D IAGRAMMES

F RANÇOIS F OLTZ
Légitimité des catégories de préfaisceaux
Diagrammes, tome 1 (1979), exp. no 3, p. F1-F5
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Diagrammes, vol.1,1979•

LEGITIMITE DES CATEGORIES DE PREFAISCEAUX.
par
François FOLTZ.

A
A quelles conditions la catégorie Ens— est-elle légitime
lorsque A est elle-même une catégorie légitime ? J.BENABOU a remarqué que la condition suivante est suffisante :
"A admet un ensemble d'objets B

tel que tout objet de A

soit rétracte d'un élément de B " ;
—o
il a pensé aussi que cette condition devait être nécessaire. Ceci
est exact et nous en donnons ici la preuve»
Soit Aune catégorie; la relation "A ^ A' si et seulement
si A est un rétracte de A1 M est une relation de préordre dans la
classe A

des objets de A. On considère l'équivalence associée et

on choisit un objet dans chaque classe d'équivalence : soit B

la

classe des objets ainsi choisis et soit B la sous-catégorie pleine
de A ayant B

pour classe d'objets. Dans B , la relation ^ est un

ordre cette fois.
A
Supposons que A et Ens— soient toutes deux légitimes.
Nous allons montrer que, dans ce cas, B

est un ensemble, de la ma-

nière suivante : on va construire un certain foncteur F:B

>Ens,

"R

puis une injection j: B
X-End(F) ; comme Ens— est légitime en
même temps que Ens-- , il en résulte que End(F) est un ensemble, et
donc B aussi.
—o
Construction de F. On se place dans la catégorie B. Dési-

F 2

gnons par l(B) la classe des inversibles à gauche de but B.
Lemme» l(B) est un ensemble.
Pour chaque objet X ^ B choisissons un couple (i ,r ) ,
i :X — > B et rv:B — > X , tel que r .i = 1 ; l'application qui à
X ^ B fait correspondre l'idempotent iy«^Y e s t injective; en effet,
si iy.ry = i Y ^ y > on voit que r y . L et r y .i y sont inverses l'un de
l'autre, donc X = Y, car B n'a pas d'autres inversibles que ses unités. Ainsi la classe des objets plus petits que B est un ensemble.
Il en résulte que I(B) est aussi un ensemble puisque
I(B) C

UB(X,B) .
X^B

Pour un objet B de B, on pose alors F(B) = P(l(B)), OÙ P est le
foncteur "parties". Pour une flèche bsB

>B', on définit F(b):

F(B) —~>F(B') par la formule suivante;
F(b)(j) = (b.j) O l ( B ' ) .
Si b':B'

>> B" est composable avec b, on trouve:
F(b')(F(b)(j)) = (b'.F(b)(j))Ol(B")

= (b'.b.j)n b'.l(B') f\l(B")
= (b'.b.j) O I(B") =F(b'.b)(j),
car b».l(B») Z)(b'-b.j) H I(B"),
de sorte que F définit bien un foncteur de B dans Ens,
Construction de ,j. Â chaque objet Z de B on fait correspondre la transformation naturelle j(Z) = z suivante: en B € B ,
l'application z :F(B)
zjj) =

> F ( B ) est définie par
l )

JY , où

J? = B(X,B) O J.

Il s'agit bien d'une transformation naturelle, car pour b:B
donné, on trouve :
2l3.,(F(b)(j)) =

=

U

(b.jOl(B'))î'
X

Z^X^B'
U

Z^X^B

(b.J?Ol(B'))

^B'

F 3

=( u

b.jJ)ni(B')

= (b. u

A oi(B-)

Z^X^B
= F(b)(z ( j ) ) ,
en usant du f a i t que:
1
(b.jni(B'))^ = B(X,B')H b.j n i ( ? ' ) = b.j^ ni(B').
Il nous reste à prouver que l'application j:B
jective; soient Z et Z' £ B
posant que

z

et posons

>End(F) est in-

z = j(z), z1 = j(Z T )| sup-

z = z ', on trouve :

z^ 1 z^ = zz^i1zV = l 1 z V ^ ce qui entraîne z '4 Z>*

on a de même Z X. Z f , et donc Z = Z', puisque la relation / est un
ordre dans B .
—o
A
Il nous reste à décrire une équivalence entre Ens—
B
et Ens—. A ce propos, nous pouvons énoncer un résultat un peu plus
général. Soit H une catégorie satisfaisant la condition suivantes
(s) tout idempotent de H se décompose en un produit
j.s où j est un mono et s est un épi.
Par exemple les catégories régulières vérifient cette condition,
mais d'autres catégories, non régulières, comme Cat la vérifient
aussi• Soient A une catégorie et B une sous-catégorie pleine de A
telle que tout objet de A soit rétracte d'un objet de B„
Proposition. Les catégories H~ et BP sont équivalentes.
A l'injection canonique B — > > A correspond le foncteur
"restriction" R:Ip —.> H^. Construisons un foncteur "extension"
B:E~ — > E ^ de sorte que R.E soit l'identité de îf et E.R soit
équivalent à l'identité de Ep.
A cet effet, procédons d'abord à des choi::: à tout objet
A de A faisons correspondre ^ A 'B —.>> A et iÂ:A —^>B. tels que
r.,i, = 1. et B A € B : convenons de prendre r. = i, = 1A lorsque
A A
A
A
—o
A A A
A € B . De même, à tout idempotent u:C
^C dans H faisons cor-

F 4

respondre (condition S) un épi s :C —*> C et un mono j :C

>C

tels que j .s = u; convenons de prendre s « j = 1n lorsque u = 1 n .
^ °u u
u
u
C
C
Considérons alors un foncteur F:B — ^ H et définissons
son extension E(P) = F:A — > H de la manière suivante: si a:A—>A'
est une flèche de A on pose:

P(a) = V ' ^ V ' ^ A ^ A '
où j. et s. sont des abrégés de j-/.
\ et de s^/.
\; on les
K
L #X
A A^
f A' F
notera aussi de façon plus précise, si besoin, par j. et s..
P est bien un foncteur, car

" ? ( V = V ^ V ^ A » WSA*jA = 1WA) '
- pour a:A — ^ A' et a':A' — x A", on trouve:
P(a'.a) = sAfî.F(iA!f.a'.a.rA).JA
~ SA"#"^^A"*at *rA' *"*"A' *rA* **A' * a # r A A
= sA„ ^(^ti *a ' * r A t ) ^ ^ A ' #r A' ^ ' ^ A ' ' a # r A^ •J A
= sAI,.P(iAff.a'.rAf).JAf.sAf.P(iAl.a.rA).JA
= P(a').P(a) .
C'est bien une extension de P, car si b:B
de B, on trouve:

^ B ' est une flèche

F(b) s sB,-F(iBt.b.rB).JB ,
et comme L , s r t = 1 Bt et ^ = ^ = 1 ¾

> i;L vien"t s B , = s.

F(B ! )

- 1F(B') e t jB = \ { 3 ) « 1F(B) ' d 0 n C ? ( b ) " F ( b ) *
Définissons l'extension E sur les transformations naturelles; soit
t:F
^G une tranformation naturelle; son extension E(t) = t:
p — y G est donnée par la formule suivante:
t(A) = s A .t(B A ).j^ , où A € A Q .
On vérifie sans peine que c'est bien une transformation naturelle
et les choix effectués au début montrent que t(B) = t(B) pour un
objet B de B.
Reste à définir l'équivalence n entre l'identité de EP
et l'endofoncteur E.R de H~. Soit F*:A
>H; posons F = R(F ) et

F 5

F ss E(F); alors n(F ):F

^F est donnée en un objet A par:

n(F*)(A) = s^.F*(iA) .
On vérifie sans peine que n(F ) est une transformation naturelle
-ni

•#

•&

p

inversible (l'inverse de s .F (i.) étant F (r ).j.) et que l'application qui à F

fait correspondre n(F ) définit bien n comme trans-

formation naturelle de l'identité de £F vers E.R .
Remarques.
1- Le résultat obtenu en termes de "classes" et d'ensembles s'énonce aisément en termes d'univers emboîtés. En particulier, on peut
remplacer la notion de "légitimité" par celle de "f-légitimité":
A est dite f-légitime lorsque A(A,A') est un ensemble fini pour
toute paire (A,A') d'objets de A; le résultat s'énonce alors: si
A
A est une catégorie f-légitime, la catégorie Ens— est encore flégitime à la condition nécessaire et suffisante que A admette
un ensemble fini B d'objets tel que tout objet de A soit rétracte d'un objet de B
—o
2- Si A est la catégorie associée à une classe ordonnée (A , ^ ) ,
la catégorie Ens—
si A

est légitime (resp. f-légitime) si et seulemen'

est un ensemble (resp. un ensemble fini).

».0

3- Soit q un foncteur de Ens vers une catégorie légitime H satisfaisant la condition (S). Alors £P est légitime sous la même conA
dition que Ens—.