D IAGRAMMES

R. G UITART
Théorie des bornes
Diagrammes, tome 2 (1979), exp. no 2, p. G1-G2
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Diagrammes, Vol. 2, 1979«

THEORIE DES BORNES.
Chapitre 2; Bornes, sous-foncteurs de P ,
Classes, Treillis Sub S .
R. Guitart.

0. Dans le chapitre 1 ^ ' (qui a été exposé en Juin 1979
au Séminaire de Catégories Guitart-Lair-Coppey-Foltz à l'Université Paris 7 - exposé n° 25) on a vu une nouvelle définition

de IN à l'aide des sous-foncteurs B du foncteur "par-

tie" P tels que :
- pour tout X, 0 appartient à BX, c'est-à-dire B(0) = P(0)•
1. Le Théorème du Chapitre 1 se complète en la :
Proposition. Un sous-foncteur quelconque de P est de l'une
des formes suivantes; P, P ^
P ^ A

P+ , P

Cb(

/\ P

)0

,P

(b

,P ^
>/\ P

,P
)0

, P'°, P ^ /v P

,(les lois

+

et

.

,
+

constituant, comme au chapitre 1, un semi-anneau (Sub P, + , .)),
les divers symboles introduits ayant la signification suivante :

K

' Erratum: au chapitre 1, page G 2, dans le théorème 1.6, il

convient de supprimer :

(resp. bî

>P^ ^ ) .

G 2

p M X = ^ A C X / O i Gard A < b } ,
P^b^ X = j _ A C X / 0 ^ Card A $ b } ,
PX

= 0 s i X = 0 et PX sinon ,

F°X

= { A C X / 0<Card A } .

2. On démontre facilement la
Proposition, Si C est une classe, alors C défini par
CX = { A C X / A e s t élément de £ J
est un sous-foncteur de la restriction de P aux in.jections
canoniques. que l'on note P. .
. Réciproquement. étant
"™* ' ""*"™™™~ m ^ . can »
—«—»•«••-••
donné le sous-foncteur C de P. .

, on retrouve la classe

£ £ar:
"X appartient à î!" équivaut à "X appartient à GX".
5. Bans les Chapitres qui suivront, on aura pour but, dans
le cas de plusieurs foncteurs précis S: C
>Ens, de décrire
"concrètement" les éléments de Sub S (e.g. comme ci-avant, pour
S ss P, en termes de cardinaux et de classes) et la structure naturelle portée par Sub S (e.g. Semi-anneau, ordre). Dans le cas
S = P, on approfondira les liens avec les ordinaux, les problèmes universels.

(à suivre)