D IAGRAMMES C. L AIR Conditions syntaxiques de plongement. I. Prolongements de foncteurs et extensions de Kan Diagrammes, tome 2 (1979), exp. no 3, p. L1-L12 © Université Paris 7, UER math., 1979, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 2 , 1979. CONDITIONS SYNTAXIQUES DE PLONGEMENT. I. PROIONGEMENTS DE FONCTEURS ET EXTENSIONS DE KAN. C. Lair. Introduction. Soit A une catégorie petite munie dfun ensemble de limi- tes (projectives) petites et soit B une catégorie localement petite munie d'un ensemble de limites petites. Si R: A >B est un morphisme de catégories munies de limites, on sait que toute réalisation y Ens P: A (certains disent: faisceau ou foncteur continu ou encore modèle de sation libre P :B de Kan de le long de P • •• > Ens A ) engendre une réali- (faisceau associé à l'extension R ) . Il est naturel de se demander à quelle condition suffisante (et éventuellement nécessaire) syntaxique (i. e. ne portant que sur (p). Pour toute réalisation associée P :B > Ens R ) on peut affirmer que: F :A > Ens , la réalisation en est un prolongement (i, e. la transformation naturelle canonique u_,: P >F,R est un mo- nomorphisme). En effet, lorsque (P) est vérifiée, il est possible d'énon- cer, sans autre vérification, un théorème de plongement analogue au théorème de Stone: - toute structure algébrique d'espèce A (i. e. tout modèle L 2 de A ) se plonge dans la structure algébrique d'espèce jacente à une structure algébrique (libre) d'espèce A sous- B . Dans la partie II de ce travail: "Prolongements de faisceaux et faisceaux associés" (à paraître dans ces "Diagrammes"), nous répondons précisément à cette question générale• Dans la présent te partie I , nous résolvons complètement le problème dans le cas particulier où aucune limite n'est distinguée dans dans A ou B . Autrement dit, nous allons obtenir une condition néces- saire et suffisante, ne portant que sur le foncteur R: A (où A est petite et B (P 1 ). Pour tout foncteur Kan F :B > Ens de > B est localement petite) pour que: F: A F > Ens , l'extension de le long de R en est un prolonge- ment (i. e. la transformation naturelle canonique u^: P >F.R est un monomorphisme) „ Cette condition s'éncnce ainsi: (G). Pour tout objet en de A , tout zig-zag A , est image par le foncteur canonique zig-zag- X de A B B/R(A) de A/A (fermé en >B , fermé en 1 A/A Z de A , fermé y> A , dès que le zig-zag JJLLSS R(Z) R(A) ) est image par le foncteur; o^onigue dfun zig-zag Y de B/R(A) , fermé en îRfk\ • Evidemment, cette condition, si elle est nécessaire, n'est pas suffisante peur pouvoir affirmer que les extensions de Kan, même "peint par point", des foncteurs de A conque le long de R vers une catégorie quel- en sont des prolongements • Ceci est du, essentiellement, au fait que lfon ignore, en général, comment sont calculées les limites inductives dans ces catégories• Par contre, pour les catégories complètes, co-complètes et à petites limites inductives séparantes (voir le §2) les petites limites inductives se calculent "comme dans Ens ". Alors, nous établissons que la condition (c) est équivalente à la suivante: L 5 (P"). Pour toute catégorie E , complète, co-complète et à limites inductives petites séparantes, pour tout foncteur P: A > E , l'extension de Kan le long de R P :B > E de P en est un prolongement. On déduit enfin, à titre d'illustration, quelques applications élémentaires de cette étude. 1. Cas dos extensions de Kan à valeurs dans Ens• 1.1. Rappelons, pour fixer les notations, comment est construite explicitement l'extension de Kan P: B - > Ens d'un foncteur R: A > B P: A On associe à tout objet > Ens le long de B B de . la catégorie (corama) R/B ayant: - pour objets les (b,A) où b: R(A) est flèche de > B - pour morphismes les où a: A > A' A est objet de et B , ((bf,A'),a,(b,A)): (b,A) est flèche de A et R//B: R/B — - > A ((b',A'),a,(b,A)) la flèche Dans ces conditions, pour tout objet B > (bf,A') bf .R(a) - b . Alors, on dispose d'un foncteur canonique qui associe à A de a . B , on a: F (1). F(B) = lim (R/B et, pour tout objet (2). S(1 u J A ) : F(A) >A) : A > A de > Ens) = lim (P.R//B) A : > F(R(A)) est la co-projection P(R//B(1R(A),A)) = P(A) > lim (F.R//B) , (ces deux formules étant encore valables lorsque l'on remplace Ens par une catégorie quelconque E co-complète). L4 Dans le cas ensambliste, rn peut être encore plus explicite. A P on associe la catégorie (comma) - pour objets les élément de (A,x) OÙ A est objet de >A? a: A est flèche de f ((A',x ),a,(A,x)) associe Ensuite, à tout objet (comma) 1/P/B x est A B de et > (A',x') P(a)(x) = x' . 1//P: X/F y A qui a . B , on associe la catégorie ayant: - pour objets les et et ((A',x') ,a,(A,x)): (A,x) On en déduit un foncteur canonique à A P(A) , - pour morphismes les où 1/P ayant: (b,A,x) où (b,A) est objet de R/B (A,x) est objet de 1/P , - pour morphismes les ((b',A',x'),a,(b,A,x)): (b,A,x) où ((b',A'),a,(b,A)) est flèche de est flèche de de (4). u^(A): F(A) x de B , on a: (ensemble des composantes connexes ) , et, pour tout objet tout B P(B) = Î?n(l/P/B) 1/P/B et ((A1 ,xf)fAf(A,x)) R/B 1/P . Alors, pour tout objet (3). > (b',A',x«) A de A: >?(R(A)) est l'application qui à associe la composante connexe Mp(AyA,xl ^e (1R(A),A,X) . 1.2. Pour que l'application Up(A) , définie par soit injective, il faut et il suffit que: - | 1n ,^,A,xl 'R(A) s r i R(A)' A ' xl l impli A (où z est la catégorie 1< 2 >>...< 2n >2n+1 ) n fermé en A , i. e. tel que Z(l) = Z(2n+1) = A , - il existe un zig-zag Y: z ^ B/R(A) , fermé en 1R/A\ t vérifiant Y Z R (5) • (»n > B/R(A) > B) = (z n > A > B), - il existe un zig-zag V: z (6). (z V(2n+1): 1 > Ens) = ( Z R — — > A > 1/Ens et tel que V(l): 1 •> 1/Ens vérifiant p >Ens) > F(z(l)) = P(A) sélectionne x et ;> F(z(2n+1)) = P(A) sélectionne Mais l'ensemble des zig-zag V vérifiant tion avec x' . (6) est en bijec- lim P.Z • En conséquence, une condition nécessaire et suffisante pour que P soit un prolongement de P est que: (CL). Pour tout objet A de A , tout entier .n , tout zigzag Z: z > A , fermé en A , et tout zig-zag 1 n "" ————— Y: zn >B/R(A) fermé en 1H(A) /,N et vérifiant (5) . on a P1 - P 2 n + 1 , lorsaiie P 1 » P2n+1 : 15± FmZ > F(Z(1))= P(z(2n+1)) = P(A) sont les projections canoniques extrêmes,* 1.3- ?ovœ que la condition (P1) de l'Introduction soit vérifiée, il est nécessaire et suffisant que (Cp) le soit pour tout foncteur F: A v> Ens . Comme lim P.Z > Hom(li^ I.Z op P ) (où I: A ° P — > Ensest le plongement de Yoneda), il faut et il suffit donc que s 1 - S 2n + 1 ' l o r s q U e S 1 ' S2n+1 : I ^( 1 )) = l(Z(2n+l)) = l(A) > 1 ¾ I.Z L 6 sont les co-projections canoniques extrêmes. f*T) A Mais, liml.Z * se calcule point par point dans Ens— . On en déduit donc que la condition (P') est équivalente à: (C 1 ). Pour toute flej^he a: A > A' de A , tout entier n > tout zig-zag Y: z n y A , fermé en A , tout zig-zag Z: z >B/R(A) fermé en existe un zig-za^y X : z SSe: - 1 / v et vérifiant (5) , il y À/A' et tel fermé en a x (an > A/A' > A) = (z n > A ) . 1«4* Il est clair que la condition condition (c) (prendre X = X (C) est vérifiée, alors pour tout objet m de (C) z (C) entraîne la ) . Inversement, si la condil'est car il suffit de poser, (i. e, tout entier 1 ^ m ^ 2n+1 ) : - X (m) = a.X(m) . a En conséquence, les conditions (P') et (C) sont bien équi- valentes, comme annoncé dans l'Introduction. 2» Cas des extensions de Kan point par point à valeurs dans une catégorie complète, co-complète, à limites inductives petites séj^antes» 2.1. Il nous faut, tout d'abord, définir ce que l'on entend par "petites limites inductives séparantes". Définition, On dit qu'une catégorie complète et co-complète est à limites inductives petites séparantes si, et seulement si, pour toute catégorie petite G: D > E D , pour tout foncteur et pour tout objet D priétés suivantes sont équivalentes: de D les deux pro- L7 (i). La co-projection canonique un monomorphisme, y lim G est s_: G ( D ) (ii). Pour tout entier n , tout zig-zag W: z y D fer- mé en D , les projections canoniques extrêmes -1 ' *2n+1 : <Î2? G # W > G(B) sont égales. On vérifie facilement que dans toute catégorie complète et cocomplète E la condition (i) implique (ii) . Pour que E s^>it à petites limites inductives séparantes, il suffit donc que (ii) implique (i). La catégorie Ens est à petites limites inductives sépatantes. En effet, supposons (ii) vérifiée. Comme lim G s II (l/G) et s (x) = |D,xJ est la composante connexe de (D,x) , si [l),x] = jJD,xfJ , il existe un entier n , un zig-eag y- z y j) fermé en D et une famille (x ) , * * .-i telle que: - est, pour t.mt 1 £ m ^ 2n+1 , élément de G(W(m)) , xm G(w(2k > 2k i 1 ))(x 2k ) = x a + 1 , pour tout Uk^n , x. = x et x,. . = x' o 1 2n+1 Mais, alors, (x ). y /0 A - ' ' v x m1 4 m ^ 2n+1 est élément de lim G.W . <— En conséquence, x = x = x 1 = x~ . (condition (ii)) . Il en résulte que s^ est un mono, donc que (i) est vérifiée. C évidemment, si C est une catégorie (quelconque), Ens— est à petites limites inductives séparantes. Plus généraleQ ment, si E l'est, alors E— l'est. L 8 2.2. Montrons, maintenant, que (Pfl) est équivalente à (C). E Evidemment, si (Pff) est vérifiée, (C) l'est (car (P") est vérifiée en particulier si E = Ens et l'on peut donc appliquer l'étude du §1 ) • Inversement, supposons que R: A > B vérifie (C) et que E est une catégorie complète, co-complète et à petites limites inductives séparantes. Si P: A ^ E est un foncteur, si P: B y E est son extension de Kan le long de R , les formules (1) et (2) sont valides. En particulier, pour tout objet A de A , on a P(R(A)) = lim (P.R//R(A) = G) Ceci rappelé, si n y D = R/R(A) est un entier et si W: z i3 l u i est un zig-zag fermé en O R ( A V ) * correspond les zigzags: W R//R(A) - Z: z >R/R(A) y A , fermé en A , n W R' - Y: z > R/R(A) > B/R(A) (OÙ l'on a posé A R'((b',A'),af(b,A)) = (b',R(a),b) ) , fermé en 1 R ( A ) rifiant et vé- (5) • En conséquence, il existe un zig-zag X: z y k/k vérifiant les propriétés énoncées dans (C) (qui est satisfaite). On en déduit le diagramme commutâtif (*) de E , ci-dessous (*) lim ( F.R//R(A).W = P.Z - G.W) F(Z(2n)) L IS^ > P(A) 1 P(A) L 9 On en déduit que r. = r~ et donc que V A ) = S d H ( A ) ,A) ' G(1R(A)'A> " * A > — > 1 ¾ G est un mono. 3. Remarques. 3.1. La condition Supposons, en effet, que (C) implique que R est fidèle. a , a' : A' > A sont tels que ! R(a) = R(a ). Alors, on a: - le zig-zag Z de A d'image A<- a - l e zig-zag Y de a R(A)<£ R(A») \ 1 d'image B/R(A) 1 -> A A« >R(A) H(a) R(AX R(A) donc (condition (C) ) il existe un zig-zag X de A/A d'ima- ge et, par conséquent, on a 3.2. On peut montrer directement (sans utiliser (C)) qu'il est nécessaire que aussi a = a1 ( = a" ) . R (P") , soit vérifiée. soit fidèle pour que (P') , donc L 10 En effet, notons de Ens : Ens— B S: Ens— -^ Ens— A — Ens— alors commutatif (où I et l'adjoint à gauche • Le diagramme ci-dessous est J sont les plongements de Yoneda): R' rv A'op ->*rv \y B Ens— -> D'autre part, on sait que S Ens— est fidèle si, et seulement si, v pour tout objet P: A > Ens A — de Ens- , tu,: P ^F.R est un monomorphisme. En conséquence, si S est fidèle et sa "restriction" R op (P!) est vérifiée, , donc aussi R , l'est également. Cette nécessité a été signalée par Lawvere en ( ) , dans le cas où A et B sont des théories . Elle n'est évidemment pas suffisante, comme il le note. 3.3» Il est clair qu'à tout genre de calcul de limites inductives (par exemple ici: limites inductives séparantes) va correspondre une condition syntaxique portant sur nécessaire et suffisante R , p^ur qu'une condition, analogue à (P") mais relative à ce genre de calcul, soit vérifiée. Nous ne développerons pas ici ce point de vue intéressant / A (en ce sens qu'il souligne que si l'on considère E- une sémantique, sa syntaxe est constituée de mais aussi de E ) . 3 A » Supposons que droite Q: B y A R: A — -"> B . On trouvera en A comme possède l'adjoint à 2, O . ,3> et (y) une L 11 condition nécessaire et suffisante portant sur Q pour que 0 R l'adjoint à gauche Ens de Ens soit fidèle mais aussi A plein (i.e. tel que, pour tout objet P de Ens— , la transformation naturelle canonique y P.R u^: P soit un mono jet un épi scindé, c'est-à-dire un iso). 4* Exemples. 4o1« Soit y B R: A un morphisme de théories al- gébriques, au sens de Lawvere. La condition (C) est suffi- sante pour que l'adjoint à gauche (dont on sait qu'il est une restriction de l'adjoint à gauche de Ens teur d'oubli Alg(R): Alg(B) v> Alg(A) soit un foncteur fidèle (i. e. pour que les algèbres de les algèbres de B ) au fonc- A se plongent dans libres qu'elles engendrent). -i Ceci répond déjà en partie à la question posée en ( ) . Nous y répondrons encore plus précisément dans la partie II de ce travail. 4.2. Les cc-prcjections canoniques des termes d'une somme vers cotte scmme, dons uiie catégorie complète, co-complète et à limites inductives petites séparantes, sont des monos (prendre A discrète et B 4.3« Les seules catégories tout objet A de = ] A ), pour lesquelles, pour A , pour tcut foncteur la co-projection canonique s,: P(A) P: A •> lim P >Ens , est un mono, sont les grôupcïdes. 4.4. Si R: A y B est plein et fidèle, les ex- tensions de Kan à valeurs dans des catégories complètes, cocomplètes et à limites inductives petites séparantes, le long de R sont des prolongements • L 12 Bibliographie. ( ) P. W. Lawere, Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic théories, Lect. Notes in Math; 61 , Springer, 1968. ( ) R. Guitart, Relations et carrés exacts, (à paraître dans Ann. Se. Math. Québec). C) L. Van Den Bril, Carrés exacts de Hilton dans des contextes non abéliens, (à paraître dans Ann. Se. Math. Québec).