D IAGRAMMES

R ENÉ G UITART
Théorie des bornes
Diagrammes, tome 1 (1979), exp. no 4, p. G1-G4
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Diagrammes, Vol. 1f 1979•

THEORIE DES BORNES
par
René Guitart

Chapitre 1 : Où l'on rencontre une présentation catégorique des
cardinaux classiques*

Habituellement les cardinaux sont utilisés pour borner
a priori des constructions et garantir l'existence d'objets qui
risqueraient d,être"trop grands". Cela est fait d'abord en donnant un sens aux locutions :
"card A ^

b"

et

"card A <f b".

-Amplifiant cette remarque, voici une description de tN
(et de card) basée sur l'étude des sous-foncteurs du foncteur partie, ce qui est très différent de l'introduction d'un objet des
entiers naturels. Cette démarche éclaire la manière dont l'arithmétique (finie ou transfinie) s'élabore à partir de la logique interne de Ens; cela s'adapterait aisément aux cas d'un topos, des ensembles flous,d'un univers algébrique.

Soit U un modèle de la théorie des ensembles de ZermeloFraenkel avec axiome du choix (et donc aussi trichotomie sur les
cardinaux). On désigne par Ens la catégorie de toutes les applications entre ensembles éléments de U, et par P: Ens

y Ens

le

foncteur " p a r t i e s " covariant associant à tout ensemble X l'ensemble PX = 2X = | A/ A c x } et à toute f:X — > Y l ' a p p l i c a t i o n Pf:
PX

>PY : A |—> Pf A = J f a / a € A] .

G 2

DEFINITIONS. On appelle borne un sous-foncteur B de P tel
que pour tout X on ait 0 £ BX.
Sur la classe BOR de toutes les bornes on définit un ordre ^ et deux lois binaires + et . par:
- B 4: B

si et seulement si V X ( B ^ C B ^ ) ,

- (B 1+ B2)(X) = Image(B1X>B2X _ > P X x P X

—>PX),

- (B r B 2 )(X) = Image((BiqB2)X —>(PoP)X — > P X ) , où
P x P — ^ P et PoP — > P désignent les transformations naturelles de "réunions".
On note BOR^. la classe des bornes finies, i.e. vérifiant
fin
B + B/B.
THEOREME.
1) Toute borne B ± P est de la forme P^ ' ou P^

, où b est un car-

dinal, avec
P ^ X = h / A C X e t card A ^ b ^ ,
p'b^X =

[A/ A C X et card A < b } .

2) (BOR,^, + , .) = BOR
cation

est un semi-anneau bien ordonné et l'appli-

b \—> P^ ' (resp. b l—> P^ ^) détermine le semi-anneau bien

ordonné (CAR,^ , +, .) = CAR des cardinaux de Ens (avec £, + et .
usuels) comme un sous-semi-anneau de BOR.
3) On a (B0R f . n ,^, +, .) y

(IN , ^ , +, .) .

4) Pour tout ensemble X on a

card X = inf À B/ A 6BX j .

Ainsi dans des contextes plus généraux que celui de Ens (e.g.topos,
ensembles flous, univers algébriques) le calcul des cardinaux (finis ou non) pourra être déduit de celui des bornes.
PREUVE. Une fois établi le point (l), le reste suit aisément des propriétés usuelles des cardinaux. Pour prouver (l), posons pour tout ensemble X
b

= sup ^card A / A C X et A € B X ^ .

1- Si Z C X et card Z < b Y , alors Z € BX : en effet, par hypothèse on a un A C X tel que A € BX, card Z ^ card A ^ b x , et alors
il existe une surjection s:A — ^ Z et donc une application f :X-*X

G 3

telle que f(A) = Z; par naturalité il vient Z € BX (ceci du moins
dans le cas où Z ^ 0 ) .
2- Pour un X donné on a soit BX = p ' V ( x ) soit BX = P^X' (x) .
En effet, si pour un A C X , avec card A = b x , on a A 6 BX, alors
tout A 1 , avec card A1 = b v est tel que l'on ait une bijection u:

x
A — > A1 et puis une application f:X — £ > X telle que f(A) = A', de
sorte que A1 € BX; on conclut alors grâce à 1- .
3- On a évidemment b <1 card X et aussi b = ^ o a r j x •
4- Pour tout X et tout Y, la relation b x ^T card Y entraîne t> x ^b y :
en effet, soit A C X , avec A £ BX, de sorte que card A ^ card Y;
il existe donc une injection j:A—>>Y et puis une application f:
X — > Y telle que f(A) = j(A). Alors comme f(A) € BY on a card A =
card f (A) ^ b .
5- Si card X ^card Y, alors b x < b y : cela résulte de 3- et 4- •
6- Pour tout X on a b = b

. En effet, on a b x ^ b x et on con-

clut grâce à 3- et 4- •
7- Pour tout X et tout Y, la relation b > card Y entraîne l'égalité b = card Y. En effet, on a un A € BX tel que card A ^ card Y,
et donc une surjection ssA —^> Y et une application f : X — > Y avec
f (A) = Y; et puisque f (A) 6 BY, on a b y ^ card Y.
8- Si la suite (b ) . n est non bornée, alors pour tout X on a l'égalité b v = card X et B = P. En effet, pour tout X il existe un Y

x
tel que card X < b v et d'après 4- on obtient b Y = card X; pour conX
dure il suffit de montrer que X 6 BX. A cet effet, avec Z = 2 et

A = U x } / x e x l c z , on a card A = card X < card Z (d'après Cantor) et puisque b = card Z on a A € BZ; alors en prenant f :Z—>X
une application telle que f(A) = X, il vient par naturalité X6BX.
9- Supposons ( b x ) X € U bornée et posons b = sjjp b x ; alors pour
tout X on a b = inf(b,card X) • En effet, puisque b ^ b, on a
tout d'abord b v < K < b et donc b, = b (d'après 4-). Ensuite:
X ^

b ^v

D

- si b y card X, avec 7- on trouve que b = card X, donc
inf(b,card X) = b„,
- si b = card X, alors b = b = card X et alors b x =
card X
b
'

G 4

- si b < card X, alors b = bfe ^ b c a r d x = b x ^ b , et
la formule est bien établie dans tous les cas.
10- Pour achever la preuve, on distingue deux cas:
1 _ £ a £ 2 B ( b ) = POO- Alors pour tout X, si on a un AC X
tel que card A = b, on a une bijection h:b — ^ A et une application
f :b — y X telle que f (b) = A, et donc A € BX, si bien que BX = p'b'X.
2 _ cas: B(b) ^ P(b). Si l'on avait un X et un A C X,avec
card A = b et A € BX, on aurait un isomorphisme h:A — ^ b et une
application f : X — > b telle que f(A) = b, ce qui contredirait 1'
hypothèse.
(à suivre ...)