D IAGRAMMES F. C URY Systèmes de générateurs et relations pour les catégories enrichies Diagrammes, tome 1 (1979), exp. no 1, p. C1-C21 © Université Paris 7, UER math., 1979, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, vol. 1 , 1979* SYSTEMES DE GENERATEURS ET RELATIONS POUR LES CATEGORIES ENRICHIES F. CURY 1. Introduction. Ce texte présente, très brièvement, la notion de graphe multiplicatif enrichi (par une catégorie monoïdale), c'est-àdire la notion de système de générateurs et relations pour une catégorie enrichie. Il se contente de résumer le travail effectué en (G.M.Ë.N.) O Ù l'on pourra trouver toutes les démonstrations (souvent purement techniques) des résultats énoncés ici. Au même titre que la notion de graphe multiplicatif (ensembliste) est le point de départ de la théorie des esquisses, i.e. de la théorie des descriptions "économiques" des structures algébriques (voir, par exemple, (E.T.S.A.) ) , la notion de graphe multiplicatif enrichi est le point de départ de la théorie des esquisses enrichies (qui reste à développer) permettant de décrire "économiquement" certains types de structures "enrichies" (voir, par exemple, les §§8 et 9)• Après avoir rappelé la définition (§3) d'un graphe multiplicatif enrichi, nous énonçons avec précision des conditions suffisantes (toujours réalisées dans la pratique) assurant 1' existence de limites projectives et inductives dans la catégorie des graphes multiplicatifs enrichis (§4)• Nous montrons ensuite à quelles conditions suffisantes un foncteur monoïdal permet le changement d'enrichissement (§5) et à quelles conditions suffisantes un tel foncteur changement d'enrichisse- C2 ment possède un adjoint à gauche (§6). Enfin, nous concluons cette présentation formelle en justifiant l'idée de départ, i.e. en montrant qu'un graphe multiplicatif enrichi engendre une catégorie enrichie (§7)» Au §8 sont fournis des exemples élémentaires et motivants des conditions d'application des résultats précédents et au §9 nous introduisons une notion originale de transformation naturelle enrichie entre foncteurs enrichis allant d'une catégorie ou d'un graphe multiplicatif enrichis vers une catégorie enrichie: il est nécessaire d' introduire cette notion (plus générale que celle utilisée habituellement) pour que les graphes multiplicatifs enrichis servent non seulement à décrire des structures algébriques mais aussi leurs homomorphismes. Le §2, quant à lui, ne sert qu'à fixer les notations. 2. Notations, On note (V,fi,I,ung,und,ass) une catégorie monoïdalc de catégorie sous-jacente tensoriel V , d'unité I (pour le produit B ) et pour laquelle - ung est 1'isomorphisme d'unitarité à gauche, - und est 1'isomorphisme d'unitarité à droite, - ass est 1'isomorphisme d'associativité, on note aussi V la classe de ses objets, —o Le plue souvent, une telle catégorie monoïdale sera confondue avec V , la structure monoïdale ne prêtant pas à confusion. On note objets est (C ,C,j,k) une C V-catégorie dont la classe des , dont le Hom à valeurs dans V dont l'application "sélection des identités" est pour tout objet C , on a jn: I plication "lois de composition" est est C , j (i.e. C(C,C) ) et dont l'apk (i.e. pour tout triplet (C",C,C) d'objets, on a k : c",c,c £(c,,c")ac(c,c') Le plus souvent, on identifiera une telle c(c,c") ). V-catégorie à C C 3 et l'on notera On note C! sa catégorie (ensembliste) sous-jacente. (F ,F) un vers la V-catégorie aux objets et F D V-foncteur de la V-catégorie pour lequel C F est la restriction est la restriction aux Hom à valeurs dans V . Le plus souvent, on le notera simplement F: C } D et le foncteur (ensembliste) sous-jacent sera noté F . On note (C£,q,e) un foncteur monoïdal d'une catégorie monoïdale V (d'unité I ) vers une catégorie monoïdale (d'unité J ) pour lequel £ est le foncteur sous-jacent, q: j y j£(l) dans e W et W est la transformation naturelle comparant les produits tensoriels e: (-B-).QxQ > Q. (-8-) • On appelle univers (voir (T.H.E.N.)) tout ensemble U d'ensembles possédant comme élément: - avec un ensemble, toute partie de cet ensemble et l'ensemble de ces parties, - avec deux ensembles,leur produit cartésien, - avec une famille d'ensembles indexée par un élément de U , sa réunion - l'ensemble des entiers naturels. On dit qu'une catégorie est U-petite si la classe de ses objets et la classe de ses flèches sont éléments de On dit qu'une catégorie est relative à (ensemblistes) sont à valeurs dans U U. si ses Hom U . Dans toute la suite, on raisonne dans un bon modèle de la théorie des ensembles avec axiome des univers: "tout ensemble est élément d'au-moins un univers" univers U (en particulier, tout est élément d'un univers U' pour lequel U C U'). 3. Graphes multiplicatifs enrichis. Un graphe multiplicatif ensembliste est un graphe muni d'une composition très partielle: deux flèches consécutives (sauf si l f uœ d'entre elle est un objet ou, ce qui revient au C 4 même, une identité) ne sont pas nécessairement composables. Autrement dit, il s'agit d'un système de générateurs (les éléments du graphe) et de relations (les égalités définissant la composition) pour une catégorie (car tout graphe multiplicatif engendre une catégorie). C'est cette idée qu'il s'agit de traduire dans le cas enrichi. Si V est une catégorie monoïdale, nous dirons que (A >A,j,m,k) est un V-&raphe multiplicatif si, et seulement si: - A est un ensemble (des objets), —o —" - A: A x A -^ V est une application (llom à valeurs = —o —o dans V ) , - J: A n -> V est une application (sélection des identités) associant à tout objet A un j :I -> A(A,A) , - m: A x A x A — ^ V est une application associant à —o —o —o tout triplet (A",A',A) d'objets un monomorphisme (sous-objet des couples composables) m A",A',A : A(A',A")*A(A,A') > A(A' ,A")iaA(A,A' ) , - k : A x A x A — —•> V est une application (composition) —o —o —o associant à tout triplet (A",Af,A) d'objets un morphisme k A",A',A : A(Af,A")*A(A,A') > A(A,A") , - (axiome d'unitarité à droite) pour tout couple jets, on dispose d'une factorisation d., A (A',A) d'ob- (nécessairement unique) rendant le diagramme suivant commutâtif A(A,A') H A ( A , A ) H. mA',A,A A(A,A')SJ, A(A,A') S I undA(A,A') >> A(A,A')*A(A,A) A',A,A C 5 - (axiome d'unitarité à gauche) pour tout couple (A',A) d'objets, on dispose d'une factorisation g,, (nécessairement il , A unique) rendant le diagramme suivant commutatif A(A',A') B A(A,A') ^1 R. JA!EA(A,A') mA',A',A I H A(A,A') Ung A(A,,A,)^A(A,A!) -> k A(A,A') A',A',A Le plus souvent, on notera plus simplement A un tel V-gra- phe multiplicatif. Evidemment, une un V-catégorie (C ,C,j,k) s'identifie à V-graphe multiplicatif particulier (C ,C,j,m,k) où: (C",Cf,C) d'objets - pour tout triplet de C , on a = Id m, • C j C 1 ^ ~ ^ 0 ( 0 1 f C M ) H C(C,C) On dit que tiplicatif A (F ,F) est un vers le V-foncteur du V-graphe multiplicatif V-graphe mulB si, et seu- lement si: - F :A -J> B est une application, —o —o "^ V est une application associant à tout - F: A x A = —o —o 1 couple (A ,A) d'objets de A un morphisme F(A,A f ): A(A,A') - pour tout triplet (A",A',A) d'une factorisation f „ A t ,A j A -> B(F A,F A') , = —o —o ' d'objets de A , on dispose (nécessairement unique) rendant le diagramme suivant commutatif >> B(F A».F A")*B(P A,F A') A(A\A")*A(A,A') = —O m A",A',A S/ A(A',A")SA(A,A') O A",A»,A "V A",F A',F A F(A»,A")SF(A,A«) "° > B(F ' "° "° ^ A1,F A " ) S B ( F A,F =^—o '—o = —o —o A') C 6 Le plus souvent, on notera simplement y B F: A un tel V-foncteur. Evidemment, un à un V-foncteur entre V-foncteur entre les Si U V-catégories s'identifie V-graphes multiplicatifs associés. est un univers, on note (V,U)-Cat (V,U)-Gramul ) la catégorie pleine de (resp. V-foncteurs entre V- catégories (resp. V-graphes multiplicatifs) dont les ensembles d'objets sont éléments de U .On dispose donc d'un foncteur d'oubli canonique plein et fidèle (V,U)-Cat ^(V,U)-Gramul. Les §§ qui suivent étudient, très brièvement les propriétés de (V,U)-Gramul (limites) et de ce foncteur (existence d'un adjoint à gauche). On pourra se reporter dès maintenant au §8 pour voir des exemples de V-graphes multiplicatifs . 4* Limites de graphes multiplicatifs enrichis. Supposons que V est une catégorie monoïdale. Si elle possède suffisamment de limites projectives, on sait construire explicitement les limites projectives de V-graphes multi- plicatifs. Ainsi, nous prouvons en (G.In.E.N.) la: Proposition 1. Si U-petite, si V U est un univers, si X est une catégorie est une catégorie monoïdale à produits fibres et à limites projectives indexées par X , alors la catégorie (V,U)-Gramul est à limites projectives indexées par Dans ces conditions, le foncteur d'oubli X . (V,U)-Cat—>(V,U)-Gramul commute avec ces limites. A l'aide d'une version raffinée du théorème d'existence de (C.O.S.L.), on prouve aussi qu'il existe, sous certaines conditions, des limites inductives de graphes multiplicatifs enrichis. Pour obtenir un tel résultat, l'utilisation de conditions "de taille" est, comme d'habitude, essentielle.Dans cette optique, nous dirons que l'univers vers U' si, et seulement si: U est emboité dans l'uni- C 7 - U est élément de U' , - U est une partie de U' . De même, nous dirons que la catégorie monoïdale quée dans la catégorie monoïdale - V V' - le foncteur inclusion V > V' Nous dirons que la catégorie monoïdale la catégorie monoïdale - V V' est imbriquée dans - tout morphisme de V' est imbri- si, et seulement si: est une sous-catégorie pleine de c V V' , est monoïdal strict. V est emboitée dans si, et seulement si: V' , de source ou de but de une image de source dans dans V possè- V . Alors, nous pouvons énoncer (voir la démonstration, technique, dans (G.M.E.N.) ): Proposition 2, Si U si V est un univers emboité dans l'univers U', est une catégorie monoïdale emboitée dans la catégorie monoïdale V' et si, de plus: - X es - V est à limites pro.iectives et inductives "t U'-petite, - V est à limites pro.iectives et inductives U-petites U'-petites et les limites inductives dénombrablement filtrantes y commutent avec les produits fibres, Vr- ' - le foncteur inclusion > V' commute avec les limites pro.iectives et inductives U-petites, - Pour tout ob.jet V de V' , les foncteurs -BV et V'B- commutent avec les limites inductives U'-petites. alors, la catégorie (V,U)-Gramul est à limites inductives U-petites. On trouvera au §8 un exemple de somme fibrée de graphes multiplicatifs enrichis. C 8 5. Changement d'enrichissements. y W Supposons que £: V et que U soit un foncteur monoïdal est un univers. On sait que l'on dispose, alors, d'un foncteur "changement d'enrichissements" (£,U)-Cat: (V,U)-Cat (en posant,pour tout objet C de > (W,U)-Cat , (V,U)-Cat : (£,U)-Cat (C) = (^,0', ...) de sorte que: - pour tout couple (C,C) d'objets de C , on a l'égalité c'(c,c) = 2(c(c,c)) ). Dans le cas des graphes multiplicatifs enrichis, il faut spécifier un peu plus le foncteur monoïdal £ pour que le changement d'enrichissement soit possible. Précisément, en (G.M.E.N.) nous établissons la: Proposition % Si U est un univers, si £: V y W est un foncteur monoïdal tel que: - £ commute aux monomorphismes, - W est à produits fibres, alors, on peut associer à £ chissement un foncteur changement d'enri- (Ç>,U)-Gramul: (V,U)-Gramul En effet, pour tout objet > (W,U)-Gramul . (A ,A,j,m,k) de (V,U)-Gramul , il suffit de poser: (2,U)-Gramul (A) = (A Q ,A' , j ' ,m' ,k' ) , de sorte que: - pour tout couple (A',A) d'objets de A , on a l'égalité A'(A,A') =^(A(A,A')) , - pour tout triplet (A",A1,A) d'objets de ci-dessous est un produit fibre choisi dans A , le diagramme W : C9 A'(A',A")*A,(A,A») > A'(A',A")BA'(A,A') m 'A»,A',A n q A",A',A A",A',A V £(A(A',A")*A(A,A')) (rappelons noté £ > â(A(A',A")BA(A,A')) que le foncteur monoïdal ; on a posé aussi V ^ A (^,qfe) est simplement ; = *A(A',A«) ,A(A,A') enfin, les hypothèses assurent bien que, par construction, ml A» AI t xi , xi es "k ^ien u n monomorphisme) , , xi - pour tout triplet (A",A',A) d'objets de A , on a l'égalité A",A',A = ^kA",A',A^'nfA",A',A m k, De même, si y B (P ,P) : A deux objets de est un V-foncteur entre (V,U)-Gramul, on pose: (£,U)-Gramul (|) = ( F Q , F ' ) : A' > B' , de sorte que: - pour tout couple d'objets (A',À) de A , on a l'égalité F'(A,A') = £(F(A,A')) . Nous dirons qu'un foncteur monoïdal permet le changement d'enrichissement pour les graphes multiplicatifs enrichis si, et seulement si, il vérifie les deux conditions de la proposition 3* Supposons, par exemple, que dale relative à l'univers U V est une catégorie monoï- (i.e. à Hom ensemblistes à va- leurs dans U ) . Alors, il est clair que le foncteur de V vers la catégorie cartésienne cations entre éléments de Ens(u) Hom(l,-) (pleine d'appli- U ) est monoïdal et permet le chan- gement d'enrichissement pour les graphes multiplicatifs enrichis. Ainsi, à tout graphe multiplicatif enrichi par V est associé un graphe multiplicatif ensembliste dit sous-jacent. C 10 y W Enfin, il est trivial de constater que, si £: V est monoïdal et permet le changement d'enrichissement pour les graphes multiplicatifs enrichis (il le permet toujours pour les catégories enrichies):1e diagramme ci-dessous commute (où les verticales sont les oublis canoniques et U (V,U)-Cat est un univers): ^ (W,U)-Cat (Q,U)-Cat M/ (£,U)-Gramul (V,U)-Gramul : y \> (W,U)-Gramul 6. Existence d'adjoints à gaucho pour les foncteurs changement d'enrichissements. Nous rappelons ici deux résultats (démontrés en (G.M.E.N.)) concernant le "transport" des propriétés d'un foncteur monoïdal à celles, analogues, du foncteur changement d'enrichissement associé (s'il existe). Il est tout d'abord trivial de constater que: Proposition 4« Si U est un univers, si X est une catégorie U-petite, si le foncteur monoïdal £: V y W permet le changement d'enrichissement pour les graphes multiplicatifs enrichis (§5) et si, de plus: - V est à limites projectives indexées par X et à produits fibres, - £ commute avec ces limites pro.iectives, alors, le foncteur changement d'enrichissement (£,U)-Gramul commute avec les limites projectives indexées par X (et les produits fibres). Pour établir que l'existence d'un adjoint à gauche se transporte, dans certains cas, nous utilisons le théorème d' C 11 existence (d'adjoints) de (C.O.S.L.). Bien entendu, il s'agit, essentiellement, de faire intervenir de bonnes conditions de taille (très analogues à la "solution set condition" de Preyd). Pour ce faire, nous dirons que le foncteur monoïdal y W £: V 1: Jâ X 1 est imbriqué dans le foncteur monoïdal ^ ii* si > e"k seulement si, toutes les conditions suivantes sont vérifiées: - V est emboitée dans V' (voir le §4), - W est imbriquée dans W' (voir le §4), - £ est une restriction (comme foncteur monoïdal) de £' . Alors, on prouve que: Proposition 5. Si U si £: V > W foncteur monoïdal est un univers emboité dans l'univers U', est un foncteur monoïdal imbriqué dans le y W' , si ^' : V' Q, admet un adjoint à gauche R' et si, cl^ plus : - V est U1-petite, - V est àlimites projectives et inductives - V' U-petites, est à limites pro.iectives et inductives U'-petites et les limites inductives denombrabl ornent filtrantes y commutent avec les produits fibres, - W et W' sont à produits fibres et le foncteur inclusion Wc y W' commute avec ces produits fibres, Vc - le foncteur inclusion v> V' commute avec les limi- tes projectives et inductives U-petites, - pour tout objet V de V' , les foncteurs -BV et V'®- commute avec les limites pro.iectives U'- commutent avec les limites inductives U'-petites, - le foncteur £' petites, - pour tout objet W de W les foncteurs Homwf(W,Q'-) et HonLy^RW,-) sont naturellement équivalents, alors, le foncteur changement d'enrichissement (qui existe en vertu de la proposition 3) joint à gauche. (£,U)-Gramul possède un ad- C 12 Remarquons aussi que les conditions de la proposition 5 assurent aussi que le foncteur changement d'enrichissements (£,U)-Cat: (V,U)-Cat > (W,U)-Cat possède également un adjoint à gauche. Tant dans le cas des graphes multiplicatifs enrichis que dans celui des catégories enrichies, il est assez facile (mais non trivial) de prouver que les adjoints aux foncteurs changement d'enrichissements conservent les classes d'objets. Enfin, insistons sur le fait que les catégories monoïdales considérées ne sont nullement supposées bi-fermées. 7- Catégorie enrichie engendrée par un graphe multiplicatif enrichi. On a motivé l'introduction des graphes multiplicatifs enrichis en les présentant comme des systèmes de générateurs et relations pour les catégories enrichies. La proposition qui suit (démontrée en (G.Ï4.E.N.)) justifie tout à fait ce point de vue: Proposition 6. Si U est un univers, si V est une catégo- rie monoïdale et si, de plus: - V est à limites inductives U-petites, - pour tout ob.jet V de V les foncteurs -SV et VB- commutent avec les limites inductives U-petites, alors, le foncteur d'oubli canonique (V,U)-Cat > (V,U)-Gramul possède un ad.joint à gauche. (La construction explicite de la V-catégorie engendrée par un V-graphe multiplicatif est, formellement, assez longue à écrire. Néanmoins, elle est très inspirée du cas ensembliste: on commence par prendre la catégorie engendrée par le graphe sous-jacent au graphe multiplicatif considéré i.e. on oublie les composés - puis on quotiente cette caté- C 13 gorie par une relation qui identifie un chemin (x,y) - qui est un morphisme de cette catégorie - au chemin (x.y) lorsque le composé x.y est défini dans le graphe multiplicatif de départ.) En tout cas, on prouve facilement que l'adjoint à gauchey dont l'existence est assurée par la proposition 6}conserve les classes d'objets. 8. Exemples. Dans tout ce §8 , U désigne un univers fixé et les caté- gories de structures considérées ont leurs objets ayant pour ensembles sous-jacents des éléments de U • Comme on raisonne dans un bon modèle de la théorie des ensembles avec axiome des univers, il existe nécessairement un autre univers le sorte que U soit emboité dans U' de tel- U' . Alors, on est assu- ré que les conditions de tailles telles que celles utilisées dans les propositions 2, 4> 5 sont vérifiées dès lors qu'on utilise des catégories monoïdales de structures algébriques usuelles relatives à U puis à U' . Il en est de même des foncteurs monoïdaux usuels que nous utilisons. Enfin, on sait bien que ces catégories et ces foncteurs ont de "bonnes" propriétés tant en ce qui concerne l'existence de limites qu'en ce qui concerne l'existence d'adjoint. Nous ne le préciserons donc pas à chaque fois. 3.1. Générateurs et relations pour les monoïdes. Une Ens-catégorie à un seul objet est un monoïde. Un Ens-graphe multiplicatif à un seul objet engendre donc un monoïde. Il s'identifie bien à un système de générateurs et de relations pour un monoïde puisque,si (M ,M,j,m,k) est un tel n'a qu'un objet ,M ), Ens-graphe multiplicatif (où M on lui associe: - l'ensemble (de générateurs) M(M,K) y - l'ensemble de relations x.y = z , dès lors que: C 14 + (x,y) est élément de M(N,K)*M(K,M) tifie à une partie de (que l'on iden- M ( M , N ) X M(K,M) ) , + k(x,y) s x.y = z . Une Ab-catégorie à un seul objet est un anneau unitaire. Un Ab-graphe multiplicatif à un seul objet engendre donc un anneau unitaire. Evidemment, il s'identifie, de la même manière que précédemment, à un groupe abélien (additif) muni de relations multiplicatives. Ab y Ens montre com- ment opèrent les propositions 3 et 4 (oubli du groupe abélien Le foncteur monoïdal d'oubli additif sous-jacent). 8.2. Générateurs pour les catégories dont les Hom sont munis de relations. Soit Préord (resp. Equiv) la catégorie cartésienne des préordres (resp. des relations d'équivalence). Un Préord-graphe multiplicatif (resp. un Equiv-graphe multiplicatif) est un graphe multiplicatif ensembliste muni d'une relation de préordre (resp. d'équivalence) telle que: - deux objets sont en relation si, et seulement si, ils sont égaux, - si deux flèches sont en relation , leurs sources sont égales de même que leurs buts, - si deux couples de flèches sont composables et si les flèches de ces couples sont en relation deux à deux, les composés de ces couples sont en relation. Une Préord-catégorie (resp. une Equiv-catégorie) est un Préordgraphe multiplicatif (resp. un 'Equiv-graphe multiplicatif) dont le graphe multiplicatif sous-jacent (ensembliste) est une catégorie. C'est donc une catégorie munie d'une relation de préordre (resp. d'équivalence) vérifiant les conditions qui précèdent . Evidemment, un Préord-graphe multiplicatif engendre un Equiv-graphe multiplicatif (proposition 5 appliquée au fonc- C 15 teur monoïdal d'oubli si une y Préord ) , il engendre aus- Equiv Préord-catégorie (proposition 6 ) . En fin de comte, un tel Préord-graphe multiplicatif engendre une Equiv-catégorie (de deux manières différentes), pusique toute catégorie engendre une Equiv-catégorie Préord- (très rapidement dit: le graphe multiplicatif sous-jacent est regardé comme générateur -contraint par le préordre - de la catégorie et le préordre est regardé comme générateur - contraint par le graphe multiplicatif - de l'équivalence). 8.3. Générateurs pour les 2-catégories. Soit Gramul la catégorie cartésienne (on montre qu'elle est aussi fermée) des graphes multiplicatifs. On appelle 2graphe multiplicatif un Gramul-graphe multiplicatif. Un tel 2-graphe multiplicatif engendre une Gramul-catégorie (propo- sition 6) qui engendre une 2-catégorie (proposition 5 > appliquée au foncteur monoïdal d'oubli Cat y Gramul et pour les catégories enrichies). On peut aussi procéder de la manière suivante: le 2-graphe multiplicatif considéré engendre un Cat-graphe multiplicatif (proposition 5 appliquée au foncteur monoïdal Cat ^Gramul ) qui, à son tour, engendre une 2-catégorie (proposition 6). En fin de compte, un 2-graphe multiplicatif engendre (de deux manières différentes) une 2-catégorie. Par exemple, on définit habituellement un triple dans une 2-catégorie 1) comme étant un 2-foncteur de but de source la 2-catégorie simpliciale. de constater que cette D et Il n'est pas difficile 2-catégorie simpliciale est engendrée par un 2-graphe multiplicatif (T ,T ,j,m,k) défini comme suit: - T (C,C) est le graphe multiplicatif dont le graphe sousjacent est C 16 £3 7 u n 3 n^ n -> T < - \ mi ^* 7» ^ mu T(C,C) est le foncteur associant C - T(C,C)*T(C,C) est le sous-graphe multiplicatif de T(C,C)xT(C,C) contenant (outre J[C}xT(C,C) et T(C,C) X { C } ) le graphe (T,C) (T,u) -> (T/P) <- (C,T) (u,T) /\ (T',T) (n,T) (T,n) (T,T») - m« . „ est l'injection canonique, - kQ c c et n associe ^ à à (u,T) , u 2 à (T,u) , n 1 à (n,T) (T,n). Il est clair que le 2-graphe multiplicatif T est la description "la plus économique en termes de 2-diagrammes et 2-foncteurs" de la notion de triple. De plus, elle traduit très exactement les seuls axiomes usuels de définition d'un triple sur une catégorie donnée. De même, on construit le 2-graphe multiplicatif P ("minimum") tel que tout 2-foncteur P y Cat s'identi- C 17 C y à la donnée d'une paire de foncteurs Soit aussi E teur ^ Cat E dans Cat. le 2-graphe multiplicatif tel que tout 2-fonc- sur un objet de brée D s'identifie à la donnée d'un endofoncteur Cat. Alors, il est évident que la somme fi- S = T + P ~ E " (E s'injectant dans P et T ) décrit les paires d'adjoints, i.e. que tout 2-foncteur S y Cat s' identifie à la donnée d'une paire d'adjoints dans Cat. Bien sûr, le 2-graphe multiplicatif S engendre (de deux ma- nières différentes) la 2-catégorie Ad utilisée par Àuderset (par exemple) dans (A.M.C.A.). 9. Complément. Un graphe multiplicatif où sont distingués certains cônes projectifs (i.e. une esquisse au sens de (E.T.S.A.) par exemple) sert à décrire les structures algébriques d'un certain type. De la même manière, un V-graphe multiplicatif (où V est une catégorie monoïdale) où sont distingués des V-cones projectifs permet de décrire d'autres types de structures algébriques ("relatives" à V ) . xJLnsi, on peut appeler le 2- graphe multiplicatif du T §8 , où l'on précise qu'aucun cône projectif particulier n'est distingué (mais il n'en est pas toujours ainsi dans d'autres exemples, qu'on laisse au lecteur le soin d'imaginer), la Gramul-esquisse (ou la 2-esquisse) des catégories munies d'un triple. Cependant, dans cet exemple, si les 2-foncteurs de Cat T vers s'identifient bien aux catégories munies de triples, les 2-transformations naturelles usuelles (i.e. les V-transformations naturelles, lorsque V = Cat ) ne décrivent que des morphismes stricts de triples. Bien sûr, il suffit d'assouplis? (i.e. de rendre "lax" ) les transformations naturelles utilisées pour récupérer les morphismes de triples plus généraux usuels. Dans le cas général (V au lieu de Cat) cet assou- plissement correspond à ce que nous allons décrire, rapide- C 18 ment maintenant. Nous supposons donc que V est une catégorie monoïdale pour laquelle: - pour tout objet V de V les foncteurs -BV et VB- com- mutent aux sommes fibrées, - l'unité I du produit tensoriel est l'objet des objets d'une co-catégorie interne -> I C : î (où: > I1 -> Z 5> I " h > c = co-domaine, d = domaine, i est le morphisme repré- sentant l'injection des objets dams les identités - ici c'est un épi puisqu'il s'agit d'une co-catégorie, h = loi de composition, I" = s' s" ) . et Soit I' + I I' est une somme fibrée de co-projections F ,G :A multiplicatif A ^C deux V-foncteurs du vers la V-catégorie V-graphe C . On dit que (jt,t) est une V-transformation naturelle (généralisée, ou encore lax) de P - t G si, et seulement si: est une application associant à tout objet morphisme - t vers A A A un y C(P A,G A) . ' = —o —o ' * tA : I —A est une application associant à tout couple jets de de (A',A) d'ob- un morphisme - pour tout objet I H I' A t : A(A,A')BI' •> C(P A,G A'), "A f f A " ~ ~° ~° de A , le diagramme ci-dessous commute: £> A(A,A) B I ' ^ C(P A,G A) IBi 4 IBI > uncU = u n g j I c 19 - pour tout couple (A' ,A) d'objets de A le diagramme sui- vant est commutatif: IBA(A,Af) -^->A(A,A')EI Id > A(A,A')BI' >C(F A,G A») , = —o —o Bd ÏA'.A /v k xi. . . . C(F A',G A')BA(A,A!) Id B P =A',A G A',F A',F A —o -o —o -> C(P A*,G A')BC(F A,F A') = —o —o = —o —o (A1,A) d'objets de A le diagramme sui- - pour tout couple vant commute: A(A,A')BI ^A(A,A')BI' B c Id Id -> C(FA,GA') =A',A 8tA G A ' .""O G A —o Ji —O A(A,A« )BC(FA,GA) C(G A,G A')BC(F A,G A) = —o —o = —o ~~o G S Id "A',A - pour tout triplet (A",A',A) d'objets de A , le diagramme ci-dessous commute A(A',A")HA(A,A')M' Id Eh k A" A' A HId xl , xa. ,xx A(A,A")BI' A(A',A")BA(Â,A')Br A",A',A C(F A,G A") = —o ~o . . . C 20 où z „ , est l'unique morphisme de V A ,A ,A — l e diagramme ci-dessous rendant commutatif A(A',A")BA(A,A,)EI" Id 7\ Bs' i AUSA'OBAUJAOEI' Tv V,A',A Id Bs" A(A',A")BA(A,A')BI' A",A1,A A",A',A C(F A,G A") = —o '—o ' (car, vues les hypothèses, on a la somme f brée A(A',A")BA(A,A')BI" = A(A',A")BA(A,A')BI' + A(A',A")BA(A,A')BI' A(A',A")BA(A,A')BI dans V ) diagramme dans lequel: + z", „ ,, „ A",A»,A rend commutatif le diagramme -V> C(G A',G A")BC(F A,G A') s = —o —o = —o ~o A(A',A")BA(A,A')HI' SA«,.' E IA',A C G A",G A1,F A l —o —o —o 1 Ni/ C(F A,G A") = —o ~o A",A',A + z'.„ ., . rend commutatif le diagramme xx j xi j xi A(Af,A")BA(A,A')BI' - A",A',A Ç(F A,G A") -° - ° ' CKI -^> A(A',A")BI'BA(A,A») IA-.A^'.A