutatif et qui soit uni- verselle. Enfin, considérons l'objet L obtenu par produit fibre de la fa^A)/ \ c na^r (il existe bien car si p et q sont y , (p,q)fcfNxflïï * mille (T/ x (P>q) grands, alors D (p,q) = 0 et donc C(p,q) Rj 1 et T/ \ — ^ A est une équivalence). On construit aussi: -; pour chaque objet X de D un foncteur lX:fX — > K ( L , F X ) , en composant les foncteurs fX —>K(FX f X ,FX) >K(L,FX), OÙ la flèche de droite est le foncteur "composition à gauche par L — — ^ A r—^>FX pro J X - pour chaque flèche x:X — > Y dans D , une 2-flèche inversible lx: lY.fx —^K(L,Fx).lX . Cela provient du fait que pour chaque objet a de fX , le carré suivant commute à un isomorphisme près: A< projx . \/ f ^ d(X,X)(a) J FX L J££ *>A "\ projY \fY ^ ^d(Y f T)fï(a) >>FY où d(X,Y):fX — > K ( F Y ^ , F Y ) est le foncteur canonique. On vérifie qu'on a bien défini ainsi une flèche l:f î>K(L,F(-)) et qu'elle est "universelle. Section j>. 2-CATEGORIE PREDICATIVE. Soit K une 2-catégorie et A un objet de K. Notons K/A la 2catégorie qui a: - pour objets, les couples (M,m) où M est un objet de K et m:M — ^ A est -une flèche de K , - pour flèches (M,m) —^>(N,n) les couples (f,i) où f:M une flèche de K et i:n.f > N est ^-m est une 2-flèche inversible, " P.20 - pour 2-flèches (f,i) >(f',i') les 2-flèche. t:f >f• telles que le diagramme suivant commute: n.f £**—» n .f ' - S ^ m Si f :A ^B est une flèche de K , nous notons \ : K/A ^K/B 1'homomorphisme de composition par f. On a alors la proposition: Proposition j[. Si^ K est finiment complète» alors: *" P Q U r tout objet A de K , K/A est finiment complète , - Pour toute flèche f :A — > B ————— ^ , l'homomorphisme — admet un adjoint à droite f : K/B Xf:K/A >K/B X =r .» ^K/A . Définitions. On dit qu'une flèche A î>B de K est pleinement fidèle (resp. fidèle) si, pour tout objet S de K le foncteur K(S,A) — — ^ K(S,B) est pleinement fidèle (resp. fidèle). Proposition 2* - Les flèches fidèles et pleinement fidèles sont stables par changement de base et par suspension. - Si K est finiment complète, une flèche A — ^ B est pleinement fi- —————— dèle (resp. fidèle) si et seulement si la flèche canonique de A— vers A/A est une équivalence (resp. pleinement fidèle). - Les flèches fidèles et pleinement fidèles sont préservées par tout homomorphisme exact. - Les inverseurs et les égalisateurs sont des flèches pleinement fidèles • Exemples. 1) Bans Cat, on retrouve la terminologie habituelle. 2) Dans C , une flèche A v>B est pleinement fidèle (resp. fidèle) si et seulement si, pour tout objet S de C , le foncteur AS — > B S est pleinement fidèle (resp. fidèle). 3) Dans Fib(c), il s'agit d'un cas particulier du précédent. 4) Dans Champ(C,j) , une flèche est pleinement fidèle ou fidèle P.21 si et seulement si elle l'est dans Fib(c). 5) Dans FLP(C), même remarque que pour le 4)« 6) Dans Cat(C), où C est finiment complète, une flèche A ^ B est pleinement fidèle (resp. fidèle) si la flèche canonique A1 — ^ P est un isomorphisme (resp. un monomorphisme) où P désigne le produit fibre suivant dans C : P i ;>A x A °I ° B, 1 ^B x B ' o o Supposons maintenant que K soit finiment complète et soit A un objet de K . Notons PF(K) la sous-2-catégorie pleine de K/A qui a pour objets les objets (M,m) de K/A pour lesquels m:M — ^ A est pleinement fidèle. Remarquons alors que si (M,m) et (N,n) sont deux objets quelconques de PP(K) A , deux flèches parallèles (M,m) >(N,n) sont toujours 2-isomorphes et ce 2-isonorphisme est unique. Par suite, il est naturel de considérer la relation de préordre suivante sur les objets de PF(g) A : (M,m) ^ (N,n) si et seulement si il existe une flèche (M,m) —-^(N,n). Il nous reste alors à quotienter par la relation d'équivalence associée pour obtenir un ensemble ordonné que l'on notera simplement P ( A ) . On vérifie que deux objets (M,m) et (N,n) de PF(K) appartiennent à une même classe d'équivalence si et seulement si ils sont équivalents dans K/A . Soit maintenant f:A me f : K/B £>B une flèche de K. Alors, l'homomorphis- ^K/A préservant les flèches pleinement fidèles (d'après la proposition 2) il définit une application ordonnée f : P(B)->P(A) . On remarque que: - Pour tout objet A de K , l'ensemble ordonné P ( A ) vérifie les deux propriétés suivantes: P(A) a un plus grand élément appelé "vrai." , tout couple d'éléments K et N de P(A) admet une borne inférieure notée M 0 N. - Pour toute flèche f : A — > B , l'application f"1:P(B) — ^ P ( A ) préserve les bornes inférieures et le plus grand élément. - Si f ,g:A ^B est un couple de flèches parallèles, alors l'équi- P.22 valence f Ql g entraîne l'égalité f = g • - Si f :A — ^ B et g: B —;>C sont des flèches de K , alors on a l'égalité (g.f)~1 = f~1.g~1. Définition. On dit qu'une 2-catégorie finiment complète K est prédicative si elle vérifie les propriétés suivantes: (U) Pour tout objet A de K , l'ensemble ordonné P(A) admet un plus petit élément appelé "faux " , et pour tout couple d'éléments M et N , une borne supérieure notée M U N. (3) Pour toute flèche f:A >B , le foncteur f"1:P(B) — * > P ( A ) admet un adjoint à gauche 3 :P(A) — ^ P ( B ) qui vérifie la condition suivante (dite de Chevalley-Beck): pour tout produit fibre comme ci-dessous à gauche, le carré cidessous à droite commute: P(A) a- 1 £—S>P(B) I b"1 I V P(A') = V >P(B') 3 f OcO Pour toute flèche f:A >B , le foncteur f" :P(B) — > P ( A ) admet un adjoint à droite V f :P(A) ——^P(B). Exemples. 1 1) Cat : A étant une catégorie, appelons plongement (vers A) une sous-catégorie pleine B de A qui est stable pour les inversibles (i.e. si b est un objet de B et si b' yh est inversible, alors b' est encore objet de B). Notons alors P(A) l'ensemble ordonné de tous les plongements vers A. Il est clair que tout foncteur f: A ^B définit une application croissante f" :P(B) — ^ P ( A ) . Si nous comparons avec la théorie générale, on s'aperçoit (en utilisant l'axiome du choix) que l'application croissante canonique P(A) — ^ P ( A ) est un isomorphisme et de plus, toute flèche f:A — ^ B de Cat est telle que le carré suivant commute: P.23 P ( A ) < - £ ~ P(B) cano. | Jcano. P(A)< r- P(B) 1 r" Nous pouvons maintenant vérifier notre assertion en utilisant P(-) au lieu de P(-). Les axiomes (u) et Q ) se vérifient immédiatement. Quant à (V), soit f :A M alors Vf( ) est le >B un foncteur et M un élément de P(A) ; plongement vers B qui a pour objets les ob- jets b de B tels que pour tout objet a de A, si fa — y b , alors a est dans M. v * C° P 2) C = Cat = . Soit A un objet de C et appelons encore plonge- ment (vers A) la donnée B, pour chaque objet S de C , d'un plongement BS ^AS. Cette donnée doit vérifier la condition suivante: pour toute flèche k:S' ^S de C et tout objet a de AS, si a est objet de BS, alors Ak(a) est objet de BS'. Notons alors P(A) l'ensemble ordojcné des- plongements vers A. Il est clair que toute flèche f:A — ^ B de C définit une application croissante f"" :P(B) — i > P(A). Comparons maintenant à nouveau avec la théorie générale» On s'aperçoit que l'application croissante canonique P(A) ^P(A) est, comme dans le cas précédent, un isomorphisme et que pour toute flèche A —y>B dans C , le "bon carré" commute. Vérifions maintenant qr.e C est bien prédicative. Comme précédemment, la vérification de (u) et de (3) se fait sans difficulté. Pour l'axiome (V), soit f:A — > B une flèche de C et M un élément de P(A). Alors, pour tout objet S de C , V f (h)S est le plongement vers BS qui a pour objets les objets b de BS tels que, pour toute flèche k:S' >S dans C et tout objet a de AS', si fS'(a) est iso- morphe à Bk(b), alors a est dans MS f . 3) Fib(C) , qui est un cas particulier du précédent. 4) FLP(C) . Remarquons que si f:A ->B est une flèche pleinement fidèle de Fib(c) et si B est localement petite, alors il en va de même de A. Par suite, FLP(c) va vérifier les trois axiomes des catégories prédicatives. 5) Champ(C,j) . Si A est un champ, notons Pf(A) le sous-ensemble P.24 ordonné de P ( A ) formé des classes d'équivalence (M,m) où M est un champ. Comme l'inclusion de Champ(C,j) dans Fib(C) admet u n adjoint à gauche, exact à gauche (voir section 2, exemples), l'inclusion de P'(A) dans P ( A ) admet aussi u n adjoint à gauche V : P ( A ) ^P'(A) et, pour toute flèche f : A — ^ B dans Champ(C,j), le carré suivant commute: «-1 £ ^P(A) v!/ f-i P'(B) — ^ P'(A) P(B) —1 ! Par suite, P ( A ) vérifie l'axiome (u), l'adjoint à gauche de f : P'(B) — > P ' ( A ) est le foncteur composé: P ' ( A ) C ~ > P ( A ) — ^ 5 > P ( B ) — —>P'(B), la condition de Chevalley-Beck résultant de la commutation du carré précédent. Vérifions maintenant l'axiome (^). Soit f :A — ^ B une flèche de Champ(C,j) et (M,m) un élément de P(A). Notons (N,n) = ^>Ç(M,m) dans Fib(c) et montrons que N est un champ. Soit S un objet de C et R un crible couvrant sur S. Il faut donc montrer que le foncteur Fib(c)((s) ,N) x:R y: (S) ;>Fib(C)(R,N) est une équivalence. Soit ^ N une flèche de Fib(c). Comme B est un champ, il existe ^ B tel que n.x —>>y.u (où u désigne l'inclusion de R dans (S)). Considérons maintenant le produit fibre suivant dans Fib(C): 9 P P Comme (R,u) ^ . y " \l/ y Ni/ A »(s) ; \/F (K,m) = f >B \ / ' P ~ (M>m) > d ' a p r è s l a c o n d i t i o n —1 /*v^\ / de Chevalley-Beck pour le V / , on en déduit que q-" (R,u) ^ Mais comme M et A sont des champs et que -1 q —1//^s,,>'> p " (M,m). R c — ^ P est couvrant, y -1 /Nw/ on a encore l'inégalité : q (vrai/Q\) = vraip ^ p (M,m) , /^x '^'N ce qui est équivalent à : vrai/q\ ^ \-/ V'P - l(M,m) = y - I VWf/(M,m) . Mais ceci prouve qu'il existe une flèche k:(S) n.k >y et k.u ^N telle que >x (puisque n est pleinement fidèle). Le fait que le foncteur Fib(c)((s) ,N) >>Fib(c)(R,N) soit pleinement fidèle résulte immédiatement du fait que n l'est. P.25 Remarque. Cat(c) ne semble pas vérifier l'axiome (tf) même si C est un topos, l'axiome du choix paraissant indispensable. Toutefois, lorsque C! est un topos, Cat(C) vérifie les axiomes (u) et (3). Dans ce dernier cas, il suffit seulement de supposer C finiment complète. Revenons maintenant à l'étude générale d'une 2-catégorie prédicat ive K . Proposition ^. On a les propriétés suivantes: 1) (Condition de Chavalley-Beck pour le \ / ) . Pour tout produit fibre (ci-dessous à gauche) le carré suivant (à droite) commute: ->B« P(A) >B P(A' ) £-»P(B) a A 1 >P(B« ) Vf t 2) Pour tout objet A de K , P ( A ) est une algèbre de Heyting. 3) Pour toute flèche f:A — > B de K , f"1:P(B) >P(A) préserve la structure d'algèbre de Heyting. Définition. Soit f:A dominante ci: ^ B une flèche de K. On dira que f est 3~(vrai,) f A' = vrai^. B Exemples. 1) Dans Cat, f:A ;>B est dominante si et seulement si pour tout objet b de B il existe un objet a de A tel que fa >-b. A 2) Dans C , f :A >>B est dominante si et seulement si pour tout objet S de C , fS:AS $>BS est dominante dans Cat. 3) Dans Fib(C) et dans FLP(C), c'est la même caractérisation qu'en 2), 4) Dans Champ(C,j), une flèche f:A — ^ B est dominante si et seulement si, pour tout objet S de C et pour tout objet b de BS, le crible R. sur S est couvrant, où, pour tout objet S' de C, Rfe(S') est l'ensemble des flèches k:S' > S pour lesquelles il existe un objet a de AS' tel que fS'(a) -~>Bk(b). 5) Dans Cat(C) (ce qui a un sens, puisque l'axiome (3) est vérifié), P.26 une flèche f:A — ^ B est dominante si et seulement si il existe un foncteur interne B — ^ A o (où B désigne la catégorie discrète ino terne associée à l'objet des objets de B) tel que son composé avec f soit, à un isomorphisme près, le foncteur canonique B — ^ B dans Cat(c). Proposition 4. Soit d:A — ^ B une flèche de K ; alors : - d est dominante si et seulement si pour toute flèche pleinement fidèle p:C — > D , le foncteur canonique k:K(B,C) ^ K ^ C ) X K(BfD) est une équivalence. = '' 2) Si d est dominante, alors pour toute flèche fidèle p:C — r > D le foncteur k précédent est pleinement fidèle. 3) Si d est dominante, alors, pour tout objet S de K, le foncteur canonique K(B,S) ^K(A,S) est fidèle et conservatif (i.e> il ré- fléchit les isomorphismes). ? 1) Si C — ^ D est pleinement fidèle, le foncteur k l'eut aussi. Il reste à montrer que k est dominante. Soit a:A — ^ C et b:B — ^ D deux flèches telles que b.d —>p.a . Comme on a : vraiA ^ (b.d)"1(C,p) = d~ 1 .b~ 1 (C^) , on a 3 d (vrai A ) ^b" 1 (C,p). Mais, d étant dominante, on a aussi vrai^ ^ fie donc qu'il existe une flèche f:B h""^(C,p) ; ceci signi- ^C telle que p.f vb , d'où p.f .d —>b.d —>p.a . Ainsi f.d — > a puisque p est pleinement fidèle. 2) Soient f, g : B ^C des flèches et u:p.f 5>p.g, v:f .d — > g . d des 2-flèches telles que p.v = u.d . On voit qu'il existe alors deux flèches A ï>0- et B ^ / ^ telles que le diagramme suivant com- mute à un isomorphisme près : Mais p:C A 5>o2 w B c4 -><# ^D étant fidèle, la flèche 0 ^°/C est Pleinement fidèle (proposition 2). Il suffit alors d'utiliser le 1) pour montrer qu'il existe une unique 2-flèche t:f — ^ c telle que t.d = v P.27 et p.t = u . 3) Soient f,g:B — * > S des flèches et t,t':f — > > g des 2-flèches telles que t.d = t'.d . Considérons l'égalisateur e:E >B de (t,t f ). Alors d:A — f > B se factorise par e:E — > B , et on a donc: 3 (vrai ) ^ (E,e) . Mais d étant dominante, (E,e) = vrai B , ce qui prouve que e est une équivalence ; par suite t = t'. On montre de même la deuxième partie du point 3) en utilisant les inverseurs 1 Proposition £. - A ^B étant une flèche de K , si elle est dominante et pleinement fidèle, c'est une équivalence. - Soit f:A — > B , g:B — > C et h:A — ^ C trois flèches, telles que h —>g.f, alors on a les propriétés suivantes: si f et g sont dominantes, h l'est aussi, si h est dominante, alors f l'est aussi, si g est pleinement fidèle et (B,g) =3^(vrai ) , f est dominante. - Toute flèche A ;>B se décompose de façon unique (à une équivalence près) de la manière suivante : A >I — ^ B , où A — ^ 1 est dominante et I — ^ B est -pleinement fidèle. - Les flèches dominantes sont stables par changement de base. Section 4. LANGAGE DE CATEGORIES. Définition. Un langage de catégories L est (simplement) un bigraphe (voir définition dans la section 1). Les éléments de L ,L et L p sont respectivement appelés des O-symboles, 1-symboles et 2-symboles. Posons Var0 (L) 0= L x IN et désignons par "sorte": Varo (L) — ^ L o la projection canonique. Les éléments de Var (L) sont appelés des O-variables et, X étant une O-variable, on écrira indifféremment "X est de sorte A" ou "A = sorte(x)" . P.28 Nous allons maintenant construire par induction un ensemble Ter (L) appelé ensemble des O-termes , et -une application "sorte": Ter (L) "^L J en voici les règles: o o 1) Toute O-variable de sorte A est un O-terme de sorte A. 2) Si T est un O-terme de sorte A, et si f :A symbole, alors î£fj >B est un 1- est un O-terme de sorte B. Posons maintenant : Var (L) =(Ter (L) X Ter (L))xlN . L'application canonique Var.(L) i $>L est encorePappelée "sorte" et les o deux applications canoniques Var (L) — > T e r (L) sont notées "dom" et"cod" (domaine et codomaine). Ainsi se trouve construit un graphe. Les flèches de ce graphe (i.e. les éléments de Var (L)) sont appelés des 1-variables. Aussi, x étant une 1-variable, on notera alors : x:T Î>T' au lieu de T = dom(x) et T' = cod(x) (comme on le fait pour n'importe quel graphe ! ) . Il est clair qu'une 1-variable x:T — > T ' a même sorte que les O-termes T et T'. Construisons maintenant par induction: - Un nouvel ensemble Ter (L) appelé ensemble des 1-termes. - Deux applications "dom" et "cod" : Ter (L) - Une application "sorte" : Ter.(L) 1 En voici les règles: ^Ter (L) ^L . o 1) Toute 1-variable x:T — > T f de sorte A est un 1-terme de sorte A. Si T est un O-terme, Id^T ~ > T est un 1-terme de même i sortei 2) Si t:T —>>T' et t':T' ~ > T " sont des 1-termes de sorte A , alors /t"7-/t7:T >T" est un 1-terme de sorte A. 3) Si t:T •—>T' est un 1-terme de sorte A et si f :A —->B est un 1-symbole, alors f/t7 : f/ï7 ?>f/T'7 est un 1-terme de sorte B. 4) Si T est un O-terme de sorte A, et si u:f .. .f „ — > > g ...g,: e p 1 q °1 A — ^ B est un 2-symbole, alors U/T7:T-J >T est un 1-ter- me de sorte B, où on a posé : ^ - ^-.-/^^777...7 et T2 = 8^...^2^^777..7 On vient de construire ainsi un graphe noté Ter(L). Avant de parler des formules, définissons par induction une application Var : Ter (L) >P(Var (L)) : P.29 1) Si X est une O-variable de sorte A, alors VarQ(x) = -^X}-. 2) Si T est un O-terme de sorte A et si f:A — ^ B est un 1-symbole alors Var (f/ï7) = Var ( T ) . Remarquons alors que si T est un O-terme , Var (T) a un et un seul élément. Aussi il est possible de construire deux applications canoniques dom,cod:Var (L) ble x:T —-^T ! >Var (L) en posant, pour une 1-varia- quelconque de L : dom(x) = X si et seulement si X est élément de Var ( T ) , cod(x) = X' si et seulement si X' est élément de Var (T f ). Ici encore, on vient de construire un nouveau graphe noté Var(L). Construisons aussi (par induction) une nouvelle application Var de l'ensemble des 1-termes dans l'ensemble des sous-graphes de Var(L) (on conviendra d'appeler un tel sous-graphe "graphe de variables"): 1) Si x:T — > T ' est une 1-variable, alors Var(x) = ^x^- et Var(x) est la réunion de Var (T) et de Var (T'). 2) Si T est un O-terme, Var(ldT) = 0 et Var(ldT)o = Var^T). 3) Si t:T — > T ' et t':T' — > T " sont des 1-termes de même sorte, alors Var(/t'7./t7). est la réunion de Var(t'). et de Var(t)j[ , i = 0,1 4) Si t:T >T' est un 1-terme de sorte A et si f :A >B est un 1-symbole, alors Var(f/t7)i = Var(t)± , i = 0,1. 5) Si T est un O-terme de sorte A et u:f . ..f — ^ g un 2-symbole, alors Var(u/ï7)1 = ^ . ..g^A — ^ B et Var(u/T7)Q = VarQ(T). Parenthèse. D étant un graphe , un objet X de D est dit isolé s'il n'appartient ni à dom(D ) ni à cod(D.). Nous sommes maintenant en mesure de construire, par induction: - l'ensemble Form(L) des formules du langage L , - l'application Varl (variable libre) de l'ensemble Form(L) dans l'ensemble des graphes de variables. En voici les règles: 1) Vrai et Faux sont des formules et Varl(Vrai) = Varl(Faux) = 0. 2) Si t : T — ^ T ' et t : T — 5 > T ' sont des 1-termes (nécessairement de même sorte) alors t £ t p est une formule et Varl(t1 = t 2 ) ± = Varl(t 1 ) i U Varl(t 2 ) i 3) Si F et F' sont des formules, alors /f//\]F'7 , où i = 0,1. > Ifî v Jj'l P.30 et Jjf/ =e=^/F'7 sont des formules et leurs grphes de variables libres "s'ajoutent" . 4) Si F est une formule et X une O-variable de sorte A appartenant à Varl(F) et isolée dans Varl(F) , alors 3 A X / F 7 et "K/^Jfl sont des formules et leurs graphes de variables libres sont les mêmes: pour les flèches, c'est toujours Varl(F) Varl(F) - ixl ; pour les objets, c'est (en quantifiant sur une O-variable libre d'une for- mule, on obtient une nouvelle formule où la O-variable en question n'est plus libre!) 5) Si F est une formule et si x:T — > T f est une 1-variable libre dans F, alors 3x:T —5>T'/F7 et V x : T —i>T'/F7 sont des for- mules ayant même graphe des variables libres : pour objets, c'est toujours Varl(F) ; pour flèches, c'est Varl(F) - ^x^ (en quanti- fiant sur une 1-variable libre d'une formule, on obtient une nouvelle formule où la 1-variable en question n'est plus libre!) Soit V un graphe de variables. Par souci de simplification , nous dirons que : - un O-terme T est à variables dans V si Var (T) est contenu dans V o ' o - un 1-terme t est à variables dans V si Var(t) est un sous-graphe de V - une formule F est à variables libres dans V si Varl(F) est un sousgraphe de V . On appelle séquent et on écrit cft 1 • #5 un triplet(V, tft, *Q ) où V est un graphe de variables et <& et fà sont des ensembles finis (ils peuvent être vides) de formules de L à variables libres dans V. Enfin appelons une théorie de catégories la donnée: - d'un langage de catégories L, -d'un ensemble de séquents de L . P.31 Section £. SEMANTIQUE "STATIQUE". Parenthèse. Si D est un graphe, nous notons L^ le graphe "subdivisions" associé . Rappelons que Ty est la réunion disjointe de D Q et de D. , et que chaque flèche x:X flèche de D*: x >X et x >Y de D donne naissance à deux >Y . Soit L un langage de catégories et soit K une 2-catégorie prédicative. Une réalisation R de L dans K , notée R:L ->K , est un bidiagramme (voir la définition en section 1) de L dans K (si A t L Q , f €„ L et u £ L 2 , on notera A = R(A) , f = R(f) et u = R(u)). Soit V un graphe fini de variables (de L) . Considérons le ( b i diagramme 1f:V^ —-->K défini 1) sur les objets par : V(X) = A si X est une O-variable de sorte A, et V(x) = A / A' si x:T >T' est une 1-variable de sorte B et si ~ B ~ A et A' sont respectivement les sortes des O-variables de T et de T'. 2) sur les flèches par : V(x,o) = V(x) V(x) cano cann >v(x) et V(x,l) = >V(X') , où X et X' sont respectivement les O-variables figurant dans le domaine et le codomaine de x. A Posons alors V = Lim V . Nous allons maintenant construire par induction, pour les 0termes, les 1-termes et les formules, leur interprétation par rapport à V pour la réalisation R, à condition qu'ils soient à variables (ou à variables libres pour les formules) dans V. 1°) Pour les O-termes. L'interprétation d'un O-terme T par rapport à V est une flèche de K , soit Int(T,V):V — > A , où A = sorte(T). Les règles de construction sont: - si X est une O-variable de sorte A , figurant dans V,alors Int(X,V):V >A est simplement la projection deB est un 1-symbole, alors Int(f/T7,V) est la flèche com- posée de Int(T,V):V >A et de f:A — $ > B . P.32 Remarque. Si W est un sous-graphe de V, pour tout O-terme T de sorte A, le triangle suivant commute à un isomorphisme près: V 2SS2 >W Int(T,V) > V ~. >T' par rapport à V est une 2-flèche de K , soit Int(t,V):Int(T,V) —$>Int(T»V): V — — ^ A , où A s sorte(t). Les règles de construction sont: - si x:T — ^ T ' est une 1-variable de sorte A, figurant dans V, Int(x,V):Int(T,V) >Int(T',V):V—$>A V >V(x) canoj, est la 2-flèche composée: ^*"£ A Mt.^1^" \ où X et X' sont objets respectifs de Var(T) et Var(T'). - si T est un O-terme de sorte A à variables dans V, alors Int(ldT,V) est simplement Id-^/j y):Int(T,V) - si t:T — > T f et t':Tf î>Int(T,V). ^T" sont deux 1-termes de sorte A à variables dans V, alors Int(/t'7./t7fV) est le composé de Int(t,V):Int(T,V) >Int(T' ,V) et de Int(t',V) :Int(T',V) —5>Int(T",V) - si t:T — — ^ T ' est un 1-terme de sorte A à variables dans V, et si f :A — ^ B est un 1-symbole, alors Int(f/t7>V) est le composé: f.Int(t,V):f.Int(T,V) > f .Int(T' ,V) . - Si T est un O-terme de sorte A à variables dans V et si u:f ...f ?>g ...g :A ^ B est un 2-symbole, alors Int(u/T7,V) est le composé: u.Int(T,V):f ...f .Int(T,V) > £ .. .g .Int(T,V). Remarque. Si W est un sous-graphe de V et si k:V ^W est la flè- che canonique, alors le carré suivant commute: Int(T,W) .k Int(t,W).k > I n t ( T ,>w)>k In^T.V) iSlLbl) >mt(T',V) P.33 3°) Pour les formules. L'interprétation d'une formule F par rapport à V est un élément Int(F,V) de P(v). Les règles de construction sont: - Int(vrai,V) = vraiv - Si t :T et Int(faux,V) = fauxv . î>T' et "" t :T à variables dans V, alors Int(t >T' sont deux 1-termes de sorte A = t~ , V) = (l,u) où u:I >V est l'égalisateur de la paire de 2-flèches: Int(t f V) , Int(t2,V) : Int(T,V) >Int(T',V) . - Si F et F' sont des formules à variables libres dans V, on a: I n t ( / F 7 / \ / F f 7 y V) = Int(F,V) O Int(F',V) I n t ( / F 7 v / F ' 7 f V) = Int(F,V) U Int(F',V) Int(p7 « ^ / F ^ f V ) = Int(F,V) = > I n t ( F ' , V ) - Si 3 A X Z*7 ©t V/.X/F7 sont des formules à variables libres dans V et si X est une O-variable ne figurant pas dans V, alors: Int( 3 A X / F 7 , V ) = 3p(lnt(F,Vx)) et Int( V A X / F 7 , V ) = V p (lnt(F,V x )) où V y est le graphe de variables obtenu à partir de V en y ajoutant simplement l'objet X, et où p:V - Si 3x:T >T'/F7 >V est la projection canonique. et VXÏT > T ' / F 7 sont des formules à variables libres dans V et si x est une 1-variable ne figurant pas dans V, alors: Int( 3 x:T >T'/F7,V) Int( V x : T >T'/F7,V) = 3p(lnt(F,Vx)) = V (lnt(F,V )) x P où V est le graphe de variables obtenu à partir de V en y ajoutant simplement la flèche x, et p:V ^V est la projection canonique. Remarque. Si W est un sous-graphe de V et si p:V >W est la flè- che canonique qui s'en déduit, alors pour toute formule F à variables libres dans V, on a: p"1(lnt(FfW)) = Int(F,V) . Enfin, 1) un séquent *Ji \—-—> t/} est appelé valide pour la réalisa- tion R si l'inégalité suivante est satisfaite dans P(v) : f \ Int(F,V) F£J?' ^ U Int(G,V) GA de K , nous allons construire, par induction, pour chaque O-terme T de sorte B où la variable X figure, une flèche notée T(a):S — ^ B : 1) si T est la variable X, alors X(a) = a , 2) si T est un O-terme de sorte B et f :B ^ C un 1-symbole alors f/T7(a) est la flèche composée de T(a):S ^ B et de f :B — ^ C . On construit de même pour chaque 2-flèche u:a —-^a':S — : > A une 2-flèche T(u):T(a) >T(a'). - Soit maintenant V un graphe fini de variables et S un objet de K. Appelons distribution de valeurs d:S — ^ V la donnée : 1) pour chaque O-variable X de V de sorte A d'une flèche dX:S >A 2) pour chaque 1-variable x:T dx:T(dX) ^ T ' d'une 2-flèche ^T'(dX') , où X et X' sont respectivement les O-varia- bles figurant dans T et T'. - Pour chaque objet S de K , soit V(s) la catégorie qui a pour objets les distributions de valeurs d:S — ^ V et pour flèches r:d rX:dX ^d 1 la donnée, pour chaque O-variable X de V d'une 2-flèche ^d'X:S — > A telle que pour chaque 1-variable x:T >T' le diagramme suivant commute : T(dX) >T'(dX') T(d'X) $>T'(d'X') On définit ainsi un homomorphisme V:K A/ de noter d.k au lieu de V(k)(d). ~ v> Cat. Il sera commode P.35 Si W est un sous-graphe de V , il définit une flèche naturelf\J le k:V r*J A > W dans K . On notera alors, pour une distribution de va- leurs quelconque d:S ^V : d/W = kS(d). Proposition J^. Pour tout graphe fini de variables V, l'homomorphisme V est représentable et a V pour représentation. ? Soit d :V ^V la distribution de valeurs définie sur une O-variable X de sorte A par d X = Int(X,V):V 5>A (on vérifie fa- cilement par induction que si T est un O-terme de sorte B où la variable X figure, alors T(d*X) = Int(T,V):V » B ) . Si x:T — > T ' est une 1-variable de sorte A, posons d x = Int(x,V):T(d X) —>T(d X') où X et X' sont les O-variables figurant respectivement dans T et T'. On vérifie que pour tout objet S de K , le foncteur canonique K(S,V) >V(s) construit à l'aide de d est une équivalence ! - Soit V un graphe fini de variables. 1°) Si T est un O-terme de sorte A à variables dans V et si d:S — > V est une distribution de valeurs , on pose T(d) = T(dX):S — * > A , où X € Vax (T). o ' 2°) Si t:T >T f est un 1-terme de sorte A à variables dans V et si d:S — ^ V est une distribution de valeurs, on va construire par induction une 2-flèche t(d):T(d) >T'(d):S 5>A. Si x:T — ^ T ' est une 1-variable de sorte A figurant dans V, alors : x(d) = dx:T(d) >T'(d). Si T est un O-terme de sorte A à variables dans V, alors, Idjd) = IdT(d):T(d) — > T ( d ) . Si t:T >T' et t':T' — ^ T " sont deux 1-termes de sorte A à variables dans V, alors /t'7./t7(d) est le composé t'(d).t(d): T(d) >T"(d). Si t:T — ^ T ' est un 1-terme de sorte A à variables dans V, et si f:A — ^ B est un 1-symbole, alors f£tj(d) = f .t(d) :f/T7(d) — ~>f/T'7(d). Si T est un O-terme de sorte A et si u:f ...f.. ^g . ..g..: A — > B est un 2-symbole, alors U/T7(CL) = u ^ d ^ T ^ d ) — ^ ^ ( d ) , P.36 où U/T7:T 1 >T 2 . 3°) Si F est une formule à variables dans V et si d:S — > V est une distribution de valeurs, nous allons donner une signification à l 1 écriture d |~ F , et ce par induction. V - d |~ vrai signifie vrai Q = vrai q et d |ZZ faux que vrai q = fauxc b y V - Si t :T — ^ T ' et t p :T :>T' sont des 1-termes à variables dans V, a l o r s d t n ( t = t p ) s i g n i f i e qu'on a l ' é g a l i t é des f l è n V ches t1(d):T(d) >T'(d) et t2(d):T(d) >T'(d). - Si F et F' sont des formules à variables libres dans V, alors d |= /F7A/F'7 signifie qu'on a à la fois d |~ F et d J— F' d |~ / F 7 V Z F ' 7 V signifie qu'il existe deux objets S et S 2 et deux .flèches pleinement fidèles TJ-1 rS^ — z > S et ^ 2 î S 2 — ^ S d a n 8 S tels que (S 4 ,u.)(^j (S 0 ,u 0 ) = vraib Q ainsi que d.u |— F et d.u \=Z F 11 * *• 'y V d lit /ï7 =$Ij%7 signifie que pour toute flèche k:S' — ^ S , si on a V d.k | ~ F , alors on a aussi d.k |— F' . V V - Si 3.X/F7 et V , X / F 7 sont des formules à variables libres dans V et si X est une O-variable ne figurant pas dans V, alors d |~ 3 A X / F 7 signifie qu'il existe une flèche dominante p:S' A V e t une d i s t r i b u t i o n de v a l e u r s d ' : S ' et >V X t e l l e que d ' / V î>S >>d.p d' | = r F , V X d I VX/F7 V s i g n i f i e que pour t o u t e f l è c h e k : S ' — p S distribution de valeurs d':S' — > V X on a et toute A telle que d*/V ->d.k, alors d' ( m P . - Si 3x:T ^T'_/P7 et Vx:T >Ï"/F7 son* des formules à variables libres dans V et si x est une 1-variable ne figurant pas dans V, alors d hz V 3x:T T'/J7 signifie qu'il existe P.37 une flèche dominante p:S' — ^ S et une distribution de valeurs d':S' d î>Vv telle que d'/V —>d.p et d» b P Vx J— V X î T V , v>T'/F/ s i g n i f i e que pour toute flèche k : S ' et toute distribution de valeurs d':S' yV >S telle que d'/V —>d.k, alors on a d' | ~ F • Vx - V étant un graphe fini de variables et F une formule à variables libres dans V, soit ÎF,Vj :K p — ^ C a t l'homomorphisme où pour tout objet S de K , $F,v}(s) est la sous-catégorie pleine de V(s) ayant pour objets les distributions de valeurs d:S — ^ V telles que d |~ F . V Proposition 2. 1^>VJ ? Pour toute formule F du langage L 1'homomorphisme es "k représentable et a pour représentation Int(F,V). Si T est un O-terme de sorte B à variables dans V, il exis- te une flèche canonique T:V î> (B) dans K définie par: TS(d) = T(d) où S est objet de K et d objet de V(S). De même, si t:T >T' est un 1-terme à variables dans V, il exis- te une 2-fleche canonique t:T >>T' dans K définie par: tS(d) = t(d) où S est objet de K et d objet de V(s). Remarquons aussi que pour toute formule F, ^ > V ^ (S) est stable ru. pour les inversibles dans V(S). Montrons maintenant la proposition par induction. L'homomorphisme (-):K — ^ K étant exact à gauche et préservant les implications et les V on vérifie facilement que pour représentation *-! £ où F F Int(F,V) pour les formules de la forme A *2 • / 17 /F27 , llj^llj ,P ^•'j a vrai, f V/ZG7 et Vx:X —>X'/G7, et G vérifient l'hypothèse d'induction. Il reste à étu- dier quatre types de formules. Pour cela, soient S un objet de K et d:S ^>V une distribution de valeurs dont "la" flèche de K (à iso près) sera notée d°:S 5>V. (cf. proposition 1) P.38 Il reste donc à montrer, dans ces quatre cas là, que si F est une formule, dfcz:F si et seulement si d° se factorise par Int(F,V). V 1°) Pour F = faux , c'est immédiat car le faux est stable par changement de base. 2°) Pour F = /jJ^jjJ • Supposons tout d'abord que d° se factorise par Int(F ,V) , et notons (S.,u.) = (d 0 )" 1 (lnt(P if V)), pour i = 1 ou 2. Gomme Int(P ,V) U Int(F2,V) = Int(F,V), et que d° se factorise par Int(F,V) , on en déduit que (S.,u ) U (S 2 ,u 2 ) = vraig et que d°.u. se factorise par Int(F.,V) , pour i = 1 ou 2. Mais d'après l'hypothèse d'induction, cela signifie que d.u. |— F. . V La réciproque se vérifie facilement en remarquant que les unions sont stables par changement de base. 3°) Pour F = 3 A X/p7 . Supposons que d° de factorise par Int(F,V) (on notera encore d° : S >Int(F,V) cette factorisation) et considérons le produit fibre suivant: S' 2 ^s d'° | I d° ^ V v —sss:—->mt( 3 A x/G7,v) Comme la flèche canonique Int(G,V ) >>Int( 3J^£GJ9Y) est dof minante, il en est de même de p:S — - ^ S . Ainsi il existe bien une distribution de valeurs d':S >V telle que d1 |=* G et d'/V —^d.p X vx Réciproquement, si d |— 3 X / G 7 , alors il existe une flèche doA V minante p:S' — $ > S et une distribution de valeurs d':S' — ^ V Y telle que d'/V >d.p et d' p r G . Mais ceci signifie encore que le carVx ré suivant de gauche est commutâtif à un isomorphisme près : d S' ^S S' *° i d'° d° Int(G,Vx) i : X -*>V =>s i Int(G,Vx) Int(F,V) d° >V P.39 Le diagramme précédent de droite commute donc à un isomomorphisme près. Ainsi la flèche p:S' ^S étant dominante et étant pleinement fidèle, on en déduit que la flèche se factorise bien par 4°) Pour F = *3x:T cédente ! Int(F,V) — > V d°:S — ^ V Int(F,V) . : > T ' / G 7 . La preuve est identique à la pré- Proposition J5.. Un séquent ont I—==— K3 de L est valide pour la réalisation R si et seulement si pour tout objet S de K et toute distribution de valeurs d:S — $ > V le fait d'avoir d |— f)\ F entraîne aussi d |n \ X / G V G£<8 . ? On peut déjà se ramener au séquent du type F \mm^7m G où F et G sont des formules à variables libres dans V. Dire que F |-=r- G est valide signifie que Int(F,V) ^ Int(G,V) , ou encore que ^F,Vv CZ { G > V J ,d'après la proposition précédente, ce qui n'est autre que l'énoncé de cette proposition exprimé en d'autres termes ! Section ±. LANGAGE INTERNE D'UNE 2-CATEGORIE PREDIGATIVE. - K étant une 2-catégorie prédicative, soit K le langage de catégories dont le bigraphe correspondant est celui associé à K. On dit que K est le langage interne de K. Il y a donc canoniquement une réalisation K ^ K . Aussi lorsque nous aurons un séquent v C l — - CO nous dirons simplement qu'il est valide pour signifier qu'il est"valide pour la réalisation canonique". - Soit maintenant t:T — ^ T ' un 1-terme de K de sorte A. Il sera commode de noter dans la suite "t inversible" la formule: 3x:T' >T /t.x = IdT, A x.t = IdT7 , où x:T' > T est une 1-variable de sorte A ne figurant pas dans celles de t. On a volontairement omis des crochets dans cette P.40 formule, pour en simplifier la compréhension. T et T' étant des O-termes de sorte A, on notera aussi "T — T'" la formule suivante: 3 y:T — ^ T ' / " y inversible"7 • Proposition ^. Soit V un graphe fini de variables et t:T un 1-terme de K de sorte A à variables dans V. Alors: ^T1 1 ) sjL d:S — > V est une distribution de valeurs, on a: d |=r "t inversible" si et seulement si t(d):T(d) —>T'(d) est inV versible. 2) Int("t inversible",V) = (l,i) où i:I de Int(t,V):Int(T,V) >Int(T',V):V >V est l'inverseur 2>A. ? Soit F la formule suivante: t.x = Id^, A x.t = Id . a) Montrons tout d'abord que la flèche canonique de K suivante : $F,V \ > | 3 x : T f — 5 > T / F 7 , V | est pleinement fidèle. Soit donc S un objet de K et soit d ,d :S >V deux distributions de — i d. valeurs telles que d^dp |— F , et soit che de y„,^ V(s). Comme ~ x r ^ / V —>d 2 /V une f l è - ^x ou 2, on a d x = w t(d ,d. .|— F pour .i = . 1 . , )\ "- i . Par suite, comme le diagramme suivant de gauche commute : T(di ) ïte) >T(d2) T. ( d i ) T '(r) >T» (d2) T .( di ) ^1M * T .( d 2 ) T(di) ïi£i ^r(d 2 ) t il en est de même de celui de droite, ce qui prouve que r est aussi une flèche d >d ? b) Soit maintenant que d | ~ Bx:T' V che dominante p:S' (elle est évidemment unique). d:S >V une distribution de valeurs telle 5>T/P7 • û e l a signifie qu'il existe une flè- 5>S et une distribution de valeurs d':S' """^V telle que d'/V - ^ d . p et d'jr=- F . Cela peut s'exprimer en diVx A sant que le diagramme suivant commute à un isomorphisme près dans K : P.41 ( s ' ) — ^ — > L * . ^ (S) Câ) ^[3^.T'—>T/F7,V] Mais c*mme - ^F,V \ et |3x:T' — $ > T / F 7 , V J sont représentables, - p:Sf — ^ S est dominante, - ^F,V \ > [ 3 x : T ' — ^ T / F J 9 Y \ est pleinement fidèle, il existe (d):(s) -—^ \F,V J dans K telle que (d) soit la composée de (d) et de la flèche pleinement fidèle ci-dessus (à iso près). En d'autres termes, cela signifie qu'il existe une distribution de valeurs d:S — £ > V telle que d |— F et d/V — > d , ou encore que VX t(d) = t(d):T(d) —^>T'(d) est inversible. La réciproque est évidente. Enfin, d'après ce qui précède, j"t inversible",V j est 1' inverseur de la 2-flèche t:T 5>T':V ^A. Sa représentation est donc bien l'inverseur de Int(t,V):Int(T,V) >Int(T',V):V—>A ! x Proposition 2. Soit f:A >B une flèche de K (donc un 1-symbole de K ) . Alors: 1°) f est fidèle si et seulement si le séquent suivant est valide: (s.,) f/x7 = f/x'7 l — * = *' où V est le graphe de variables (de sorte A) suivant : X — r > X ' 2°) f est pleinement fidèle si et seulement si les séquents suivants sont valides : (^) f/x7= f/xf7 l-y x = X' (s2) t ~ 3x:X —>X'/f/x7 = H où V est le graphe de variables de la 1-variable y:f/x7 >f/X'7 de sorte B. 3°) f est dominante si et seulement si le séquent suivant est valide: (s3) i — 3 / / ^ 7 —>Y"7 £& V" ^ i le gysffifre £e variables réflujt à la O-v^riable Y £e sgrte B. 4°) f est une équivalence si et seulement si les séauents (s.), •pour i = 1,2 et 3» sont valides. P.42 ? 1°) est immédiat. 2°) D'après le 1°), nous pouvons toujours supposer f fidèle. Dire que le séquent (sp) est valide signifie que pour tout objet S de K , toutes flèches a,a':S — ^ A et b:S — ^ B et toute 2-flèche v:f.a ——^f .a' , il existe une flèche p:S' — ^ S dominante et une 2-flèche u:a.p 5>a'.p telle que f.u = v.p . Il suffit alors d'utiliser la proposition 4 de la section 3 pour achever la preuve. 3°) D'après la proposition précédente, le séquent (s..) est valide si et seulement si pour tout objet S de K et toute flèche b:S — ^ B il existe une flèche dominante p:S' > S et une flèche a:S' — - ^ A qui rendent le carré suivant commutatif (à iso près): S» - >A S 2 >B En particulier, si on prend S = B et b= IcL . On applique alors la proposition 5 de la section 3 pour conclure. 4°) Résulte , toujours grâce à la même proposition, de 2°) et 3°)l Remarque. Nous venons de constater la différence qu'il peut y avoir entre la sémantique traditionnelle et celle qui a été décrite ici. En effet, pour la sémantique traditionnelle, à valeurs dans un topos (par exemple), les séquents (s.)> pour i = 1,2 et 3 t de la proposition 2 ne caractérisent pas les équivalences comme c'est le cas ici, puisqu'il faut avoir recours à l'axiome du choix pour prouver cette caractérisation. Proposition j£. 1°) Soit A un objet de K ; alors A est un objet final si et seulement si les séquents suivants sont valides : (fin 1) T" x j x ' (fin 2) •^7 jx:X >X'/x = x7 (fin 5) • — 3 AX^IdX = I d / où V est le graphe de deux 1-variables parallèles : x,x':X V >X', le graphe de deux O-variables: X,X* et V" l£ graphe 0 , et où toutes les variables sont de sorte A. P.43 P 2°) Soit le bidiagramme su^yant dans K : 1 A - _^> ' B alors £ 'est un produit comma si .ai seulement si les séquents suivante ewrt valiflep: (corn 1) p/z7 = p/z»7 A q/z7 ^ q/z'7 \— (corn 2) sjjl.ujfl (corn 3) » — = u / Z ' 7 . f / x 7 l-^T z = z' 3 z : Z —i>Z'/p/z7 = x A q/z7 = y7 3 p Z 3x:p/z7—5>X 3 y : q / z 7 — > Y . . . . . . / " x i n v e r s i b l e " A "y i n v e r s i b l e " A g / y 7 . u / z 7 = tsjjj] ûù V = [z,z':Z—>Z'} , V^ = {z,Z'$ , V» = [X,Y} V; = [x:p/z7—>pZZ'7 , y:q/z7 >qZZ,7} > V»' = {t:f/x7 -»g/Y7 J l i £11 Z,Z' , z , z ' sont de s o r t e P, X,x de s o r t e A, Y,y de s o r t e B e t u dfi. s o r t e S. 3°) Soit l a 2-flèche n:f 5>g:B ^C et l a flèche i:A —5>B. Alors, c e t t e dernière est 1'inverseur de n s i e t seulement s i l e s séauents suivants sont v a l i d e s : (inv 1) i— "n/i/x77 inversible" (inv 2) i/x7 = i/xf7 ï-yT (inv 3) 1— > X ' / i / x 7 = y7 (inv 4) M 3x:X x = x1 n/Y7 i n v e r s i b l e " »—^f mv={x> 3 A X/ l f i/x7— Y"7 , v = {x,x':x—5>x'} , v^ = ix,x»l , V" = { y : i / x 7 5>±ZX,7 ï e t V"' = $ Y ) , et où X,X' sont de s o r - k A ^ i Y fiai as. £££i£ B . ? 1°) On montre successivement, en utilisant la proposition 4 de la section 3 que si les séquents (fin l),(fin 2) et (fin 3) sont valides, la flèche canonique A ^>1 est fidèle, puis pleinement fidèle, puis dominante. La réciproque est évidente. 2°) Comme pour le 1°), on montre successivement que si les séquents (corn l),(com 2) et (corn 3) sont valides, la flèche canonique : P ^A/B est fidèle, puis pleinement fidèle, puis dominante. 3°) On montre ici successivement que les séquents (inv l),(inv 2), (inv 3) et (inv 4) sont valides: - la flèche i:A par Inv(n) >B, ^ B se factorise (à un isomorphisme près) P.44 - la flèche i:A ->B est fidèle, - elle est même pleinement fidèle, par suite la flèche de factorisation A •—^lnv(n) est aussi pleinement fidèle, - la flèche A —-^lnv(n) est dominante. Proposition £. Soit f :A ^B une flèche de K • Notons respecti- vement F,G et H les trois formules suivantes : V A X" V X Î X " 3x:Xt >X Vx':X" —î>X/y.f/x7 = y.f/x'7«=^ x = x'7 — ^ X / y . f / x 7 = y<7 3AX 3y:f/x7—i?Y VAX' Vy':f/X'7 >Y/FAG7 où Y est une O-variable de sorte B. Alors f admet un ad.ioint à^ droite dans K si et seulement si le séquent H = - H est valide, où ? Notons aussi J la formule phe de variables défini par: W y':f/X'7 (y.f/x/ = y') et soit W le gra- = ^X,X',Y} , W = {y:f/x7—^Y, £ Y j . Considérons le produit fibre suivant dans K : PC > h.vj \v AG,WJC > |c t v} . a) Montrons que la flèche P •> £ F AG,W j est pleinement fidèle. Soit donc que - d ,d„:S — ^ W deux distributions de valeurs telles o 1 ' x d. | — J et d./W \zz. F , pour i = 0 et 1. 1 W * W X AJ - r:d /W >d /W une flèche de w(s) . La seule chose à montrer, pour prouver que r se relève de façon unique en une flèche d — ^ d . , est que le carré suivant commute: d X' o (c) ^ ^dix V^ d X O ^d,X' 1 & >d.X i Or, on voit facilement que le diagramme suivant commute: P.45 f.^X» Ul^f.^X = ^7(^) f.d X' f.d1X = f/x7(d ) O » ' I l s u f f i t a l o r s d ' u t i l i s e r l e f a i t que d /W }= F pour nous assu1 W rer de la commutation du carré (C). b) En appliquant une nouvelle fois la proposition 4 de la section 5 on en conclut que si une distribution de valeurs d:S >> W est telle que d \=L F A G , alors il existe une unique 2-flèche v:dX' — > d X W telle que dy.(f.v) = dy' . c) Soit U la formule suivante: V A X' Vy':f/X'7 >Y/FA G 7 et V le graphe de variables défini par V^ = \ X,Y^ , V^j = ^y:f/x7 — > Y } Montrons que la flèche {u,V^ > {E>Y\ e s t Pleinement fidèle. Soit donc d ,d ;S > V deux distributions de valeurs telles que o rJ 1 d.1 |"=1U , pour i = 0,1 et r:d /V — ^ d /V une flèche de V(S). V' o i Comme d |— U nous savons, en utilisant le b ) , qu'il existe alors 1 V une unique flèche sX:d X — > d ^ telle que d^.(f.sX) = rY.dQy. Donc r se prolonge de façon unique en une flèche d^ ^ ^ , ce qui prouve que £u,V'} ^ i H > v } e s t pleinement fidèle. d) En appliquant une dernière fois la proposition 4 de la section 3 , on en conclut que pour tout objet S de K et toute flèche b:S >B, il existe une flèche a:S — ^ A et une 2-flèche v:f .a — > b telle que pour toutes flèches k:S' — > S , a':S' >A et toute 2-flèche v':f.a' 5>b.k , il existe une unique 2-flèche u:a' —>a.k qui rend commutatif le diagramme suivant: f.a' — V' \ ^ ^f.a.k / X V ^ b.k Cela signifie , en d'autres termes, que : P.46 - pour tout objet S de K , le foncteur K(S,A) — ^ K ( S , B ) admet un adjoint à droite (appelons-le dS), pour toute flèche k:S' — ^ S de K , la 2-flèche canonique: K(S,B) ⧠K(S\B) ⧠, >K(S,A) *y >K(S',A) est inversible. Ainsi la flèche f:A — ^ B admet un adjoint à droite dans K , donc dans K. La réciproque se vérifie aisément. Section 8. SCHEMA DE COMPREHENSION. Soit K une 2-catégorie prédicative et K son langage interne. Soit A un objet de K et soient F = (F,u) et G s (G,v) deux éléments respectivement de P(A) et de P(A—) • Si T est un O-terme de sorte A, nous noterons F(T) la formule suivante ; 3 pY/"u/Y7 — T"7 . De même,1 si t:T — ^ T „ est un 1-terme de sorte A, nous note.o 1 rons G(t) la formule suivante: 3 Q Y 3 x o : ( d o . v ) / Y 7 - ^ T Q 3 x 1 : ( d 1 . v ) / Y 7 - - ~ > T 1 ... .. ./"x où e:d —5>d.:A o inversible" A "x inversible" A x y{e.v)jfJ = t.x 7 :>A est la 2-flèche canonique, et où Y,x 9x. ne 1 0 1 figurent pas dans t . Proposition 1. On a : 1°) Int(P(T)fV) = f 1 F et 2°) Int(G(t),W) = t~1G , où V et V sont des graphes finis de variables contenant respectivement les variables de T et de t, et où T = Int(T,V) :V t:V — ^ A - ^>A et est la flèche canonique déduite de la 2-flèche : Int(t,W):Int(T ,W) î>Int(T-),W) . ? 1°) Soit d:S — ^ V une distribution de valeurs. Alors , P.47 d jzr F(T) si et seulement si il existe une flèche dominante V p:S* — ^ S et une flèche b:S —-->F rendant le diagramme ci-dessous commutatif à un isomorphisme près: P S» ^ >p l /N l U Mais d'après la proposition 4 de la section 3, on en déduit que d | ~ F(T) si et seulement si T(d) se factorise par u:F —5>A. Or V le diagramme suivant commutant (à un isomorphisme près): _ V 5 T T(d) ~ * > A où S — ^ V est la flèche canonique déduite de d:S — ^ V (proposition 1 de la section 6 ) , on peut dire que d |— F ( T ) si et seulement V si S ^V se factorise par T~ F . Ceci prouve que 1 ' homomorphisme £F(T),V5 admet Tf1F pour représentation. 2°) La preuve est tout à fait semblable à la précédente. ! Corollaire. 1°) Si H est une formule telle que VarlH = \x ^ = V, alors les séquents suivants sont valides; H l^^J Int(H,V)(x) V 2°) Si H' est une formule telle que VarlH' = \ X — > X f } = W, alors les séquents suivants sont valides: H ' [ — \ Int(H',W)(x) . Définition. Soit A un objet de K . Une sous-catégorie formelle (de A) dans K est la donnée (en plus de À ) des éléments C de P ( A ) et C de P ( A £ ) . De plus, les séquents suivants doivent être valides: 1) ^(x)!— 2) CQ(X) A, C (X f ) / \ " x i n v e r s i b l e " ) — C (x) 3) C^x) A C ^ x O l y ^ ( x ' . x ) , où V = [ X — ï _ £ X f } C Q ( X ) A c o (x') , V = [X — ^ - ^ X ' — ~ > X " 3 , et où toutes P.48 les variables sont de sorte A. On construit ainsi une nouvelle 2-catégorie s-s(K) qui a: - pour objets : les sous-catégories formelles dans K , - pour flèches : (AfC f C ) >(A',C^,C^) les flèches f:A >A' qui rendent valides les séquents suivants: 1) CQ(X) I — c^(f/x7) 2) C^x) l y r C'(f/x7) • où V = { X ^ et V = {x -^->X'} , - pour 2-flèches f u:f ^f'iUjC ,C ) —^>(A',C^,C^) les 2-flèches ^f':A —^>A' qui rendent valide le séquent suivant, dans lequel V = [x^ : C (x) I-y- C«(u/x7) . Toutes les données précédentes sont formulées à l'aide du langage interne, donnons leur maintenant une formulation plus "catégorique". - Un triplet (A,C ,C ) où A est un objet de K , G un élément de P(A) et C un élément de P(A— ), est une sous-catégorie formelle si et seulement si il vérifie les inégalités suivantes: 1°) C, v4 donf1C C\ cod"1C 1 o o 2°) donf1C f\cod~1C H Inv(n) ^ (^ 3°) P;1c1 n P - 1 c 1 4 ^ 1 c 1 p où n:dom — ^ c o d : A - — ~ > A est la 2-flèche canonique, et où p ,p. jf _ et k:A^ — ^ A — O^r I proviennent respectivement des flèches de K(A%A) suivantes : proJ1 5>proJ2 , proj^ —"^proj* , proj^ —:>proj,, - (A,C ,C ) et (A',C',C') étant deux sous-catégories formelles , une flèche f:A ?>A' se relève dans s-s(g) si et seulement si elle vérifie l'inégalité : C^ ^ f" 1 ^ o "* o C, ^ (f^)-1c' . - Si f,g:(A,C ,C ) et l'inégalité : >>(A',C^,C») sont des flèches de s-s(K) la 2-flèche u:f — > g : A — ^ A ' se relève dans vérifie l'inégalité suivante : C $* (u ) S-S(K) si elle C^j ou u : A 5>A'- est la flèche canonique déduite de u. (La vérification de ces assertions résulte de la proposition précédente). P.49 On vérifie que la 2-catégorie L'application : Al objets de S-S(K) S-S(K) est finiment complète. ^(Ajvrai.jvrai^) des objets de K dans les se prolonge en un homomorphisme : K — - ^ S - S ( K ) * On peut maintenant considérer l'axiome suivant: Axiome (schéma de compréhension). L'homomorphisme K ^s-s(K) admet un adjoint à droite N. Remarque. Cet axiome, qui signifie que toute sous-catégorie formelle est "représentable", n'est qu'une nouvelle version, dans le contexte envisagé ici, de l'axiome (R2) de "réductibilité" de (5). Proposition 2. Si K vérifie le schéma de compréhension, alors pour toute sous-catégorie formelle (A,C ,C ) , la flèche canonique : N(A,Co,C ) — ^ A est un monomorphisme de K. ? Commençons par préciser le sens de "monomorphisme" ici : c'est une flèche f : M — > M ' telle que, pour tout objet S de K , le foncteur canonique si a et K(S,M) —^K(S,M') est fidèle et de plus, a' sont deux objets de K(S,M) et i:f .a — > f .a1 un iso- morphisme, alors il existe une flèche v:a — ^ a ' dans K(S,M) telle que f.v = i . La démonstration consiste alors à vérifier que la flèche Id^:(A,C , C ) S-S(K), ^>(A,vrai ,vrai 2) est un monomorphisme dans puis à utiliser la fini-complétude de S-S(K) et l'exacti- tude de N ! Exemples. Les 2-catégories prédicatives suivantes vérifient le schéma de compréhension: 1°) Cat . Soit (A,C ,C ) un objet de S - S ( K ) . Considérons la souscatégorie C de A qui a pour objets ceux de C et pour flèches celles de A qui sont dans C . On vérifie facilement que C est équivalente à N(A,C ,0,). o v C°P 2°) C = Cat . Soit (A,C , C ) un objet de s-s(Ô) . Pour tout objet S de C, considérons la sous-catégorie CS de AS qui a: P.50 - pour objets, les objets a de AS tels que, pour tout objet S', toutes flèches f ,g:S' — $ > S et toute 2-flèche u:f flèche Au(a):Af(a) - pour flèches à OjS . >Ag(a) appartienne à a —v>a' , les flèches v>g de C, la CS , a — ^ a ' de AS appartenant On vérifie alors que les données précédentes se prolongent de façon unique en un homomorphisme C: C° P —5>Cat et que C est équivalente à N(A,CQ,C ) . 3°) Fib(c) . C'est un cas particulier du précédent. Il faut toutefois remarquer ici que, pour chaque objet S de C, 1'homomorphisme d'évaluation Vs:Fib(C) ^Cat commute avec N (ce qui n'était pas le cas dans l'exemple précédent). 4°) Champ(C,j) . Soit (A,Co,C ) une sous-catégorie formelle dans Chajnp(C,j) et N = N(A,C ,C.) dans Fib(C). Il existe une flèche o 1 —' canonique (NjVrai^vrai^) ^(A,C ,C ). Si on applique l'homo- morphisme (exact à gauche) "champ associé" a:Fib(c) —*>Champ(C,j) on obtient une nouvelle flèche (aN,vrai,vrai) ^(A,C , C ). Le schéma de compréhension pour Fib(c) nous assure alors l'existence d'une flèche aN 5>N. On vérifie qu'elle est "inverse" de la flè- che canonique N — ^ a N pour le "champ associé". Section £. APPLICATIONS. Soient K une 2-catégorie prédicative, K son langage interne, et A un objet de K. On dira que A vérifie l'axiome du choix si le séquent suivant est valide : "x épi." Ir— 3 y : Y >X/x.y = 1(^7 , où V est l e graphe de variables (de s o r t e A): jX -^->Yjet où "x é p i . " e s t l a formule: VAZ V Z : Y — > Z ^ z ' : Y ^Z/z.x = z'.x ==> z = z'7 Soit maintenant E un topos et K la 2-catégorie des champs sur P.51 E pour la prétopologie dont les familles couvrantes sont simplement les épimorphismes. Notons E la catégorie fibrée (sur E) E > E (pour tout objet S de E, ES est équivalent à E/S et pour toute flèche k:S' — ^ > S | ES E k >ES' est équivalente à E/S E/Sf ) . Proposition J[. E est un objet de K. ? Cela revient à montrer que, pour tout épimorphisme f:A — - ^ B de E le foncteur canonique E/B ^Des(f) est une équivalence,où Des(f) est la catégorie qui a : - pour objets : les données de descentes relatives à f, c'est-àdire les données: d'un objet (M,m) de E/A , d'un isomorphisme i:q^(M,m) (ï4,m) ^q*(M,m) tel que les diagrammes suivants commutent : P*q*(M,m) cano I 1 ^j p*q*(M,m) p*i | pfq|(M,m) où d:A EÎÏ ^P*q|(M,m) Z\ cano ^1 pfq*(M,m) | p*i ^^p*q*(M,m) d*q*(M,m) d ^AxA d*q*(M,m) ^ \r, , cano N> y/ N^ ^ (M,m) ^>AxA est la diagonale, et où q^qp* AxA P1>Pp>P? s ^ ^ *x /„^„^ cano î>A et sont les projections canoniques, carac- térisées par les relations: q .p. = q..p, , qp»Pp = ^2^¾ ' ^2*^1 = - pour flèches ((M,m),i) >((M',m') ,i') les flèches de E/A k:(M,m) >(M',m') telles que le diagramme suivant commute: q*(M,m) 3 vq*(M',m») q*(M,m) ^ >q*(M',m') Il suffit alors d'appliquer la proposition 5 de (2) ! P.52 Proposition 2. E vérifie 1'axiome du choix dans K si et seulement si E vérifie 1'axiome du choix implicite (voir définition dams (8)). ? Pour cela on vérifie que: p 1°) Int("x épi",V) est le plongement P sur EH dans K , où pour ~~ p tout objet S de E, PS est la sous-catégorie pleine de (E/S)— formée des épimorphismes (car dans E les épimorphismes sont stables par changement de base). 2°) Int( 3 y:Y v?X/x.y = Idy7fV) est le plongement Q sur E £ dans K tel que pour tout objet S de E, une flèche k:(M,m) — ^ ( N , n ) de E/S appartient à Qg si et seulement si il existe un épimorphis- me p:S' ^S dans E pour lequel p*k:p*(M,m) — ^ p*(N,n) admette une section. Ainsi, E vérifie l'axiome du choix dans K si et seulement si F ^. $, c'est-à-dire si et seulement si E vérifie l'axiome du choix implicite ! Remarque. Même si la proposition précédente ne nous surprend pas beaucoup, elle nous suggère une méthode qui, elle, on peut l'espérer, sera fructueuse. En effet, depuis que fut introduit la logique dans les catégories, on a pensé qu'en transcrivant des preuves de théorèmes "classiques" dans de "bonnes" catégories, on pourrait retrouver, voir même démontrer, de nouveaux théorèmes (ailleurs qu'en "théorie des catégories" bien entendu). Mais ces catégories, même si ce sont des topos, ne permettent pas, le plus souvent, une simple transcription de preuves classiques car leur logique interne est encore trop faible. Par exemple: elles sont rarement booléennes et surtout elles ne vérifient quasiment jamais l'axiome du choix. Le recours était jusqu'à présent de chercher de nouvelles preuves pour pallier à l'insuffisance de cette logique interne. Ici, nous voyons qu'il est peut-être possible de renforcer la logique interne d'une catégorie E pour peu qu'on change la "métamathématique" dans laquelle elle se trouve. Nous voulons dire par là qu'en remplaçant Cat qui contient E par une "bonne" 2-catégorie K , P.53 qui ne contient plus nécessairement E mais un objet E "jouant son rôle" (c'est le cas ici, puisque K(1,E) est équivalent à E) on arrive à donner à E des propriétés que E n'avait pas dans Cat. Soit maintenant G un objet d'une 2-catégorie prédicative K . On dit que G est un groupe si les séquents suivants (du langage interne de K) sont valides: l-tr- "x inversible" HyT 3*:X — M ( x = x) I-^T 3 ^ ( ¾ = 1¾) où V = [x — YJ f Vf = ^ X , Y ] , et V" s 0 , et où toutes les variables sont de sorte G. Proposition £. Soit (C,j) un petit site. Un objet G de la 2-caté- gorie K = Chajnp(C,J) est un groupe dans K unefferbesur (C,j) (voir 6 ) . ************* * si et seulement si c'est P.54 BIBLIOGRAPHIE. (t) J.BENABOU , Pibrations petites et localement petites, C.fî.A.S. Paris, t.281 (1975) A 897-900. (2) J.BENABOU et J.ROUBAUD , Monades et descente , C.R.A.S. Paris, t.270 (1970) A 96-98 . 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